几何布朗运动中对数正态变量之和

绿线：gest的S样本的超级集合中的中位数，每个样本以大小为N的子集合进行估计。黄线：公式（45）是d hln hxiNi的精确表达式，使用It^o演算得出。我们通过蒙特卡罗计算表达式，并积分，hln hxiNi=Rtd hln hxiNi。指数运算产生黄线。红线：基于随机能量模型的短期行为，公式（33）。紫线：基于随机能量模型的长期行为，公式（34）。垂直线：tc=2 ln Nσ时，区域间的交叉，对应于βc=2（ln 2）1/2J。参数：N=256，S=10000，u=0.05，σ=√0.2.3通过It^o演算的另一条路径另一种求豌豆生长率期望值的方法，公式（20），是使用It^o演算计算hd ln hxiNi。我们直接计算这个，而不考虑随机能量模型。为了应用It^o微积分，我们需要d ln hxin关于xi的前两个偏导数。 ln hxiN公司xi=N hxiN（36）和ln hxiN公司xi=-NhxiN（37）现在，Taylor展开d ln hxiN我们发现ln hxiN=Xi ln hxiN公司XIXI+XiXjln hxiN公司xixjdxidxj+。(38)≈N hxiNXidxi-2NHXIXJDXIDXJ。（39）双和可分为“对角线”（i=j）项和交叉项asN Hxinxixixi（udt+σdWi）-2NhxiNXidxi+XjXi6=jdxidxj！（40）交叉项的一部分可以忽略不计，因为它们的阶数为dt，并且在取期望值时，剩余项消失，正如我们通过写出一个交叉项dxidxj=xixj（udt+uσdtdWi+uσdtdWj+σdWidWj）所看到的那样。（41）因此，我们现在放弃这些术语，因为我们使用维纳恒等式hdWii=dt作为最终术语hd ln hxiNi=*udt取期望值-2NHXIXI（udt+σdt）+（42）=udt-*σhxiNN hxiN+dt+O（dt）。

（43）丢弃dt中高于一阶的项，并将最后一个项作为总和的一部分重新写入，因此我们得到Hd ln hxiNidt=u-σ*NPixiNNPixi公司+(44)= u -σ*Pixi（Pixi）+（45）此表达式具有正确的行为：在短时间内，所有xiare基本相同，第二项为-σN，如果N较大，则可忽略不计。因此，在短时间内，我们看到了期望值行为。长期以来，最大的XI将支配分子和分母-σ： It^o的全面修正长期以来都能感受到。4讨论It^o结果准确。图2（黄线）显示了公式（45）的蒙特卡罗估计值（很容易获得）。这与numericalobservations非常吻合。来自随机能量模型的近似具有正确的形状和渐近行为，尽管它们与中值PEA不在同一尺度上。当然，这并不奇怪，因为这些估计值并不是为了与PEA中值一致。从数量上讲，它们更接近豌豆分布的较高分位数。一个有趣的问题是：我们使用It^o演算的计算是否有助于计算随机能量模型的预期自由能？参考文献【1】A.Adamou和O.Peters。不平等动态。《意义》，第13（3）：32–352016年。[2] Y.Berman、O.Peters和A.Adamou。遍历现象的实证检验：美国的财富分布。2017年1月。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=2794830.[3] J.-P.Bouchaud。关于增长最优税率和财富不平等问题。http://arXiv.org/abs/1508.00275，2015年8月。[4] J.-P.Bouchaud和M.M\'ezard。简单经济模型中的财富凝聚。Physica A，282（4）：536–5452000。[5] 德里达。随机能量模型：无序模型族的极限。物理。修订版。Lett。，第45（2）：79–821980年7月。[6] 德里达。

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