极限订货簿模型的扩散近似

首先，请注意，根据足够大的n的归纳假设，对于所有j<i，c（n）jj（s）>0，因此通过方程式（A.2），Z（n），i（s）-Xj<ic（n）ij（s）W（n），j（s）=Z（n），i（s）-Xj<ic（n）ij（s）Xl≤jα（n）jl（s）Z（n），l（s）=Z（n），i（s）-Xl<iZ（n），l（s）Xl≤j<ic（n）ij（s）α（n）jl（s）。我们为所有l<i，β（n）l（s）设置：=-1σ（n）l（s）Pl≤j<ic（n）ij（s）α（n）jl（s）：如果σ（n）l（s）>00:elseas以及β（n）i（s）：=σ（n）i（s）：如果σ（n）i（s）>00：否则。根据归纳假设，引理3.5和引理3.7，我们知道对于每个j≤ 存在一个有界函数βj:E→ R使（23）sups∈Eloc公司β（n）j（s）- βj（s）→ 0.但对于n大数值，我们对所有s的定义∈ Eloc，c（n）ii（s）W（n），i（s）=Z（n），i（s）-Xj<ic（n）ij（s）W（n），j（s）=v（n）*X（n）（s）·/x（n）Xj=0I（n）X（n）（s）x（n）j,Xl码≤iβ（n）l（s）fl+- t（n）Xl≤iβ（n）l（s）u（n）l（s），然后t（n）c（n）ii（s）= Ec（n）ii（s）W（n），i（s）= t（n）Z∞g（n）（s；y）Xl码≤iβ（n）l（s）F（n）l（y）dy公司-t（n）Xl≤iβ（n）l（s）u（n）l（s）.显然，（23）意味着∈Nsups∈Eloc公司β（n）l（s）=: C<∞ 对于所有l≤ i、 因此，上述方程右侧的最后一项在s中一致收敛为零∈ 把注意力集中在那个supn上∈Nsups∈Eloc公司u（n）l（s）<∞ 对于所有l≤ 引理3.6。此外，sups∈Eloc公司Z∞g（n）（s；y）- g（s；y）Xl码≤iβ（n）l（s）F（n）l（y）dy公司≤ Ci·sups∈埃洛茨∞g（n）（s；y）- g（s；y）dy公司→ 通过支配收敛，我们推导出，在s∈ Eloc，Z∞g（s；y）Xl码≤iβ（n）l（s）F（n）l（y）dy公司→Z∞g（s；y）Xl码≤iβl（s）Fl（y）因此，（24）cii（s）=Z∞g（s；y）Xl码≤iβl（s）Fl（y）现在假设infs∈Eloccii（s）=0。

因为对于所有y，g（·；y）有界远离零∈ 通过假设3.2（i），我们从（24）中推断出一定存在一个n Eloc值序列（sn），例如xl≤iβl（sn）Fl（y）→ 几乎所有y均为0∈ R+。自sups起∈Eloc |βl（s）|<∞ 对于所有l≤ i、 这意味着存在一些向量b∈ Risuch thatXl≤几乎所有y的iblFl（y）=0∈ R+，因此也就是OH（y）：=Xl≤几乎所有y的iblfl（y）=0∈ R+。然而，0=kHkL=Xl≤IBL表示所有l的bl=0≤ 因此我们必须有βl（sn）→ 0表示所有l≤ i、 但对于l=i，这就产生了一个矛盾，因为∈Eloc（σi（s））=sups∈埃洛茨∞g（s；y）[Fi（y）]dy≤ M<∞.因此，σiis有界，因此βiis有界远离0。这证明infs∈Eloccii（s）>0。现在α（n）ij，j的c收敛≤ i、 给一些令人满意的供应商∈Eloc |αij（s）|<∞ 根据α（n）ijby的定义，从j=i向后迭代到j=1。以下备注是我们后续分析的关键。备注3.12。如果满足假设2.2、3.1、3.2（i）和3.3（i），则根据Lemmata3.5、3.7和3.11，每m∈ N常数qm<∞ 和nm∈ N使得对于所有N≥ N和j≤ 我≤ m、 sups公司∈Eloc公司α（n）ij（s）σ（n）j（s）<qm。让我们转向波动率算子的收敛。类似地，对于函数d（n）ijwe，设置为alli，j∈ N和s∈ Eloc，dij（s）：=（σi（s）cij（s）：j≤ i0:j>i。引理3.13。给定假设2.2、3.1、3.2（i）和3.3（i），我们对所有m∈ N、 sups公司∈ElocXi公司∈ImXj公司≤我d（n）ij（s）- dij（s）→ 0.证明。修复m∈ N且ε>0。

