极限订货簿模型的扩散近似

[2]中的定理18.2暗示Z（n）弱收敛于标准布朗运动。为了获得下面第5节中完整价格过程的收敛性，我们还必须计算出漂移和波动函数p（n）和r（n），n∈ N、 满足一个连续性条件，并且它们收敛到一些函数p和r作为N→ ∞.假设2.5。（i） 存在函数p：Eloc→ R、 R：Eloc→ R+、C<∞ 对于ALL=（b，v），es=（eb，ev）∈ Eloc，| p（s）|+r（s）≤ C（1+| b |）和所有m∈ N、 sups=（b，v）∈ Eloc公司p（n）（（b∧ m、 v））- p（（b∧ m、 v））+r（n）（（b∧ m、 v））- r（（b∧ m、 v））→ 0.（ii）存在L<∞ 这样，对于所有n∈ N和s=（b，v），es=（eb，ev）∈ Eloc，最大p（n）（s）- p（n）（es）,r（n）（s）- r（n）（es）o≤ L1+| b+| eb|1 +v[0，b∨eb]L+ev[0，b∨eb]Lnb-电子商务+（五）- ev）[0，b∨eb]低。假设2.5（ii）类似于loc al Lipschitz假设。它将在随后的主要定理证明中发挥关键作用。下面的示例说明了假定的依赖结构。示例2.6。为了对立定体积的依赖性进行建模，我们可以对Lipschitz连续函数h:R进行积分→ R与价格过程左侧的累积量对比。如果我们假设hhas紧支持R-, 然后对于所有s=（b，v），es=（eb，ev）∈ Eloc，v（·+b）[-b、 0]，h-开发人员· +电子商务[-eb，0]，他=v、 h（·）- b）[0，b]-开发，h· -电子商务[0，eb]E≤Dv- ev，h· -电子商务[0，eb]E+Dv[0，b∨eb]，h（·）- （b）- h类· -电子商务E≤ khkL公司·（五）- ev）[0，b∨eb]L+v[0，b∨eb]L·L[0，b∨eb]b-电子商务L≤ khkL公司·（五）- ev）[0，b∨eb]L+Lv[0，b∨eb]L1+| b+| eb|b-电子商务.现在，如果P，R是Lipschitz连续函数，我们可以定义所有s=（b，v）∈ 埃洛克，p（n）（s）：=pv（·+b）[-b、 0]，h, r（n）（s）：=rv（·+b）[-b、 0]，h所定义的函数p（n）和r（n）满足假设2.5（ii）。3.

体积过程的波动在本节中，我们分析了有限维体积过程V（n）的波动。在第一步中，我们计算其条件矩并证明其收敛性为n→ ∞. 随后，我们将其表示为一个由有限维鞅驱动的随机微分方程的解，该鞅收敛于圆柱布朗运动的非分布，如n→ ∞. 由于V（n）不是一个L值过程，而是一个仅为L值的过程，我们需要对分析进行本地化。我们对随机变量ω（n）和π（n）k的联合分布作出以下假设。假设3.1。存在一个M>0，这样对于所有n∈ N和k≤ Tn，（15）Pω（n）k∈ [-M、 M]，π（n）k∈ [0, ∞)= 1、每n∈ N存在两个可测函数g（N），h（N）：Eloc×R+→ R+使得对于所有k=1，Tnand全部D∈ B（R+），Eω（n）kCφ（n）kDπ（n）kF（n）k-1.=ZDg（n）S（n）k-1.ydy a.s.andE公司ω（n）kCφ（n）kDπ（n）kF（n）k-1.= v（n）ZDh（n）S（n）k-1.ydy a.s.根据假设2.1和3.1程序S（n）kk=0，。。。，t是一个同态马尔可夫链∈ N、 此外，（15）和假设2.2意味着对于所有m>0，N∈ N、 和k≤ 田纳西州，δV（n）k【0，m】L≤v（n）M·/x（n）Xj=0I（n）π（n）kx（n）j[0，米]L≤ t（n）Mm a.s.，因此对于所有m>0 als oδv（n）k【0，m】L≤Δ^v（n）k【0，m】L+δV（n）k【0，m】L≤ EδV（n）k【0，m】LF（n）k-1.+δV（n）k【0，m】L≤ 2毫米t（n）a.s.（16）接下来的两个假设涉及g（n）和h（n）的收敛性和连续性。假设3.2。

