几何布朗运动中对数正态变量之和

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英文标题：
《The sum of log-normal variates in geometric Brownian motion》
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作者：
Ole Peters and Alexander Adamou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Geometric Brownian motion (GBM) is a key model for representing self-reproducing entities. Self-reproduction may be considered the definition of life [5], and the dynamics it induces are of interest to those concerned with living systems from biology to economics. Trajectories of GBM are distributed according to the well-known log-normal density, broadening with time. However, in many applications, what\'s of interest is not a single trajectory but the sum, or average, of several trajectories. The distribution of these objects is more complicated. Here we show two different ways of finding their typical trajectories. We make use of an intriguing connection to spin glasses: the expected free energy of the random energy model is an average of log-normal variates. We make the mapping to GBM explicit and find that the free energy result gives qualitatively correct behavior for GBM trajectories. We then also compute the typical sum of lognormal variates using Ito calculus. This alternative route is in close quantitative agreement with numerical work.
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中文摘要：
几何布朗运动（GBM）是表示自复制实体的关键模型。自我繁殖可能被认为是生命的定义，它所引发的动态对从生物学到经济学等生命系统的研究者都很感兴趣。GBM的轨迹按照众所周知的对数正态密度分布，随时间展宽。然而，在许多应用中，感兴趣的不是单个轨迹，而是多个轨迹的总和或平均值。这些物体的分布更加复杂。这里我们展示了两种不同的方法来找到它们的典型轨迹。我们利用了自旋玻璃的一个有趣的联系：随机能量模型的预期自由能是对数正态变量的平均值。我们明确地映射到GBM，并发现自由能结果给出了GBM轨迹的定性正确行为。然后，我们还使用伊藤演算计算对数正态变量的典型和。这条备选路线与数值计算结果在数量上非常一致。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_sum_of_log-normal_variates_in_geometric_Brownian_motion.pdf (394.48 KB)

2022-6-6 20:41:38 上传

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关键词：布朗运动 Mathematical Quantitative Reproduction Applications

几何布朗运动的对数正态变量之和Ole Peters和Alexander AdamouLondon Mathematic Laboratory8 Margravine Gardens，London W6 8RH，UK2018年2月9日抽象几何布朗运动（GBM）是表示自我复制实体的关键模型。自我繁殖可能被认为是生命的定义，而它所引发的动态对于从生物学到经济学等与生命系统相关的人来说都很有趣。GBM的轨迹按照众所周知的对数正态密度分布，随时间展宽。然而，在许多应用中，感兴趣的不是一条单一的轨迹，而是几个部门的总和或平均值。这些物体的分布更加复杂。在这里，我们展示了两种不同的方法来找到它们的典型轨迹。我们利用了自旋玻璃的一个有趣的联系：随机能量模型的预期自由能是对数正态变量的平均值。我们明确了GBM的映射，并发现自由能结果给出了GBM轨迹的定性正确行为。然后，我们还使用It^o演算计算对数正态变量的典型和。这条备选路线与数值计算结果在数量上非常一致。1引言-为什么要学习GBM？自我复制的基本现象发生在从能够复制自身的最小化学化合物到可以说是已知最复杂的社会体系，即全球经济。经济不仅是由自我繁殖和细胞自我繁殖的人类创造的，而且资本主义本身也利用了自我繁殖的力量：资本意味着可以配置的资源，以产生可以有序配置的资源。现实主义通常需要包含噪音的模型，以解释大量未明确建模的影响。

