非参数贝叶斯波动率估计

作者推测，这一变化点与水门事件有关。与（Iacus，2008）类似，（Chen和Gupta，2012），（Diaz，1982）和（Hsu，1979）中的参数变化点分析给出了1973年3月第三周的变化点。然而，如（Iacus，2008）所述，对时间序列Yti图的检查（见图7，右面板）表明，另一个变化点可能是非参数贝叶斯波动率估计131972 1973 19747508008509501001050YX1972 1973 1974-0.10-0.050.000.050.10YY图7。1971年7月2日至1974年8月2日期间道琼斯每周工业平均指数收盘（左图）和相应的回报率（右图）。出现在数据中。然后在1973年3月16日之后放弃观察，仅使用时间序列的初始段分析数据是否存在变化点，作者发现1971年12月17日出现了另一个变化点，他认为这与理查德·尼克松总统政府暂停美元兑换黄金有关。从上面的讨论中可以清楚地看到，波动率的非参数建模可以为该数据集提供更多的见解。我们首先非正式地研究了由维纳过程驱动的SDE是否适合现有数据。许多此类模型，例如几何布朗运动（geometric Brownianmotion），这是一种资产价格随时间演化的经典模型（也称为萨缪尔森（Samuelson）或布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型），依赖于资产价格回报遵循正态分布的旧原则。虽然这一假设在高频金融数据（每日或日间数据；参见，例如（Carret al.，2002），（Eberlein and Keller，1995）和（K¨uchler et al.，1999））中得到了实证验证，但对于时间间隔较广的数据（例如，我们的案例中的每周数据），其违反情况并不严重。

事实上，我们在R中对超过1973年3月16日变化点的回报进行的Shapiro-Wilk检验并没有拒绝正态性的零假设（p值0.4）。另一方面，相同数据的分位数-分位数（QQ）图可能显示出某种程度的正态性偏差，见图8，其中我们还对数据进行了核密度估计（通过R中的densityin命令获得，带宽通过交叉验证自动确定）。在图9中，我们根据Yti过去1973年3月16日变化点的返回绘制了样本自相关函数和偏自相关函数。这些并没有提供决定性的证据来反对Yti的独立性假设。容格盒测试（该测试通过命令盒测试在R中实现）也没有，当应用10个滞后时，该测试的p值为0.057（p值当然很小，但不是压倒性的小）。总结我们的发现，我们只发现了一个轻微的证据，证明道琼斯工业平均指数每周收盘的回报率（1973年3月16日至1974年8月2日期间，但在DWJ数据集涵盖的其他子时期也可以得出类似的结论）近似独立，并遵循正态分布。因此，没有强烈的先验理由相信几何布朗运动在14 S.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.Spreij图8中是完全不合适的模型。1973年3月16日至1974年8月2日期间道琼斯工业平均指数每周收盘收益QQ图（左图）和同一数据的核密度估计（右图）。图9：。

1973年3月16日至1974年8月2日期间道琼斯每周工业平均指数收盘收益的样本自相关函数（左面板）和偏自相关函数。设置：它可以用作第一个近似值。为了说明波动率的时间变化性（如变化点分析所示），我们在模型中加入了一个时间相关的波动率函数，对于额外的建模灵活性，我们还允许状态相关的漂移。设置Zt=log（Xt/X），我们的模型由（14）dZt=b（t，Zt）dt+s（t）dWt，Z=0驱动。另一种方法是直接（即不进行任何初步转换）使用方程式（1）对道琼斯数据建模。我们从模型（14）开始考虑这两种可能性。我们在θ上使用了与极限α相对应的模糊先验知识→ 0，而对于其他两个超参数，我们假设α=αζ~ IG（0.3，0.3）。Metropolis-Hastings步骤中独立高斯随机游走方案中的标度是以这样的方式选择的，以便产生约50%的接受率。吉布斯非参数贝叶斯波动率估计151972 1973 1974-0.010.000.010.02·10-2Y边缘90%信用。band1972 1973 1974-0.010.000.010.02·10-2Y边缘90%信用。带状图10。道琼斯工业平均指数对数数据波动率函数的边际90%可信区间。左侧面板对应N=13个箱子，而右侧面板对应N=26个箱子。取样器运行了200000次迭代，前1000个样品作为老化样品丢弃。我们给出了使用N=13和N=26个箱子获得的估算结果，见图10。虽然本例中的样本量n非常小，但数据信息丰富，即使有不同的先验知识，也能得出非平凡的推断结论。