（i） 存在一个可测函数g:Eloc×R+→ R+令人满意的信息∈Elocg（s；y）>0 y∈ R+这样的SUPS∈埃洛茨∞g（n）（s；y）- g（s；y）dy公司→ 0.（ii）存在一个L<∞ 这样，对于所有n∈ N和s=（b，v），es=（eb，ev）∈ Eloc，Z∞g（n）（s；y）- g（n）（es；y）dy公司≤ L1+| b |+]eb]1 +v[0，b∨eb]L+ev[0，b∨eb]Lnb-电子商务+（五）- ev）[0，b∨eb]低。下一个假设是推导Lloc值函数V（n）的扩散极限的关键。它指出，下单和取消订单的规模预计大致相同，两者之间的预期不平衡也以n为单位。这保证了累积量过程在达到缩放极限时不会爆发。假设3.3。（i） 存在一个可测函数h:Eloc×R+→ R令人满意的支持∈埃洛茨∞|h（s；y）| dy<∞这样就好了∈埃洛茨∞h（n）（s；y）- h（s；y）dy公司→ 0.（ii）存在一个L<∞ 这样，对于所有n∈ N和s=（b，v），es=eb，ev∈ Eloc，Z∞h（n）（s；y）- h（n）（es；y）dy公司1/2≤ L1+| b+| eb|1 +v[0，b∨eb]L+ev[0，b∨eb]Lnb-电子商务+（五）- ev）[0，b∨eb]低。3.1. 基本函数。我们的目标是将体积函数表示为一个由有限维鞅驱动的随机微分方程，该鞅的增量与L（R+；R）的不同基函数正交。我们选择Haar基，即我们指定基函数（fi）如下：对于每个k∈ Nwe集合gk-1（x）=[k，k+1）（x）。此外，我们为所有k，l设置∈ N、 gkl（x）：=l/2:x∈k2级-l、，k级+-l-2升/2：x∈k级+-l、 （k+1）2-l0：其他。为了确定（fi），我们现在按对角线程序重新排列（gkl）：f：=g-1，f：=g-1，f：=g，f：=g-1，f：=g，f：=g。

.在下文中，我们用k（i）表示∈ Nand l（i）∈ N-1： =N∪ {-1} 这些指数使得fi≡ gk（i）l（i）。让我们为每个i定义∈ N函数Fi:R+→ R和F（n）i:R+→ R、 n个∈ N、 viaFi（y）：=Z∞yfi（x）dx，F（n）i（y）：=Z∞x（n）y型/x（n）fi（x）dx。我们将看到，体积过程的漂移和波动性可以用函数F（n）i表示。我们注意到| Fi（y）|∨F（n）i（y）≤ 1代表所有y∈ R+和i，n∈ N、 此外，我们经常会使用这样一个事实，如果l（i）≥ 0，则supp（Fi）=hk（i）2-l（i），（k（i）+1）2-l（i）i，即| sup p（Fi）|≤ 1、同样支持F（n）i≤ 1代表所有i，n∈ N带l（i）≥ 0 . 我们还注意到，ifl（i）=-1，则supp（Fi）=suppF（n）i= [0，k（i）+1]。此外，我们有Lloc代表【y，∞)（x） =XiFi（y）fi（x）[x（n）y型/x（n）,∞)（x） =XiF（n）i（y）fi（x）。最后，对于所有m∈ N我们定义索引集（17）Im：={i∈ N：供应商（fi）∩ （0，m）6=}.请注意，对于所有m∈ N、 （fi）i∈IMI是L（[0，m]）的基础。此外，对于所有n，m∈ N和y∈ R+，Xi∈ImhF（n）i（y）i≤ m和XI∈Im【Fi（y）】≤ m、 我们将重复使用以下技术引理。它允许我们在定位后使用许多基函数来近似体积增量的条件矩。引理3.4。对于每个ε>0和m∈ N存在一个有限子集J 我希望大家∈ R+，Xi∈Im\\J（Fi（y））≤ ε和xi∈Im\\JF（n）i（y）≤ ε  n∈ N、 证明。对于x e dε>0和m∈ N集合l：=最小值l∈ 编号：2-l≤ ε和J：={i∈ Im:l（一）≤ l} 。现在请注意，尽管我∈ N、 | Fi（y）|=Z∞yfi（x）dx≤ 2.-l（i）/2 y∈ R+。此外，对于每l∈ N和y∈ R+正好存在一个i∈ N，l（i）=l，使得Fi（y）6=0。因此，Xi∈Im\\J（Fi（y））≤Xl>l-l（i）=2-l≤ ε  y∈ R+。因为这对所有人来说都是真的∈ R+，对所有人也是如此x（n）y型/x（n） 带n∈ N和y∈ R+。因此，Xi∈Im\\JF（n）i（y）≤ ε  y∈ R+，n∈ N3.2. 漂移、波动和相关函数的收敛性。

