最坏情况下，单变量和双变量边际预期短缺

保证集合非空的一组必要条件是由质量条件Xcj给出的一元和二元边缘的一致性∈Cjuij（cij）=ui（ci），ci公司∈ Ci，我∈ N：（i，j）∈ N、 Xci公司∈Ciuij（cij）=uj（cj），cj公司∈ Cj，j∈ N：（i，j）∈ N、 （2.1）然而，单变量和双变量边缘的一致性并不是保证Θ非空的有效条件（见Vorob\'ev 1962）。例如，考虑N={1，2，3}和二进制随机变量。单变量边缘表示为u（0）=u（1）=1/2，u（0）=u（1）=1/2，u（0）=u（1）=1/2，双变量边缘表示为u（0，1）=u（1，0）=1/2，u（0，1）=u（1，0）=1/2。虽然在本例中，单变量和双变量精变量是一致的，但集合Θ是空的。当图形满足称为“运行交叉点特性”的图论条件时，在多元边缘一致性的情况下，确保Fr'echetclass分布Θ的非空性。树就是这样一种图形结构。在这种情况下，单变量和双变量边缘的一致性将确保Θ是非空的。树结构在当前工作中起着重要作用，因为它简化了下面讨论的公式。2.1最接近一致性边缘在本节中，我们考虑当分布的原始集Θ为空时查找最接近一致性边缘的问题。为此，我们找到所有给定双变量边缘的最小扰动ρ，使得新的双变量边缘{θij}（i，j）∈Nlie在{uij}（i，j）的ρ-邻域内∈存在与给定的单变量边缘{ui}i一致的联合分布∈与新的二元边值{θij}（i，j）∈N、 为了确定ρ-邻域，我们使用了Kullback-Leibler（KL）-散度的概念。对于任意两个非负向量p=（p，…，pm）和q=（q。

，qm）T，KL散度定义为：IKL（p，q）=mXi=1pilog皮奇.KL散度是φ-散度的一个例子（见Pardo 2006），最近在分布稳健优化领域得到了广泛的应用（见Ben-Tal等人2013），其中概率分布集被定义为参考概率分布的ρ-邻域。为了验证Θ的非空性，我们需要检查给定单变量边缘{ui}i的联合分布θ的存在性∈Nand二元边缘{uij}（i，j）∈N、 如果存在这样的θ，则最小偏差由ρ=0或ρ>0给出。接下来，我们提出一个优化问题，以找到给定二元边值的最小邻域，从而保证Θ的非空性。设C=C×C×。Cnbe是c的所有可能实现和θ（c）=P（~c=c）的集合∈ C、 使用KL散度度量寻找最接近的一致边缘的问题被表述为凸优化问题的解决方案：minρ，θ，θijρsubject toXc∈C | ciθ（C）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xc∈C | cijθ（C）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj、Xc∈Cθ（C）=1，θ（C）≥ 0, c∈ C、 IKL公司θij，uij≤ ρ, （i，j）∈ N、 （2.2）在公式（2.2）中，目标是使ρ给出的相邻距离最小。前四个约束确保单变量ui和双变量θij存在联合分布，而最后一个约束确保双变量θij位于uij的ρ-邻域内。注意，对于一致的边缘uianduij，存在联合分布θ，则（2.2）的最佳解为ρ=0。然而，（2.2）中的凸优化问题中的变量数量与变量数量n成指数关系。接下来，我们将确定一个实例，其中最接近的一致性问题可以作为多项式大小的凸优化问题来解决。