根据Le mma 3.4，我们可以确定子集J 这样，对于所有n∈ 与非y∈ R+，Xi∈Im\\JF（n）i（y）≤ε8M。因此对于任何n∈ N和s∈ Eloc，Xi∈Im\\Jσ（n）i（s）Xj公司≤我c（n）ij（s）- cij（s）≤ 2Xi∈Im\\Jσ（n）i（s）Xj公司≤我c（n）ij（s）+ （cij）= 4Xi∈Im\\Jσ（n）i（s）≤ 4Xi∈Im\\JZ∞g（n）（s；y）dxF（n）i（y）dy公司≤ε.根据引理3.11，存在所有i，j∈ N an nij=nij（ε，m），因此对于任何N≥ nij，sups∈Eloc公司c（n）ij（s）- cij（s）<ε2 | J | Mm。因此，对于任何n≥ n： =最大{nij:j≤ i、 我∈ J} 和s∈ Eloc，Xi∈伊姆河σ（n）i（s）Xj公司≤我c（n）ij（s）- cij（s）≤ε+Xi∈Jσ（n）i（s）Xj公司≤我c（n）ij（s）- cij（s）<ε+Xi∈Jσ（n）i（s）ε2Mm≤ ε.现在，根据上面的引理和引理3.7得出结论，因为∈ImXj公司≤我d（n）ij（s）- dij（s）≤ 2Xi∈伊姆河σ（n）i（s）Xj公司≤我c（n）ij（s）- cij（s）+ 2Xi∈伊姆河σ（n）i（s）- σi（s）.3.5. 鞅收敛到高斯随机测度。现在，我们将证明驱动（22）中SDE的鞅在L（R+）上的圆柱布朗运动的收敛性。我们从下面的简单引理开始。引理3.14。假设满足假设2.2、3.1和3.9。则存在任何∈ L（R+）和ε>0安m∈ N这样的话≥ m级≥ m、 n个∈ N、 和t∈ [0，T]，Et型/t（n）Xk=1mXi=m+1δW（n），ikhД，fii< ε.证据我们选择：=inf（m∈ 编号：∞Xi=m+1hД，fii<εT）。那么根据推论3.10，我们得到了所有n∈ N和t∈ [0，T]，Et型/t（n）Xk=1mXi=m+1δW（n），ikhД，fii=t型/t（n）Xk=1mXi=m+1t（n）hИ，fii≤ TmXi=m+1hД，fii<ε。前面的引理允许我们定义每个n∈ N一个所谓的L（R+）#-半鞅（定义见[16]）：对于任何t∈ [0，T]和Д∈ L（R+）我们设置（25）W（n）（Д，t）：=t型/t（n）Xk=1XiδW（n），ikhД，fii，其中上述系列定义为LP（n）-限度定理3.15。假设假设满足假设2.2、3.1、3.2（i）、3.3（i）和3.9。让l∈ N和takeanyД，^1l∈ L（R+）。然后作为n→ ∞,W（n）（Д，·），W（n）（Дl，·）=> （W（Д，·）。