我们现在将分析条件期望的收敛性和体积增量的方差。事实证明，在有限的范围内，它们可以用函数ui:Eloc来描述→ R和σi:Eloc→ R+（i∈ N） 定义人：ui（s）：=Z∞h（s；y）Fi（y）dy，（σi（s））：=Z∞g（s；y）[Fi（y）]dy.Lemma 3.5。假设3.2（i）我们有∈ N、 infs公司∈Elocσi（s）>0。证据定义Fi（y）6=0表示所有y∈k（i）2-l（i），（k（i）+1）2-l（一）. 因此，该主张源于这样一个事实：对于每个y，g（·；y）从m零开始有界∈ R+根据假设3.2（i）。

根据前面的引理，我们可以定义所有i，j∈ N函数ρij:Eloc→ [-1,1]通过σi（s）σj（s）ρij（s）：=Z∞g（s；y）Fi（y）Fj（y）dy。此外，我们定义了每个n、i、j∈ N以下函数来自Elocto R，u（N）i（s）：=Z∞h（n）（s；y）F（n）i（y）dy，σ（n）i（s）：=Z∞g（n）（s；y）hF（n）i（y）idy- t（n）u（n）i（s）1/2，ρ（n）ij（s）：=（0，∞)σ（n）i（s）σ（n）j（s）σ（n）i（s）σ（n）j（s）Z∞g（n）（s；y）F（n）i（y）F（n）j（y）dy- t（n）u（n）i（s）u（n）j（s）,以及Lloc（R+）值函数u（n）（s；·）：=Xiu（n）i（s）fi（·）和u（s；·）：=Xiui（s）fi（·）。注意，使用这个符号，我们得到了所有x∈ R+和n∈ N、 假设2.2的主要用途，Δ^v（N）k（x）=v（n）Ex（n）x个/x（n）Xj=0M（n）kx（n）jF（n）k-1.= v（n）Z∞v（n）h（n）S（n）k-1.yx个/x（n）Xj=0I（n）（y）x（n）jdy=t（n）Z∞h（n）S（n）k-1.y[x（n）y型/x（n）,∞)（x） dy=t（n）u（n）S（n）k-1.x个（18） 以及asEDδV（n）k，fiEF（n）k-1.= t（n）ECφ（n）kω（n）kZR+fi（x）x个/x（n）Xj=0I（n）π（n）kx（n）jdx公司F（n）k-1.= t（n）ECφ（n）kω（n）khF（n）iπ（n）k我F（n）k-1.= t（n）Z∞g（n）S（n）k-1.yhF（n）i（y）idy=t（n）σ（n）iS（n）k-1.+ t（n）u（n）iS（n）k-1.,i、 e.（19）eDδv（n）k，fiEF（n）k-1.= t（n）σ（n）iS（n）k-1..类似的计算表明，（20）ρ（n）ijS（n）k-1.=EDδv（n）k，fiEDδv（n）k，fjEF（n）k-1.σ（n）iS（n）k-1.σ（n）jS（n）k-1.(0,∞)σ（n）iS（n）k-1.σ（n）jS（n）k-1..下三个引理建立了上述漂移、波动和协方差函数的收敛性。引理3.6。假设3.3（i）我们对所有m∈ N、 sups公司∈Eloc公司u（s）[0，m]L<∞ 和sups∈Eloc公司u（n）（s）- u（s）[0，米]L→ 0.证明。