图10中的两个曲线在性质上相似，并表明：o1971年底波动性下降，这可被视为与1971年12月的变化点相对应（Iacus，2008）。与这位作者不同的是，我们并不直接将其与暂停美元兑换黄金联系在一起（这发生在1971年8月，而不是1971年12月）在随后的一段时间内，波动性逐渐增加，一直持续到1973年底。不仅仅是水门事件（以及1973年3月的一个转折点，如Iacus，2008），还有其他经济原因，如1973年的石油危机和1973-1974年的股市崩盘从1974年初开始的波动性下降，与立即下降的时期相比。总的来说，在这项工作中，我们的目标不是确定波动率区域变化的原因，而是提供我们的推断结果，这些结果可能随后用于计量经济学分析。现在，我们使用模型（1）对数据进行贝叶斯分析。优先级设置与前一个案例相同，结果如图11所示。图10和图11中推断的波动率函数的总体形状相同，因此适用类似的结论。最后，我们强调，我们的非参数贝叶斯方法和变化点估计的范围不同：虽然我们的方法旨在估计整个波动率函数，但变化点估计（顾名思义）专注于识别观测时间序列方差中的变化点，这是波动率的一个特殊特征。为此，假设（真实）波动率函数是分段常数，另一方面，这不是我们的方法所需的假设。这两种技术都很有用，每种技术都可以提供可能很难从另一种技术获得的见解。16秒。

GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJ1972 1973 197405101520M边缘90%cred。band1972 1973 197405101520M边缘90%信用。带状图11。道琼斯工业平均指数波动率函数的90%可信区间。左侧面板对应N=13个箱子，而右侧面板对应N=26个箱子。结论从离散时间观测值对SDE进行贝叶斯推断是一项困难的任务，因为可能性很难解决，而且后验值在封闭形式下不可用。因此，后验推断通常需要使用复杂的MCMC采样器。设计算法，使马尔可夫链能够很好地混合并有效地探索后表面，这是一个非常重要的问题。受音频信号处理文献和我们早期工作（Gugushvili等人，2017年6月）的启发，本文介绍了一种新的非参数贝叶斯方法来估计SDE的波动系数。我们的方法易于理解，通过Gibbssampling实现简单，在实践中表现良好。因此，我们希望我们的工作将有助于SDE中非参数Bayesianaproach推断的进一步传播和普及，特别是考虑到金融应用。在这方面，请参见（Gugushvili et al.，2018may），它以本论文为基础，处理市场微观结构噪声下的贝叶斯波动率估计。我们的工作也可以被视为对（Godsill et al.，2007）一些最初在音频和音乐处理背景下发展起来的想法“也将用于其他科学和工程领域，如金融或生物医学数据分析”的部分预期。最后，我们不试图提供理论，即。

本文对我们的新方法进行了无症状频率分析（例如，参见最近的专著（Ghosal和van der Vaart，2017），特别是在SDE环境下进行的此类分析（Gugushvili等人，2017年6月），但将此作为未来研究的主题。参数更新公式在本节中，我们提供了第2节中吉布斯取样器更新公式推导的更多详细信息。起点是利用（5）中的马尔科夫性质，并使用标准的贝叶斯表示法，将{ζk}和{θk}的联合密度写为（15）p（θ）NYk=2p（ζk |θk-1） p（θk |ζk）。非参数贝叶斯波动率估计176.1。完全条件分配。我们首先指出（6）是如何推导出来的。从（5）中为（15）中的各个项插入表达式，并收集依赖于θkonly的单独项，以查看θk的完整条件分布的密度，k=2，N- 1，与θ成正比-α-1ke-α/（θkζk）θ-αζke-αζ/（θkζk+1）。归一化后，该表达式为IG的密度（α+αζ，αζ-1k+αζζ-1k+1）分布，证明了公式（6）。公式（8）直接来自（5）中的最后一个表达式。公式（9）的证明类似于（6）。最后，（7）遵循（5）和Bayes公式。参见附录B.6.6.2（Dikmen和Cemgil，2008）。吉布斯台阶内的大都市。现在我们描述Gibbs采样器中的Metropolis Hastingsstep，用于更新我们算法的超参数，以防后者配备先验知识。为简单起见，假设α=αζ（我们注意到，在（Cemgil和Dikmen，2008）中的实际示例中使用了这样的选择），并假设α配备了先验α~ π. 固定超参数α。

