有限域上的最优种群

根据CRRA公用事业和持续的规模化生产，（14）将如下所示：st/At=wt/At1+β-1γ（1+rt+1）γ-1γ=f（kt）- f（kt）kt1+β-1γ（1+rt+1）γ-1γ=（1+at）（1+nt）δ+rt+11+rt+1kt+1（15），其中，我们使用At+1=（1+At）At，类似于（4）。正如我们所知，f（kt+1）=xt+1=rt+1+δ，f（kt）=αkα-1代表Cobb-Douglas情形，我们可以将KTlabel（15）的上述动力学性质指定如下：（1）- α） kαt1+β-1γ1+αkα-1吨+1吨- δγ-1γ=（1+at）（1+nt）αkαt+11+αkα-1吨+1吨- δ(16)2.2. 稳态下的生育率如上所述，柯布-道格拉斯生产下的OLG模型的特性是，代表性的效用将通过非常大或非常小的稳态人口增长率n来最大化。换句话说，存在这样一个使效用最小化的生育率。也就是说，生育率不是内生性的，而是必须从规划的角度来确定的。在这里，我们将看到生育率n和代表性效用u是如何通过稳定状态下的人均资本存量k作为中介联系起来的。在萨缪尔森（1975）研究了偶然性定理之后，迪尔多夫（1976）就展示了这一特性。

另一方面，将生育率纳入效用函数的内生生育率模型具有内部最大化解（Abio，2003；Fanti和Gori，2010）。首先，我们用k来求解n的主要OLG动力学（16）的稳态。为了简单起见，下面我们假设a是常数（即a=0）。(1 - α） kα1+β-1γ（1+αkα-1.- δ)γ-1γ=（1+n）αkα1+αkα-1.- δ接下来，我们用k表示稳态效用u，通过以下等式：u=c1-γ1 - γ+βd1-γ1 - γ、 c=w- s、 d=（1+r），w=A（1- α） kα，r=αkα-1.- δ、 s=w1+β-1γ（1+r）1-γ不是分析显示生育率n和代表效用u之间的关系，而是使用一个数字示例（参数a=1，α=0.3，β=0.5，γ=0.4，δ=0.3），我们也将在后面的演示中使用该示例，以图形方式显示n a影响和k a影响u的方式。如图2所示，k和n呈负相关，虽然k和u之间的相关性存在下降。因此，我们发现n=3.37会使u最小化，0.2 0.4 0.6 0.81k246810n0.2 0.4 0.6 0.81k1.11.21.31.41.5U图2：相对于人均资本k的生育率n，稳态效用水平u。而任何高于或低于该水平的生育率都会增加代表效用。在后面的讨论中，我们将使用这个生育率作为上限，因为从生物学角度来看，生育率必须是上限。2.3. 能源效率和资源可用性随着时间的推移，人口的累积增加了创新，从而提高了生产率，同时，能源资源也在消耗。在这方面，我们对At（以及At）相对于人口表Nt的过渡进行建模。

首先，我们将Atin分解为两部分：At=EtZtZtNt=GtHt，A=1（17），其中，Et=atnts表示生产中使用的能量量，而zt开采的资源量inIt可能更便于解决相反的问题，但无法进行分析。换言之，除了资本外，生产是由一种称为能量的中间因素进行的，而能量是由主要因素（称为劳动力）产生的。此外，让我们调用G≡ E/Z和H≡ Z/N、能源效率（EE）和资源可用性（RA）。假设RA减少至t期之前开采的资源总量（累计），而资源的开采受RA本身的影响。也就是说，RA受到累积Zt=Htnt的负面影响，因此：Ht+1=1- ρtXi=1HiNi，H=1，其中，ρ>0表示将开采资源转换为RA的比例参数。通过递归方法，我们将看到上述公式简化为：Ht+1=（1- ρNt）Ht（18）为了简单起见，我们还假设EE通过人口数量和基础EE的水平来增强，方式如下：Gt+1=1+σtXi=1GiNi，G=1，其中σ>0，可能是随机的，指定了EE创新的标度参数。通过递归的方法，我们也可以将其写成：Gt+1=（1+σNt）Gt（19）结合（18）和（19），在考虑EE和RA时，我们有以下劳动生产率的演变：at+1=at+1At=Gt+1Ht+1GtHt=（1+σNt）（1- ρNt）（20）最后，存量能源的状态更新如下所述，θ是人均存量能源提取率，我们假设在整个过程中是恒定的。Rt+1=(R)R-tXi=1θHiNi=Rt- θHtNt，R=\'R（21）注意，\'R表示库存能源的最终储量t=1.2.4。目标函数我们首先指定规划水平的最终状态。