自supp（Fi）起 [0，m]对于所有i∈ Im、sups∈Eloc公司u（s）[0，m]L=辅助∈ElocXi公司∈伊姆河Z∞h（s；y）Fi（y）dy≤ sups公司∈ElocmXi∈ImZm（h（s；y））（Fi（y））dy≤ m·sups∈埃洛茨∞（h（s；y））dy<∞.通过类似的推理，我们可以估计所有m∈ N、 sups公司∈ElocXi公司∈伊姆河Z∞h（s；y）F（n）i（y）- Fi（y）dy公司≤ sups公司∈ElocmXi∈ImZ公司∞（h（s；y））F（n）i（y）- Fi（y）dy=m·sups∈埃洛茨∞（h（s；y））[x（n）y型/x（n）,y] （·）Ldy公司≤ m级x（n）sups∈埃洛茨∞（h（s；y））dy→ 假设3.3（i）也适用∈ElocXi公司∈伊姆河Z∞h（n）（s；y）- h（s；y）F（n）i（y）dy≤ sups公司∈ElocmXi∈ImZ公司∞h（n）（s；y）- h（s；y）F（n）i（y）dy公司≤ msups∈埃洛茨∞h（n）（s；y）- h（s；y）dy公司→ 0引理3.7。给定假设3.1、3.2（i）和3.3（i），我们对所有m∈ N、 sups公司∈ElocXi公司∈伊姆河σ（n）i（s）≤ M和sups∈ElocXi公司∈伊姆河σ（n）i（s）- σi（s）→ 0.证明。首先，根据假设3.1和方程式（19），对于所有m∈ N和s∈ Eloc，Xi∈Im（σi（s））≤xi∈ImZ公司∞g（s；y）[Fi（y）]dy≤ 嗯。第二，假设3.2（i）适用于所有m∈ N、 sups公司∈ElocXi公司∈伊姆河Z∞g（n）（s；y）- g（s；y）【Fi（y）】dy≤ m·sups∈埃洛茨∞g（n）（s；y）- g（s；y）dy公司→ 0引理3.6得出，对于所有m∈ Nt（n）sups∈进出口银行∈伊姆河u（n）i（s）→ 0、下一个fix m∈ N且ε>0。引理3。4我们找到一个有限子集J 因此，对于所有∈ N和y∈ R+，Xi∈Im\\JhF（n）i（y）i≤ε4MandXi∈Im\\J【Fi（y）】≤ε4M。现在我们选择n=n（ε，m），这样对于所有i∈ N、 y型∈ R+、n≥ nhF（n）i（y）i- 【Fi（y）】≤ 2.F（n）i（y）- Fi（y）≤ 2.[x（n）y型/x（n）,y]L≤ 2.x（n）1/2<ε2M | J |。我们推断，对于所有n≥ nand s∈ Eloc，Xi∈伊姆河Z∞g（n）（s；y）hF（n）i（y）i- 【Fi（y）】dy公司≤ε2MZ∞g（n）（s；y）dy+Z∞g（n）（s；y）Xi∈JhF（n）i（y）i- 【Fi（y）】dy<ε+ε2MZ∞g（n）（s；y）dy≤ ε.因此，我们有，limn→∞sups公司∈ElocXi公司∈伊姆河σ（n）i（s）- σi（s）≤ 画→∞sups公司∈ElocXi公司∈伊姆河σ（n）i（s）- （σi（s））≤ 画→∞sups公司∈ElocXi公司∈伊姆河σ（n）i（s）+ t（n）u（n）i（s）- （σi（s））+ 画→∞t（n）sups∈ElocXi公司∈伊姆河u（n）i（s）= 0引理3.8。

给定假设2.2、3.1、3.2（i）和3.3（i），我们对所有i，j∈ N、 sups公司∈Eloc公司ρ（n）ij（s）- ρij（s）→ 0.证明。可以证明类似于引理3.7的证明，对于每一个fix ed i，j∈ N、 ρ（N）ij（s）σ（N）i（s）（N）σj（s）=Z∞g（n）（s；y）F（n）i（y）F（n）j（y）dy- t（n）u（n）i（s）u（n）j（s）在s中一致收敛于ρij（s）σi（s）σj（s）∈ Eloc公司。由于σ（n）i和σ（n）j分别由引理3.7和引理3.5从下方一致地限定为σi，因此声明如下。3.3. 正交分解。为了将体积识别为一些随机微分方程的解，我们需要对归一化体积增量进行去相关。为此，我们使用附录A中的算法在该子节中引入增量的正交分解。我们假设概率空间足够丰富，足以支持i.i.d.为随机变量。假设3.9。对于每n∈ N存在i.i.d.随机变量字段U（n），ikk、 我∈不Ohm（n） ，F（n），P（n）,与S（n）无关，因此PU（n），ik=-1.= PU（n），ik=1=.我们回顾了（条件）相关系数ρ（n）ij（·）（n，i，j）的定义∈ N、 j≤ i） 自（20）。附录A中的算法为每个n∈ N、 阿雷c（n）ij（·）j≤Elocto的可测函数[-1，1]和“逆数组”α（n）ij（·）j≤根据Borel可测相关系数ρ（n）ij（·）j、 i.现在，如果我们确定任何n，i∈ N和k≤ t随机变量sz（n），ik：=Dδv（n）k，fiEσ（n）iS（n）k-1.: σ（n）iS（n）k-1.> 0t（n）1/2U（n），ik：σ（n）iS（n）k-1.= 0，则Z（n），ikand Z（n），jk之间的条件相关精确为ρijS（n）k-1..

