不平等的统计模型

事实上，只有在ori不稳定的情况下。i、 类流程是我们的一般方法，显然不合适。这意味着还有其他经济学领域，例如收入分配和世界产出分配，在这些领域中，我们的易处理解决方案技术可能会提供新的信息。A假设和正则性条件在本附录中，我们给出了定理2.3中描述稳定财富分布特征所必需的假设和正则性条件。如第2节所述，这些假设承认经济中家庭的一大类连续财富过程。第一个假设建立了连续半鞅和It^o过程通用的基本可积条件。假设A.1。对于所有i=1，N、 生长速率过程uisatisfyZT |ui（t）| dt<∞, T>0，a.s.，（a.1）和波动过程δisatisfyZTδ（t）+···+δM（t）dt<∞, T>0，a.s.，（a.2）δ（T）+····+δM（T）>0，T>0，a.s.（a.3）极限→∞t型δ（t）+···+δM（t）log log t=0，a.s.，（a.4）条件（a.1）和（a.2）是It^o过程定义的标准，而条件（a.3）确保家庭财富持有始终包含非零随机成分。条件（A.4）类似于有界条件，因为它确保家庭财富持有量的方差不会太快偏离到单位。我们的结果所依据的第二个假设是，没有两个家庭的财富持有量随时间而完全相关。换言之，家庭财富动态必须始终存在某种特殊成分。最后，我们还假设，任何家庭相对于经济的财富持有量都不会太快消失。假设A.2。对称矩阵ρ（t），由ρ（t）=（ρij（t））给出，其中1≤ i、 j≤ N、 对于所有t>0，a.s.假设a.3，都是非奇异的。对于所有i=1。

，N，财富分享过程θisatisfylimt→∞tlogθi（t）=0，a.s.（a.5）B证明本附录给出了引理2.1和2.2以及定理2.3和2.4的证明。引理2.1的证明。根据定义，w（t）=w（t）+····+wN（t），对于所有i=1，N、 θi（t）=wi（t）/w（t）。这意味着dw（t）=NXi=1dwi（t）=NXi=1θi（t）w（t）dwi（t）wi（t），从中可以得出dw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t）。（B.1）我们希望表明，满足方程式（2.3）的过程也满足方程式（B.1）。如果我们将其^o引理应用于指数函数，那么方程（2.3）yieldsdw（t）=w（t）u（t）dt+w（t）NXi，j=1θi（t）θj（t）MXz=1δiz（t）δjz（t）！dt+w（t）NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t），（B.2）a.s.，其中u（t）由方程（2.5）给出。利用方程（2.2）中ρij（t）的定义，我们可以简化方程（B.1）并写出w（t）w（t）=u（t）+NXi，j=1θi（t）θj（t）ρij（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.3）类似地，从方程（2.5）中定义u（t）允许我们进一步简化方程（B.3）并写出w（t）w（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+NXi=1θi（t）ρii（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+ρii（t）dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.4）如果我们再次将其^o引理应用于指数函数，则方程（2.1）得出，a.s.，对于所有i=1，N、 dwi（t）=wi（t）ui（t）+MXz=1δiz（t）！dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）=wi（t）ui（t）+ρii（t）dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）。（B.5）将方程（B.5）代入方程（B.4），然后yieldsdw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t），完成证明。引理2.2的证明。家庭财富过程wi是绝对连续的，即随机符号测度ui（t）dt和ρii（t）dt相对于Lebesgue测度是绝对连续的。因此，我们可以应用Fernholz（2002）的引理4.1.7和命题4.1.11，得到方程（2.11）和（2.12）。定理2.3的证明。