由于最后一代T是能够消耗剩余储存能量的最后一代，以下条件必须保持，关于（21）：RT+1=RT- θHTNT=0（22）自然，对于所有t，Nt=0≥ T+1，根据（22），因为任何Nt都不能取负值。从另一个角度来看，由于我们只关注存量能源经济，而忽略了流动能源经济，因此我们隐含地假设ε=0（见图1）。那么，有限期效用SWF将是直到该规划期的不同世代的未加权终身效用的总和：效用SWF=TXt=1TNT（23）。有限期最大最小SWF将是直到T的世代中效用最小的个体（世代）的效用，即最大最小SWF=min1≤t型≤图坦卡蒙（24）3。计算实验3.1。上述问题类型可归类为具有自由水平横向条件的动态优化问题。特别是，问题集中于如何最大化目标函数（23或24），以满足模型的技术约束。，（4，16，18，19，20，21），具有横截性条件（22）。我们首先从动态规划（DP）的角度考虑效用SWF最大化问题，因为反向归纳法可以用于通过平滑插值数值求解策略函数Nt。然而，我们发现，这种方法成本太高，因为有太多的状态变量（五，即k、N、G、H、R）无法在适当的时间内用有效的计算设备处理，更不用说主要动力学的复杂性了（16）。然后，我们考虑通过选择对数效用（γ=1）和完全折旧（δ=1）来简化主要动态，并通过部署ρ=σ=0来保存状态变量，从而使G和H变为常数（因此a=0）。

从计算角度来看，这些设置似乎很有意义。然而，对数效用可能会导致效用性SWF的情况下出现一个不相关的角点解（Nt=0），因为负效用值之和（当消费水平小于1时）为负，因此零人口会更好。此外，恒定生产率（即a=0）很难接受，因为我们最关心的是人口动态所带来的技术进步。作为一种替代方法，我们从非线性规划（NLP）的角度来考虑这个问题。NLP can beLog（负）效用在相对比较的程度上是有用的。然而，绝对评估在这种情况下可能并不合适，因为它假定了“永远都不会更好”的理念（Benatar，2006）。适用于有限水平动态优化问题，如当前问题，但可以处理多个状态变量。为了进一步研究，我们将我们的动态NLP问题重写如下：MaximizeText=1或Maximize uminsubject tout=c1-γt1- γ+βd1-γt+11- γ、 ct=重量- st，dt+1=（1+rt+1）st，wt=At（1- α） kαt，rt+1=αkα-1吨+1吨- δ、 st=wt1+β-1γ（1+rt+1）1-γ,(1 - α） kαt1+β-1γ1+αkα-1吨+1吨- δγ-1γ=（1+at）（1+nt）αkαt+11+αkα-1吨+1吨- δ、 1+nt=nt+1/nt，1+at=（1+σnt）（1- ρNt），Gt+1=（1+σNt）Gt，Ht+1=（1- ρNt）Ht，At=GtHt，Rt+1=Rt- θHtNt，RT- θHTNT=0，u≤ umin公司≤ ut，λ≤ Nt，Nt≤ ω（对于t=1，···，t），其中，u>0表示生命值的最小效用（即临界水平）；λ表示维持一代的最小可能种群；ω表示人口的最大可能增长率。注意，状态变量的初始条件，即k、N、G、H和rw将提前给出。