GBM是一种简单、直观、易于分析的噪声乘法增长模型。深入理解这种自我复制的基本模式是至关重要的，只有在过去几十年中，我们才实现了这一点。根据it^o随机微分方程dx=x（udt+σdWt），如果自繁殖资源（如生物量或资本）随时间演变，则其数量x遵循GBM，t。（1） dt表示维纳过程中的最小时间增量和dwt最小增量，这是一个正态变量，hdWti=0，hdwtdwsi=δ（t- s） dt。u和σ是称为漂移和波动率的常数参数。简单地说，资源的相对变化dx/x被假定为独立于每个时间步的平稳正态分布。式（1）表示该过程的连续时间限制。其解，x（t）=x（0）expu -σt+σW（t）, （2） 以嘈杂的速度产生指数增长。此后，我们将假设x（0）=1并忽略它，除非保留它是说明性的。x（t）的分布是一个与时间相关的对数正态分布，ln（x（t））~ Nu -σt、 σt, （3） 其平均值、中值和方差随时间呈指数增长（或衰减）：hx（t）i=exp（ut）；（4） 中位数（x（t））=exp[（u- σ/2）t]；（5） var（x（t））=经验值（2ut）[经验值（σt）- 1]. （6） GBM是股票价格等自我复制数量的标准金融模型。由于相对变化被建模为正态变量，中心极限定理意味着GBM是一大类乘法动力学的吸引子过程。任何相对变化为具有有限均值和方差的随机变量的量，在相当长的时间内都会表现为GBM。我们与GBM合作，因为它是标准和通用的。它举例说明了多重增长的重要定性和普遍特征。具体而言，我们对GBM感兴趣，认为GBM是一些实体拥有的经济资源模型。

我们会把x看作是以货币单位来衡量的，比如美元。1.1 GBM的非遍历性该增长过程的非遍历性以一种有趣的方式表现为x的期望值增长与x随时间的增长之间的差异。想象一个人们财富不断增长的世界。(1). 在这样一个世界里，每个人的财富都以G=u的速度呈指数级增长- σ/2（7），概率为1，如果我们长期观察个人的财富。每个人财富的预期值在GHI=u时呈指数增长。（8） 根据定义，期望值是极限N内x的N个实现集合的平均值→ ∞. 重要见解如下：我们模式经济中的总财富增长速度与个人财富增长速度不一样[1]（这意味着GDP可能是国家经济福祉的一种令人敬畏的反映）；不平等不确定地增长[4，2]（即使个人之间没有互动）；资源共享和共享加速了增长[8，3]。1.2 GBM中的PEA–概述在应用这些结果时，经常会出现以下问题。等式（7）和等式（8）是极限情况（t→ ∞ 和N→ ∞, 分别）：当时间和人口规模有限时会发生什么？在文献[10]中，我们研究了GBM的“部分系综平均”（PEA），详细信息如下。(1.3). PEA是在≡NNXi=1xi（t）。（9） 在这里，我们勾勒出一些关于这个对象如何依赖于N和t的简单论点。

（8） 总之，我们预计会出现以下张力：A）对于较大的N，PEA应类似于预期值exp（ut）；B） 对于长t，所有轨迹都应该像exp[（u）那样增长- σ/2）t]。情况A——当样本平均值与相应的期望值相似时——在统计物理学中被称为“自平均”估计何时发生这种情况的一个简单策略是查看PEA的相对方差，R≡var（hx（t）iN）hhx（t）iNi。（10） 明确地说，这里的h·i和var（·）操作符，没有N作为下标，是指所有可能的PEA的均值和方差。从尺寸为N的有限样本中提取的豌豆本身表示为h·iN。使用独立随机变量和的均值和方差的标准结果，并将结果插入式（4）和式（6），我们得到r（N）=eσt- 1N。（11） 如果R 1，则PEA可能会接近其自身的期望值，这等于GBM的期望值。因此，就Nand t而言，hx（t）in≈ 当hx（t）i<ln Nσ时。（12） 这个挥手大致告诉我们大样本（或者，正如我们从等式（12）中看到的，短时）自平均状态何时成立。公式（28）中对交叉时间的更仔细估计是一个大2的因子，但比例是不确定的。当t>ln N/σ时，PEA的生长速率从u转变为itst→ ∞ u限值- σ/2（情况B）。另一种看待这一点的方式是思考什么支配着平均水平。在这一过程的早期，所有的轨迹都很接近，但随着时间的推移，分布会逐渐扩大。由于每条轨迹对豌豆的重量相同，一段时间后，豌豆将被样本中的最大值hx（t）控制≈NNmaxi=1{xi（t）}，（13），如图1所示。当“最幸运”的轨迹不再接近期望值exp（ut）时，自平均停止。