下一步提供结果，附录中提供了预防措施。定理2.1考虑给定的一元和二元边缘{ui}i∈Nand{uij}（i，j）∈N其中与（N，N）关联的图形是一棵树。然后，以下凸优化问题的解找到存在联合分布的最小ρ-邻域：minρ，θijρsubject toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj、Xcij∈Ci×Cjθij（cij）=1，（i，j）∈ N、 θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ N.（2.3）在公式（2.2）中，决策变量的数量是O（mn），其中m是N个随机变量中的每一个所取的可能值的数量。另一方面，在公式（2.3）中，决策变量的数量仅为O（nm）。2.2扩展在本节中，我们将定理2.1与三个现有模型联系起来，并讨论可能的扩展。Roughgarden和Kearns（2013）考虑了通过扰动单变量边缘{ui}i获得一致联合分布θ的最小ρ-邻域的问题∈与二元边缘{uij}（i，j）∈N、 在他们的工作中，作者通过最小化L-范数距离，而不是我们在（2.2）中使用的KL发散度量，制定了一个线性规划。然而，由于他们考虑了二元的一般图结构，他们的问题是NP难解决的。在单变量边缘信息不可靠的情况下，我们可以通过使用KL发散度量扰动单变量边缘来建立他们的方法。

在这种情况下，树结构的凸优化问题（2.3）可以扩展为以下公式：minρ，θi，θijρsubject toXcj∈Cjθij（cij）=θi（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=θj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj、Xcij∈Ci×Cjθij（cij）=1，（i，j）∈ N、 θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，IKL（θi，ui）≤ ρ, 我∈ N，IKLθij，uij≤ ρ, （i，j）∈ N、 （2.4）其次，优化问题（2.2）和（2.3）与迭代比例拟合（IPF）程序的制定密切相关（见Deming和Stephan 1940、Fienberg 1970、Glasserman和Yang 2016、Ireland和Kullback 1968），也称为双比例拟合或耙削。在IPF程序中，调整双变量或高维多元边缘信息，保持给定的单变量或低维边缘分别固定，从而最大化双变量（或多变量，视情况而定）熵或相对熵，这相当于最小化KL散度。

对于给定的单变量和双变量边缘，与IPF方法相关的优化问题可以如下所示：maxθij-X（i，j）∈NXcij公司∈Ci×Cjθij（cij）对数θij（cij）uij（cij受试者toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj，θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj。（2.5）这个问题可以用ρ-邻域公式重新表述如下：minρ，θijX（i，j）∈Nρij受试者toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj，θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，IKL（θij，uij）≤ ρij，（i，j）∈ N、 （2.6）注意，上述公式与（2.3）中的公式相似，但此处的目标是使用L-规范定义的，而在（2.3）中，目标是使用L-规范定义的∞-标准最后，在我们的模型中，我们将重点放在以双变量边缘给出的专家信息上。已研究的一个相关问题是，利用协方差矩阵指定的专家信息，生成具有给定单变量边际的分布。其中一种方法是NORTA（对任何事物都正常）方法（见Cario和Nelson 1997）。虽然很流行，但众所周知，NORTA方法可能无法在存在具有可行协方差矩阵的单变量边缘集的所有情况下生成联合分布（参见Ghosh和Henderson（2002）的反例）。Ghosh和Henderson（2002）提出了一个通用的线性优化公式，用给定的单变量边际和协方差矩阵构建联合分布，如果存在或表明问题不可行。然而，他们的线性程序的大小在随机变量的数量上呈指数增长，因此很容易仅在低维中求解。使用前面的结果，我们可以将其结果扩展如下。

假设，对于每个（i，j）∈ N、 我们给出了用∑ij表示的i和j之间协方差的估计。将随机变量的平均值定义为E（~ci）=Pciciui（ci）。然后，我们可以使用如下协方差信息来推广（2.3）中的公式：minρ，θijρsubject toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj、Xcij∈Ci×Cjθij（cij）=1，（i，j）∈ N、 θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，Xcij公司∈Ci×Cjcicjθij（cij）- E（▄ci）E（▄cj）- ∑ij≤ ρ, （i，j）∈ N-Xcij公司∈Ci×Cjcicjθij（cij）- E（▄ci）E（▄cj）+ ∑ij≤ ρ, （i，j）∈ N、 （2.7）注意，在最优性条件下，ρ=max（i，j）∈N | E（▄ci▄cj）- E（▄ci）E（▄cj）- ∑ij |。如果（2.7）中的最优目标值为ρ=0，则通过使用定理2.1中的证明结构，在给定的单变量边缘和协方差矩阵下，存在一个点分布，否则不存在这样的分布。请注意，与Ghosh和Henderson（2002）中的原始线性规划不同，线性规划（2.7）中的变量数和约束数是随机变量数的多项式。这是因为我们在KnownC方差信息上假设了树结构。3最坏情况预期短缺（1.3）中投资组合优化的分布稳健CVaR（或预期短缺）问题通常表示为：minx∈X，β∈Rβ +1 - αmaxθ∈ΘEθ【~cTx- β]+在本节中，我们重点解决固定x和β的内部最大化问题，并找出对应的最坏情况分布。我们考虑形式为Eθ的函数的一个更一般的期望值最大值（maxk）∈KcTak（x）+bk（x）其中K={1，2，…，K}和ak（x），bk（x）区域假设为决策向量x的一个函数∈ 十、