此外，由于NT+1=0，因此NT=-1，kT+1=∞, rT+1=-δ，因此，dT+1=（1- δ） 我们试图解决人口计划（N，…，NT）的这一问题，参数用小写希腊字母书写，也提前给出。3.2. 问题解决艺术T的最大优化，我们用T表示*,可以通过顺序（逐步）计算的方式进行搜索。也就是说，我们在许多不同的视界上执行NLP优化，即T=10、11、12、100、101、等等，直到获得目标SWFI的最大值。规划范围将为上限如果λ（一代人的最小可能人口）严格为正，因为每一代人必须消耗有限存量能源的某一部分。因此，通过设置一个相对于存量能量界'R=R的足够大的λ，我们将能够得到*这在计算上是可以处理的。对于试验计算，我们采用表1中显示的参数，其中我们设置λ=0.1和u=1。此外，我们将初始存量能源设定为从R=50开始，初始人均资本设定为从k=0.20开始。此外，我们还设置了kt的上下界，以及gt和Ht的下界，以缩小可行解的范围。附录2.3.3中给出了T=40的上述动态LP的可执行GAMS/CONOPT代码示例。结果与讨论我们运行了两个案例，其参数总结见表1。这两种情况之间的差异体现在与生产率和能量提取相关的参数上，即σ和ρ。

更具体地说，情景（a）的创新速度较慢，能源可用性中断更快，正如第（20）条所述，而情景（b）则相反。表1：方案（a）和（b）的技术参数。情景（a）（b）α0.3 0.3β0.5 0.5γ0.4δ0.3 0.3σ0.001 0.002ρ0.006 0.001u1λ0.1 0.1ω3.37 3.3.1。场景（a）在图3中，我们展示了在场景（a）的参数下，在不同规划水平（即T=20、40、90和160）下，最大化效用SWF的人口时间表。我们观察到，在规划期的最后大约40代人周围，有一座高度相同的山峰。具有功利主义SWF的总体最优规划范围为T*= 58，如图4所示。在图5中，人口0 50 100 150代T=20 T=40 T=90 T=160图3：不同规划水平下的实用最优人口计划（情景（a））。我们展示了在不同规划水平（即T=15、50、90和160）下最大化最大WF的人口时间表。我们观察到，在规划期的最后20代左右，有一个高度下降的峰值。最大WF的总体最优规划范围为T*= 16，根据图6.62.19 62.195 62.2 62.205 62.21 62.215 Benthamite SWF0 50 100 150 200 250水平图4：最优规划水平搜索（实用，方案（a））。人口0 50 100 150代T=15 T=30 T=90 T=160图5：不同规划水平下的最大最优人口时间表（方案（a））。1.01 1.02 1.03 1.04Rawlsian SWF0 50 100 150 200 250水平图6：最佳规划水平搜索（maximin，方案（a））。图7和图8分别显示了在规划水平T=80的情况下，Utilitary和maximin SWF的最优人口计划Nt和相应的效用计划ut。