这保证最终会发生，因为轨迹达到exp（ut）的概率随着t的增长而向零递减。当然，对于更大的样本，这需要更长的时间，因为它们有更多的机会包含一个幸运的轨迹。0 100 200 300 400 500t106104102100102104106exp（g t）exp（gtt）x（t）NNmaxi{xi（t）}/N图1：大小N=256的有限系综中的PEA和最大值。红线：期望值hx（t）i。绿线：按时间平均增长率指数增长。在T→ ∞ 限制所有轨迹以此速度增长。黄线：时间t时任何轨迹的最大值对PEA的贡献。蓝线：PEA hx（t）英寸。垂直线：交叉-对于t>tc=2 ln Nσ，最大值开始支配豌豆（黄色线接近蓝色线）。灰线：随机选择的轨迹——任何典型的轨迹很快就会以时间平均增长率增长。参数：N=256，u=0.05，σ=√0.2.1.3我们之前对豌豆的研究【10】我们对GBM的豌豆进行了分析和数值分析。使用公式（2），PEA可以写成ashxiN=NNXi=1expu -σt+σW（i）（t）, （14） 在哪里W（i）（t）i=1。。。维纳过程的独立实现。从求和中取出确定性部分，我们重新写出等式（14）ashxiN=expu -σt型NNXi=1expt1/2σξi, （15） 其中{ξi}i=1。。。N个独立的标准正态变量。我们发现豌豆的典型轨迹在ghiup下生长到一个时间tc，该时间tc在N中为对数，即tc∝ 这与我们在第二节中的草图一致。(1.2). 在此之后，典型的PEA轨迹开始偏离期望值行为，最终其增长率收敛到gt。而两个极限行为N→ ∞ 和t→ ∞如果可以精确计算，两者之间发生的事情就不那么直截了当了。豌豆是一个超出这些限制的随机对象。

在【10】中，我们通过创建一个由S个样本组成的超级样本，每个样本由N条轨迹组成，从数值上处理了这个问题。通过这种方式，我们能够研究hxiN（t）的中位数，代表典型轨迹的行为。我们最感兴趣的是PEA、gest（t，N）所经历的指数增长率≡ln（hx（t）英寸）- ln（x（0））t- 0=tln（hx（t）英寸）。（16） 在[10]中，我们证明了→ ∞ 任何（有限）N的限值与N=1的情况相同，limt→∞gest（t，N）=u-σ（17）对于所有N≥ 1、将式（15）替换为式（16）中的式（15），生产量最大（t，N）=u-σ+tlnNNXi=1exp（t1/2σξi）！(18)= u -σ-ln Nt+tlnNXi=1exp（t1/2σξi）！。（19） 我们在[10]中没有研究有限时间和有限样本的gest（t，N）期望值，但这是一个有趣的对象，它依赖于N和t，但不是随机的。注意，这不是期望值的最大值，期望值是N→ ∞ 公式（16）的限值。而是S→ ∞ 极限，hgest（t，N）i=thln（hx（t）iN）i=f（N，t），（20），其中，以秒为单位。（1.2），无下标的h·i指所有可能样品的平均值，即limS→∞h·iS。式（19）中的最后两项表明了系综大小和时间之间的指数关系。最后一项是一个随机对象，其期望值的性质为inEq。（20） 将合页。这一术语将是我们关注的焦点：正态随机变量的指数之和，或者等价地，对数正态变量。2映射到随机能量模型自[10]发表以来，通过与J.P.Bouchaud的讨论，我们了解到，等式（19）中的关键对象——正态随机变量的指数之和——自20世纪80年代以来一直受到数学物理界的关注。原因是德里达的随机能量模型。定义如下。