，W（Дl，·））in D[0，T]；Rl型, 其中W是L（R+）上的圆柱布朗运动。因此，在[16]的术语中，W是具有协方差结构的中心高斯L（R+）#-半鞅[W（Д，t）W（Д，s）]=（t∧ s） hД，ДiforД，Д∈ L（R+）和s，t∈ [0，T]。证据对于任何∈ L（R+）我们定义了近似序列eИm：=mXi=1hД，fiifi。取Д，^1l∈ 对于某些L，L（R+）∈ N、 我们会的W（n）（Д，·），W（n）（Дl，·）收敛到协方差函数e[W（Дi，t）W（Дj，s）]=（t）的中心高斯过程∧ s） 对于任何1≤ i、 j≤ l和s，t∈ [0，T]。为此，首先请注意∈ N和所有k≤ Tn，EW（n）^1i，t（n）kF（n）k-1.= limm公司→∞EW（n）^1mi，t（n）kF（n）k-1.= limm公司→∞W（n）^1mi，t（n）k-1.= W（n）^1，t（n）k-1..其次，对于所有n∈ N和k，k∈ {1，…，Tn}表示δW（n）^1i，t（n）k:= W（n）^1i，t（n）k- W（n）^1i，t（n）k-1.,我们有δW（n）^1i，t（n）kδW（n）^1j，t（n）kF（n）k-1.= limm公司→∞EmXg，h=1δW（n），gkhДi，fgiδW（n），hkhДj，fhiF（n）k-1.= limm公司→∞t（n）mXh=1hхi，fhihхj，fhi=t（n）hИi，Дjiand因此对于所有1≤ i、 j≤ l和t∈ [0，T]，t型/t（n）Xk=1EδW（n）^1i，t（n）kδW（n）^1j，t（n）kF（n）k-1.→ 为了应用鞅差数组的函数收敛定理，仍需检查条件Lindeberg条件是否满足。为了便于记法，我们将在下面假设l=2，注意gene-ral情况后面有类似的参数。让我们确定一些ε>0和t∈ [0，T]。

我们想证明，对于任何δ>0的情况，存在一个n=n（ε，δ），这样对于所有n≥ nt型/t（n）Xk=1EhδW（n）^1，t（n）k我hδW（n）^1，t（n）ki+hδW（n）^1，t（n）ki> εF（n）k-1!< δa.s.为此，我们首先应用引理3.14，并选择m=m（δ），以便所有n∈ Nt型/t（n）Xk=1EhδW（n）φ- ^1m，t（n）k我F（n）k-1.=t型/t（n）Xk=1t（n）∞Xi=m+1hД，fii<δ。因此t型/t（n）Xk=1EhδW（n）^1，t（n）k我hδW（n）^1，t（n）ki+hδW（n）^1，t（n）ki> εF（n）k-1!<δ+ 2t型/t（n）Xk=1E“mXi=1δW（n），ikhД，fii#hδW（n）^1，t（n）ki+hδW（n）^1，t（n）ki> εF（n）k-1..根据备注3.12，存在nm∈ N和a常数qm<∞ 这样，对于所有n≥ nm，mXi=1δW（n），ik=mXi=1nc（n）iiS（n）k-1.>0o个Xj公司≤iα（n）ijS（n）k-1.Z（n），jk+nc（n）iiS（n）k-1.=0o个t（n）U（n），ik≤mXi=1nc（n）iiS（n）k-1.>0oiXj≤我α（n）ijS（n）k-1.Z（n），jk+nc（n）iiS（n）k-1.=0o个t（n）=mXi=1nc（n）iiS（n）k-1.>0oiXj≤我α（n）ijS（n）k-1.σ（n）jS（n）k-1.Dδv（n）k，fjE+nc（n）iiS（n）k-1.=0o个t（n）≤mXi=1mqmδv（n）k【0，m】L+t（n）(16)≤ t（n）mqmm+1M+m≤ dmna。s、 带（dmn）n∈Nbeing满足dmn的确定性序列→ 0作为n→ ∞. 我们选择n（δ，ε）=n（m（δ），δ，ε）：=minnn∈ 编号：8T kИkLdmnkхkL+kхkL< Δεo.那么对于所有n≥ nmby柯西-施瓦兹不等式，E“mXi=1δW（n），ikhД，fii#hδW（n）^1，t（n）ki+hδW（n）^1，t（n）ki> εF（n）k-1.≤ k^1kL·EmXi=1δW（n），ikhδW（n）^1，t（n）ki> ε+hδW（n）^1，t（n）ki> ε!F（n）k-1.≤2 kхkLdmnε·EhδW（n）^1，t（n）ki+hδW（n）^1，t（n）k我F（n）k-1.=2 kхkLdmnεt（n）kхkL+kхkL<δt（n）4Ta。s、 因此，满足条件Lindeberg条件，鞅差数组的泛函中心极限定理（参见[11]中的定理3.33）表明W（n）（Д，·），W（n）（Дl，·）=> （W（Д，·），D（[0，T]；Rl）中的W（Дl，·）），其中（W（Д，·），W（Дl，·））是一个中心高斯过程，协方差函数e[W（Дi，t）W（Дj，s）]=（t∧ s） 对于任何1≤ i、 j≤ l和s，t∈ [0，T]。备注3.16。