两个图具有相同的量表mea1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5效用0 2 4 6 8人口0 20 40 60 80代人口效用图7：效用最优人口计划和效用欠计划期限T=80（情景（a））。1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5效用0 2人口0 20 40 60 80代人口效用图8：最大最优人口计划和效用低于计划水平T=80（情景（a））。保证，因此它们具有可比性。请注意，对于效用最优值，累积总人口Pt=1Nt为59.23，对于最大值最优值，累积总人口Pt=1Nt为58.70。当效用SWF（即Pt=1）为62.21时，效用最优的最大SWF（即Umin）为1。另一方面，当maximin SWF为1.03时，maximin最优的效用SWF为61.26。图17总结了两个评估标准之间的权衡。此外，请注意，在效用最优和最大最小最优的情况下，最小效用分配给规划期的最后15代左右。在这种情况下，Generationwise实用程序似乎分布均匀。005 .01 .015 .02 .025 .03基尼指数x 100 200 300水平Benthamite RawlsianFigure 9：基尼指数（情景（a））。如图7和图8所示，是效用最优，而不是最大化最优。然而，通过基尼指数衡量的人口加权代际平等（在顺序效用方面）表明了相反的结果；效用最优人口计划的基尼指数为0.027，而最大最小人口计划的基尼指数为0.011，因此在这种情况下，最大最小人口计划更为公平。图9.3.3.2总结了方案（a）不同规划期的基尼指数。

场景（b）在图10中，我们展示了在场景（b）的参数下，在不同的规划视野（即T=30、60、110和160）下，最大化效用SWF的人口时间表。在T=65之前，将存在一个峰值，但它将变成一个带有反射点的斜坡。在T处使用实用主义SWFI的大最优规划范围*= 390，如图11所示。在图12中，我们展示了在不同规划水平（即T=30、60、110和160）下，最大化最大SWF的人口时间表。结果似乎没有明确的相关性，但可以观察到两个峰值，一个在起点，另一个在地平线附近。SWF最大的总体最优规划范围为T*= 30，如图13所示。基尼指数是一种常用的不平等衡量指标，由平等线和洛伦兹曲线之间的面积与平等线下总面积的比率来定义（例如，见Haughton和Khandker，2009）。对于t=1，···，t，使用NTA和ut的最佳配置，可以通过以下公式得出基尼指数：基尼指数=1-PTj=1νj（Sj-1+Sj）其中，Sj=Pji=1νiuiand S=0；j是发电利用率增长顺序的指数，即uj<uj+1；νj=Nj/PTt=1Nt。0 1 2人口0 50 100 150代T=30 T=60 T=110 T=160图10：不同规划水平下的实用最优人口计划（方案（b））。59.55 59.6 59.65 59.7Benthamite SWF0 100 200 300 400 500水平图11：最佳规划水平搜索（实用，方案（b））。图14和图15分别显示了在规划水平T=80的情况下，Utilitary和maximin SWF的最优人口计划Nt和相应的效用计划ut。请注意，对于效用最优值，累积总人口Pt=1Nt为51.27，对于最大值最优值，累积总人口Pt=1Nt为51.26。

最大SWF，即效用最优的Umin，当效用SWFi。e、 ，Pt=1，t为59.66，为1.137。另一方面，当maximin SWF为1.141时，maximin最优的效用SWF为59.37。这些权衡将在图18中总结。正如我们在图14和图15中所观察到的，实用人口计划和实用设施在运营中分布平稳，而在maximin情况下，它们的分布相当混乱。通过效用最优人口计划的基尼指数衡量的人口加权代际平等（效用方面）为0.0065，而最大最小最优人口为0 1 2 3人口0 50 100 150代T=30 T=60 T=110 T=160图12：不同规划水平下的最大最小最优人口计划（情景（b））。1.08 1.1 1.12 1.14Rawlsian SWF0 100 200 300 400 500水平图13：最佳规划水平搜索（maximin，方案（b））。0.0120. 因此，在这种情况下，效用优化更为公平，这可以从视觉上得到证实。图16.3.3.3总结了方案（b）下不同规划期的基尼指数。福利可能性前沿由于任何给定的人口计划以及相应的效用计划都可以根据效用和最大化标准进行评估，我们现在根据最大化标准评估效用最优计划，反之亦然。图17在横轴上绘制了效用最大值，在纵轴上绘制了相应的最大值标准（即最小效用），在蓝色点内，而在垂直轴上绘制了最大值最大值，在横轴上绘制了相应的效用标准（即总体福利），在品红点内，所有这些都在场景（a）的参数下。