想象一个系统，其能级为2K=N个随机数ξi（对应于K=ln N/ln2自旋）。这是一个非常简单的有序系统模型，例如自旋玻璃，其思想是系统非常复杂，我们“放弃”，只是将其能级建模为随机变量的实现。（我们用K表示自旋数，用N表示产生的能级数，而德里达用N表示自旋数）。配分函数为thenZ=NXi=1expβJrKξi！，（21）如果以适当的单位测量反向温度β，并选择K的刻度，以确保广泛的热力学极限【5，第79页】。J是一个常数，将在下面确定。分割函数的对数给出了亥姆霍兹自由能，F=-ln Zβ（22）=-βln“NXi=1expβJrKξi！#。（23）与式（16）中的增长率估值器一样，这涉及对数正态变量的总和，实际上，我们可以将式（19）改写为gest=u-σ-新台币-βFt，（24），如果βJrK=σt1/2，则有效。（25）方程（25）没有给出我们的GBM参数（σ，t）和REM参数（β，K，J）之间的唯一映射。将每个模型中的常数参数σ和J相等（直至乘法），可以得到美国特定的映射：σ=J√t1/2=β√K、 （26）GEST的期望值很有趣。唯一的随机对象inEq。（24）为F。因此，了解HFI等于了解hgesti。在随机能量模型的统计力学中，hF i是一个关键的兴趣点，因此它是已知的。由于这两个问题之间的映射，我们可以使用这些知识。德里达确定了临界温度βc≡J√ln 2，（27）高于和低于该值时，预期自由能与Kandβ的比例不同。

这映射到GBM中的一个临界时间尺度，tc=2 ln Nσ，（28），高温（1/β>1/βc）对应于短时间（t<tc），低温（1/β<1/βc）对应于长时间（t>tc）。注意，在我们的草图中，tcin公式（28）的标度与N和σ作为过渡时间的标度相同，公式（12）。在[5]中，hF i是在高温（短时）状态下计算的ashF i=E-S/β（29）=-Kβln 2-βKJ，（30）和低温（长期）状态下的ashF i=-千焦√第2层。（31）短时我们首先观察短时行为（高1/β，等式（30））。文献[5]中熵S的相关计算涉及用期望值hn（E）i替换能量级n（E）的数量。这是合理的，因为该数字的标准偏差为√当hn（E）i>1时，n相对较小，这是德里达案例中有趣的机制。对于自旋玻璃，F的期望值很有趣，因为该系统可能是自平均的，可以被认为是许多基本上独立的较小子系统的集合。宏观行为由期望值给出。取期望值并从式（24）中的式（30）中代入，我们发现hgestishort=u-σ+tKJ4T。（32）从式（25）中，我们知道t=KJ2σt，我们将其替换，以确定hgestishort=u，（33）这是短期状态下的正确行为。长时间下一步，我们转向长时间区域的表达式（低温，公式（31））。再次取期望值并替换，这一次是从eq。（31）在公式（24）中，我们发现长时间hgestlong=u-σ-ln-Nt+r2-ln-Ntσ，（34）具有正确的长时间渐近行为。公式中时间平均增长率的修正形式。

（34）与[10]和[11]相一致，其中发现需要大约N=exp（t）系统才能在时间t内观察到整体平均行为，因此参数ln N/t控制哪个区域占主导地位-如果参数很小，则公式（34）表明长时间区域是相关的。图2是此处基于【5】得出的结果与使用【10】中相同参数值的数值结果之间的直接比较，即u=0.05，σ=√0.2，N=256，S=10。请注意，hgesti不是（本地）时间导数thln（hxiN）i，但一段时间内的平均增长率，Dtlnhx（t）iNhx（0）iNE、 在【10】中，我们使用了一个符号，从那以后我们就不再使用了，因为它引起了混淆——这里的hgi表示期望值的增长率，而不是增长率的期望值。值得注意的是，期望值hgest（N，t）i如此接近地反映了hxiN的中值q0.5，即q0.5（hx（t）in）≈ exp（hgest（N，t）it）。（35）在[9]中，详细讨论了gest（1，t）是遍历可观测forEq。（1） ，即hgest（1，t）i=limt→∞最大值。inEq的关系。（35）要微妙得多。GBM豌豆的典型行为在极限N之外很复杂→ ∞ 或t→ ∞, 从某种意义上说，增长率在这里取决于时间。这种复杂的行为可以用一种近似来很好地描述，这种近似使用了对自旋玻璃的物理见解。美丽的0 100 200 300 400 500Time101100101102典型峰值256 10000 Ito gest 256median gest 256Derrida short timeDerrida long Time图2：通过将各种指数增长率乘以指数获得直线。蓝线：hhgestii10000s是S=10000个样本的超级集合的数值平均值（期望值的近似值），以N=256 GBMs的子集合估计。