过程W不仅是[16]意义上的L（R+）#-半鞅，而且可以理解为鞅随机测度：如果a：={a B（R+）：A有界}，我们可以定义任何A∈ A和t∈ [0，T]，M（A，T）：=W（A，T）。那么M实际上是一个由a×[0，T]索引的高斯鞅随机测度。4、作为无限维SDE的状态动力学在本节中，我们证明了S（n）的动力学可以写成有限维SDE，并证明了被积函数和积分器的收敛性。我们的集成概念遵循[16]，我们指的是下文中使用的任何未知术语。对于每个n∈ N我们定义了Eloc值随机过程S（n）（t）t型∈[0，T]作为S（n）kk=0，。。。，Tn，即S（n）（t）：=S（n）k，如果t∈ht（n）k，t（n）k+1.类似地，如果t（n）k，我们setB（n）（t）：=B（n）k，V（n）（t，x）：=V（n）k（x）≤ t<t（n）k+1，x∈ R+。根据方程式（11）和（2），我们得到B（n）（t）=B（n）+t型/t（n）Xk=1马力（n）S（n）k-1.t（n）+r（n）S（n）k-1.δZ（n）kiV（n）（t，x）=V（n）（x）+Xifi（x）t型/t（n）Xk=1u（n）iS（n）k-1.t（n）+σ（n）iS（n）k-1.Xj公司≤ic（n）ijS（n）k-1.δW（n），jk.（26）根据（10）和（25）中分别引入的过程Z（n）和W（n），我们可以通过将∈ N、 t型∈ [0，T]和Д∈ L（R+），Y（n）（Д，t）：=Z（n）k，W（n）（Д，t），t（n）k, 如果t∈ht（n）k，t（n）k+1.关于Y（n）的随机积分在附录B中介绍。

如果我们确定，对于任何n∈ N、 高效函数G（N）：Eloc→^Eloc（空间^Eloc的定义见附录B）viaG（n）：=G（n），1，0，G（n），3，0，G（n），5，G（n），6其中G（n），1（s）：=r（n）（s），G（n），5（s；x，y）：=XiXj≤id（n）ij（s）fi（x）fj（y），G（n），3（s）：=p（n）（s），G（n），6（s；x）：=Xiu（n）i（s）fi（x）=u（n）（s；x），则一般积分理论保证积分ztg（n）S（n）（u）-)dY（n）（u），t∈ [0，T]被定义为Eloc值随机过程，（26）得出状态过程的以下表示：（27）S（n）（T）=S（n）+ZtG（n）S（n）（u）-)dY（n）（u），t∈ [0，T]。在下一小节中，我们将证明积分器和被积函数的收敛性。4.1. 积分器和被积函数的收敛性。下列定理表明序列Y（n）收敛于L（R+）#-半鞅（28）Y（ν，t）：=（Z（t），W（Д，t），t），ν∈ L（R+），t∈ [0，T]，其中W是L（R+）上的圆柱布朗运动，Z是独立的标准布朗运动。定理4.1。假设满足假设2.1、2.2、3.1、3.2（i）、3.3（i）和3.9。然后，对于每k∈ N和Д，^1k∈ L（R+），Y（n）（Д，·），Y（n）（Дk，·）=> （Y（Д，·），Y（Дk，·））in D[0，T]；R3k, 其中Y在（28）中定义。证据联合收敛直接来自定理2.4和3.15，因为过程Z（n），n∈ N、 andW（N）（Д，·），N∈ N、 对于任何类型∈ L（R）。

然而，为了推导联合有限维分布（尤其是为了检查由此产生的圆柱运动和标准布朗运动的独立性），我们还必须证明两件事：首先，我们将证明对于所有∈ [0，T]和Д∈ L（R+），t型/t（n）Xk=1EδW（n）^1，t（n）kδZ（n）kF（n）k-1.→ 第二，我们将表明，对于所有ε>0，t∈ [0，T]和Д∈ L（R+），t型/t（n）Xk=1EhδW（n）^1，t（n）ki+hδZ（n）kihδW（n）^1，t（n）ki+hδZ（n）ki>εF（n）k-1.→ 0 a.s.为此，观察任何n，i∈ N和k≤ Tn，EDδv（n）k，fiEδZ（n）kF（n）k-1.= -t（n）u（n）iS（n）k-1.p（n）S（n）k-1..设δ>0。