显然，α也可以配备先验知识，但这会进一步减慢我们的估计过程，而我们在第3节和第4节中获得的实际结果已经符合α的要求。使用（5）和（15），可以看到{ζk}，{θk}和α的节理密度与π（α）×θ成正比-α-1×e-αθ-1×NYk=2ααΓ（α）θαk-1ζ-α-1ke-α/（θk）-1ζk）ααΓ（α）ζαkθ-α-1ke-α/（θkζk）.这反过来与q（α）=π（α）×成正比ααΓ(α)2（N-1） ×NYk=2（θk-1θkζk）-α×exp-αNXk=2ζkθk-1+θk!.后一个表达式是α的非规范化全条件密度，可以在吉布斯步长内的大都市中用于更新α。Metropolis-Hastings步骤的其余部分是标准步骤，在我们的实际示例中使用了以下方法：选择一个建议核g（α|α），例如，aGaussian随机游走建议g（α|α）=φσ（α- α） ，其中φσ是均值为零且方差为σ的正态随机变量的密度。请注意，此规范选择可能导致提出负值α，需要立即拒绝，因为该值无效。然后，为了提高计算效率，不要在Gibbs采样器中移动到另一个步骤，而是不断提出新的值α，直到提出正的值为止。然后以概率A=最小值接受1，q（α）q（α）Φσ（α）Φσ（α）,式中，Φσ（·）是均值为零且方差为σ的正态随机变量的累积分布函数；否则，将保留当前值α。更多细节和推导见（Wilkinson，2012）。最后，在Gibbs采样器中移动更多步骤，即更新ζk和θk，并迭代18 s.GUGUSHVILI、F.H.VAN DER MEULEN、M.SCHAUER和P.SPREIJthe程序。Metropolis Hastings步骤中的接受率可以通过建议密度φσ的比例参数σ进行控制。

在Metropolis Hastingsalgorithm（Gelman et al.，1996）中给出了确定最佳接受率的一些实用规则，在（Sherlock et al.，2010）中给出了Metropolis Withibbs算法的一些实用规则。参考Allen，E.2007。It建模^o随机微分方程，《数学建模：理论与应用》，第22卷，多德雷赫特斯普林格。MR2292765Batz，P.、A.Ruttor和M.Opper。2017年2月。随机微分方程的近似Bayes学习，ArXiv电子版，1702.05390。贝赞森、杰夫、艾伦·埃德尔曼、斯特凡·卡尔平斯基和病毒B·沙阿。2017，《Julia：数值计算的新方法》，SIAM Rev。59，1号，65–98。MR3605826Bj¨ork，托马斯。2009，《连续时间套利理论》，第三版，牛津大学出版社。Blei、David M.、Alp Kucukelbir和Jon D.McAuli ffe.2017年。《变分推理：统计学家评论》，J.Amer。《美国统计协会》第112号，第518、859–877号。Carr、Peter、Helyette Geman、Dilip B.Madan和Marc Yor。2002年，《资产回报的具体结构：一项实证调查》，J.Bus。75，编号2，305–332。Cemgil、A.T.和O.Dikmen。2008年，《贝叶斯音频处理伽马链推理与学习》，《声学学报》08，第4055-4060页。Cemgil、A.Taylan和Onur Dikmen。2007。非平稳源建模、独立分量分析和信号分离的共轭伽马-马尔可夫随机场：第七届国际会议，ICA 2007，英国伦敦，2007年9月9日至12日。会议记录，第697-705页。Cemgil、A.Taylan、C'edric F'evotte和Simon J.Godsill。2007。贝叶斯信源分离的变分和随机推理，数字。信号处理。17，第5号，891–913。贝叶斯信源分离特刊。Chen、Jie和Arjun K.Gupta。2012年。参数统计变化点分析，第2版。，纽约州伯克豪斯/斯普林格。

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