该证明遵循Fernholz（2002）第5章的论点。根据方程式（2.14），对于所有k=1，N、 对数θ（k）（T）=ZTupt（k）（t）- u（t）dt+λlogθ（k）-对数θ（k+1）（T）-∧logθ（k-1)-对数θ（k）（T）+MXz=1ZTδpt（k）z（T）dBz（T）-NXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.6）考虑过程logθ（k）的渐近行为。假设存在方程式（2.18）中的限值，则根据方程式（2.16）中αk的定义，对数θ（k）的渐近行为满足极限→∞Tlogθ（k）（T）=αk+κk-κk-1+极限→∞TMXz=1ZTδpt（k）z（t）dBz（t）- 限制→∞TNXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t），a.s.（B.7）假设a.3确保方程（B.7）左侧的项等于零，而假设a.1确保方程右侧的最后两项也等于零（见Fernholz，2002年的引理1.3.2）。如果我们简化方程（B.7），那么我们得到αk=κk-1.-κk，（B.8），这意味着αk- αk+1=κk-1.- κk+κk+1，（B.9）对于所有k=1，N-1、由于方程式（B.8）适用于所有k=1，N、 这建立了我们可以求解κk的方程系统。这样做可以得到等式κk=-2（α+···+αk），（B.10）对于所有k=1，N注意，渐近稳定性确保α+···+αk<0，对于所有k=1，N、 而αN=κN-1= -（α+···+αN）-1） 确保α+···+αN=0。此外，如果α+···+αk>0，对于某些1≤ k<N，那么方程（B.10）产生了一个矛盾，因为κk≥ 定义为0。在这种情况下，必须违反假设A.3并限制→∞对于某些1，Tlogθ（k）（T）6=0≤ k≤ N

定理2.4对这种情况进行了详细的研究。方程（2.15）右侧的最后一项是绝对连续鞅，因此可以表示为关于布朗运动b（t）的随机积分。这一事实，加上方程式（B.9）和方程式（2.16）-（2.17）中α和σk的定义，促使我们使用过程日志θ（k）的稳定版本-对数θ（k+1）。回想一下，根据方程式（2.19），这个稳定版本由比亚迪给出对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）= -κkdt+d∧log^θ（k）-对数θ（k+1）（t）+σkdB（t），（B.11）对于所有k=1，N-根据Fernholz（2002），引理5.2.1，对于所有k=1，N-1，此稳定版本的时间平均极限满足→∞坦桑尼亚先令对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk2κk=σk-4（α+···+αk），（B.12）a.s.，其中最后一个等式来自方程式（B.10）。在一定程度上，对数θ（k）的稳定偏差- 方程（B.11）中的logθ（k+1）近似于方程（2.15）中该过程的真实版本，即真实过程logθ（k）的时间平均极限-对数θ（k+1）近似为-σk/4（α+···+αk），对于所有k=1，N- 这是连续时间随机过程的标准结果（Karatzas和Shreve，1991；Nielsen，1999）。定理2.4的证明。请注意，定理2.4的分歧情景违反了假设A.3，即没有家庭的财富份额下降到零的速度过快。为了证明这个定理，有必要证明假设A.3成立的家庭的最大子集也是家庭m<N satisfyingAm=max1的子集≤k≤NAkand Am>Alfor l 6=m。假设顶部n≤ N经济体中最富有的家庭构成假设A.3适用的最大家庭子集。

更准确地说，假设→∞Tlogθ（1）（T）=···=limT→∞Tlogθ（n）（T）=0，a.s.，（B.13）和0>limT→∞Tlogθ（n+1）（T）≥ ··· ≥ 限制→∞Tlogθ（N）（T），a.s.，（B.14），因此，在T之后，前N名最富有的家庭再也不会被经济中剩余的家庭所取代。事实上，这是因为方程式（B.13）和（B.14）暗示存在一些t<∞ 所有t的对数w（n）（t）>对数w（n+1）（t），a.s≥ tand thatlimT公司→∞θ（1）（T）+····+θ（n）（T）=1，a.s.（B.15），在不丧失一般性的情况下，让经济体中n个最富裕家庭在时间tbe w（T），wn（t）。考虑经济体中前n个最富有家庭的财富持有量，我们表示bywn（t）=w（1）（t）+···+w（n）（t）=wpt（1）（t）+···+wpt（n）（t）。根据Fernholz（2002），命题1.3.1和2.1.2，并使用假设A.1，方程式（A.4），因为假设A.3对T时经济中的n个最富裕家庭有效→∞对数wn（T）T=极限→∞TZTui（t）dt，a.s.，（B.16），其中1≤ 我≤ n、 根据定义，对于所有i=1，n、 ui（t）=nXk=1upt（k）（t）i{0}θi（t）- θ（k）（t）,方程式（B.7）以及方程式（2.16）-（2.18）中的极限存在的假设确保了方程式（B.14）中极限的存在。因此，根据方程式（B.16），limT→∞对数wn（T）T=极限→∞TZTnXk=1upt（k）（t）I{0}θi（t）- θ（k）（t）dt，a.s.（B.17）如果经济中的家庭事先是对称的，那么所有家庭都必须在任何给定的等级中花费相等的时间（Banner等人，2005）。因此，对于所有k=1。