如果我们现在确定∈ N和k≤ Tn，一系列随机变量δW（n），ik，i∈ N、 通过δW（N），1k感应：=Z（N），1kS（n）k-1.对于所有i>1，（21）δW（n），ik：=c（n）iiS（n）k-1.Z（n），ikS（n）k-1.-Pj<ic（n）ijS（n）k-1.δW（n），jk: c（n）iiS（n）k-1.> 0t（n）1/2U（n），ik:c（n）iiS（n）k-1.= 0，则以下结果是引理A.1的直接推论。推论3.10。满足假设2.2、3.1和3.9。然后，对于所有n，i∈ Nand k=1，Tn，Z（n），ikS（n）k-1.=Xj公司≤ic（n）ijS（n）k-1.δW（n），jk以及asEZ（n），ikδW（n），jkF（n）k-1.= t（n）c（n）ijS（n）k-1.和EδW（n），ikδW（n），jkF（n）k-1.= t（n）δij。为了看到随机变量sδW（n），ik，i∈ N、 允许我们将体积过程表示为随机积分，我们定义了所有i、j、N∈ N a函数d（N）ij：Eloc→ [-M、 M]viad（n）ij（s）：=（σ（n）i（s）c（n）ij（s）：j≤ i0:j>i。注意，对于ea ch m∈ N、 矩阵d（n）ij（s）i、 j≤mis从协方差矩阵的choleskyfactoriation得到的三角矩阵σ（n）i（s）σ（n）j（s）ρ（n）ij（s）i、 j≤m、 因此，功能d（n）ij（s）i、 j∈nwill用作表示V（n）的随机方程中的波动率算子。指数d、方程（18）、（19）和推论3.10表明几乎可以肯定V（n）（t，x）=V（x）+Xifi（x）t型/t（n）Xk=1DδV（n）k，fiE=V（x）+Xifi（x）t型/t（n）Xk=1hu（n）iS（n）k-1.t（n）+σ（n）iS（n）k-1.δZ（n），iki=V（x）+Xifi（x）t型/t（n）Xk=1u（n）iS（n）k-1.t（n）+σ（n）iS（n）k-1.Xj公司≤ic（n）ijS（n）k-1.δW（n），jk（22）漂移的收敛性已经确定。在接下来的两小节中，我们证明了波动算子和驱动SDE的鞅的收敛性。3.4. 波动率算子的收敛性。本文证明了函数c（n）ij（·）和d（n）ij（·）的收敛性。作为副产品，我们获得了函数α（n）ij（·）的关键估计。

例如，该估计允许验证随机变量δW（n）、ik、k∈ N、 满足第3.15条证明中的Lindeberg条件。引理3.11。前提是假设2.2、3.1、3.2（i）和3.3（i）均满足。那么，everyi存在∈ N和j≤ i函数cij，αij:Eloc→ R这样的SUPS∈Eloc公司c（n）ij（s）- cij（s）→ 0和sups∈Eloc公司α（n）ij（s）- αij（s）→ 此外，我∈ N和j≤ i、 infs公司∈Eloccii（s）>0和sups∈Eloc |αij（s）|<∞.证据这一主张通过对i的归纳得到了证明。显然，对于i=1，我们有c≡ 1.≡ α. 现在假设所有函数c（n）jl，α（n）jl和l的条件都成立≤ j≤ 我- 特别是，这意味着对于所有的j<i和for n lar geenough，我们都有inf∈Elocc（n）jj（s）>0，hencec（n）ij（s）=c（n）jj（s）ρ（n）ij（s）-Xl<jc（n）il（s）c（n）jl（s）.通过从j=1到j=i的迭代推理- 1我们看到这项在s中一致收敛∈ 由于归纳假设和引理3.8，Elocto somefunction cij（通过类似的递归方案定义）。对于C（n）ii（s），同样适用=1.-Xj<ic（n）ij（s）1/2.接下来，我们必须证明极限满足∈Eloccii（s）>0。