，n，极限→∞TZTI{0}θi（t）- θ（k）（t）dt=n，a.s.，这与方程式（B.17）一起意味着极限→∞对数wn（T）T=极限→∞TZTnnXk=1upt（k）（t）dt，a.s.根据方程式（2.21）的定义，它遵循该极限→∞对数wn（T）T=An+limT→∞TZTu（t）dt，a.s.当然，由于wn随时间收敛到w，因此方程（B.15）得出An=0。直觉上，WN的相对增长率必须等于零，因为WN逐渐涵盖了经济中的所有财富。假设m<n。因为假设A.3对t时经济体中的n个最富有的家庭有效，我们可以简单地为这个家庭的上分组复制定理2.3的证明。然而，如果Am>An，方程式（B.10）产生矛盾，因为它意味着κm=-（α+···+αm）=-mAm<0，而κk≥ 0表示所有1≤ k≤ N、 通过方程（2.18）的定义（另见定理2.3证明中的讨论）。因此，我们得出结论，m≥ n、 假设m>n，那么通过定义αn+1+·····+αmm- n> 安。（B.18）根据定理2.3证明中的方程式（B.7），我们得到了thatlimT→∞Tlogθ（n+1）（T）+····+limT→∞Tlogθ（m）（T）=αn+1+···························································-κn，a.s.（B.19）当然，通过假设κn=0，因为在t之后，前n名最富有的家庭再也不会被经济中剩余的家庭取代（回忆一下localtime∧x的定义）。此外，通过方程式（B.18），可以得出αn+1+····+αm>0，并且方程式（B.19）的右侧大于零（κm≥ 0）。然而，这是一个矛盾，因为我们在上面的方程式（B.14）中假设方程式（B.19）的左侧小于零。因此，我们得出结论，m=n，假设A.3适用的最大家庭子集也是m<n满足Am=max1的家庭子集≤k≤NAkand Am>Alfor l 6=m。在证明了家庭w（1）的顶部子集的分离和发散后。

，w（m），剩下的就是证明这个子集形成了一个稳定的分布。这源于定理2.3和Am>Alfor l 6=m这一事实，因为该条件确保了这一顶级家庭子集的相对增长率满足定理2.3的稳定性条件。参考Saiyagari，S.R.（1994年8月）。未投保的特殊风险和总储蓄。《经济学季刊》109（3），659–684。Altonji、J.G.、A.A.Smith Jr.和I.Vidangos（2013年7月）。盈利动态建模。《计量经济学》81（4），1395–1454。Angeletos，G.-M.（2007年1月）。未投保的特殊投资风险和累计储蓄。经济动态回顾10（1），1–30。Angeletos，G.-M.和L.-E.Calvet（2006年9月）。特殊的生产风险、增长和商业周期。《货币经济学杂志》53（6），1095–1115。Atkinson、A.B.、T.Piketty和E.Saez（2011年3月）。从历史的长远来看，收入最高。《经济文献杂志》49（1），3–71。Banner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。Atlas股票市场模型。应用概率年鉴15（4），2296–2330。Benhabib，J.、A.Bisin和S.Zhu（2011年1月）。在具有独立代理人的经济体中，财富和政策的分配。计量经济学79（1），123–157。Benhabib，J.、A.Bisin和S.Zhu（2014年）。blanchard-yaarimodel中的财富分配。《宏观经济动态》即将出版。Bonhome，S.和J.-M.Robin（2010年4月）。广义非参数反褶积，应用于收益动态。经济研究回顾77（2），491–533。Browning，M.、M.Ejrnaes和J.Alvarez（2010年10月）。对具有大量异质性的收入过程进行建模。经济研究回顾77（4），1353–1381。Cagetti，M.和M.De Nardi（2008年9月）。财富不平等：数据和模型。宏观经济动态12（S2），285–313。凯斯，K.E.和R.J。

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589.家庭财富低估计高估计百分比波动率σk波动率σk0-10 0.283 0.28610-20 0.283 0.29420-40 0.283 0.31640-60 0.283 0.39260-100 0.283 1.662表1：波动率σk的低估计和高估计。家庭财富与低估计百分比波动率σk高估计波动率σk0-0.01 11.1%0.01-0.1 10.8%0.1-0.512.4%12.4%0.5-1 7.2%7.2%1-10 35.7%35.7%10-100 22.8%22.8%表2：波动率σkunder情景1不同估计的家庭财富份额，假设2012年美国。