观察K={1，2}，定义a（x）=x，b（x）=-β和a（x）=0，b（x）=0，对于鲁棒期望短缺问题，问题归结为内部最大化问题。对于给定的单变量ui和双变量uij，分布集Θρ定义为：Θρ=nθ：proji（θ）=ui，我∈ N，projij（θ）=θij，（i，j）∈ N、 Xc公司∈C | ciθ（C）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xc∈C | cijθ（C）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj、Xc∈Cθ（C）=1，θ（C）≥ 0, c∈ C、 IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ 否，（3.1）对于给定ρ≥ 当给定的边缘信息不存在联合分布时，ρ必须至少是通过求解（2.2）得到的集为非空的最小扰动。对于边值具有一致联合分布的情况，对于任何非负ρ，分布集都是非空的。因此，在确定分布集时选择ρ可以获得专家信息的可信度。接下来，我们提供一个等价公式来计算紧上界。结果是Doan和Natarajan（2012）中提供的线性规划问题公式的扩展，其中我们考虑了围绕双变量边缘的ρ-邻域，从而在风险度量的保守性和专家信息的可信度之间进行了权衡。附录中提供了证明。定理3.1考虑一元和二元边缘{ui}i∈Nanduij（i，j）∈n使用（3.1）中定义的集合ρ。

设V表示以下凸规划的最优值：maxvk，vki，vkij，wk，θ，θijXk∈KXc公司∈CcTakvk（c）+Xk∈Kbkwksubject-toXc∈C | cijvk（C）=vkij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，k∈ K、 Xc公司∈C | civk（C）=vki（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，k∈ K、 Xc公司∈Cvk（c）=周，k∈ K、 Xk公司∈Kwk=1，Xk∈Kvki（ci）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xk∈Kvkij（cij）=θij（cij）， （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，Xk∈Kvk（c）=θ（c），c∈ C、 IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ N、 vk（c）≥ 0, c∈ Ck∈ 科威特克朗≥ 0, k∈ K、 （3.2）那么V与Fr'echet界M=maxθ一致∈ρEθ最大值（maxk）∈KcTak+黑色.3.1树结构在定理3.1中，我们考虑了（3.1）中的一般分布集，并且没有关于二元边缘信息结构的附加条件。在定理2.1的基础上，在指数集（N，N）上的树结构假设下，分布集Θρ可以根据单变量和双变量边缘定义为：Θρ=Nθ：proji（θ）=ui，我∈ N，projij（θ）=θij，（i，j）∈ N、 Xcj公司∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj，IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ No.（3.3）接下来提供最坏情况界限的公式，并在附录中提供证明。定理3.2考虑一元和二元边缘{ui}i∈Nanduij（i，j）∈Nsuchthat（N，N）具有（3.3）中定义的集合ρ的树结构。

设V表示下列原凸规划的最优值maxvki，vkij，wk，θijXk∈KXi公司∈NXci公司∈Ciciakivki（ci）+Xk∈Kbkwksubject托克∈Kvkij（cij）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，Xk∈Kvki（ci）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xcij∈Cijvkij（cij）=周，（i，j）∈ Nk∈ K、 Xci公司∈Cvki（ci）=周，我∈ Nk∈ K、 Xk公司∈Kwk=1，Xci∈Civkij（cij）=vkj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Nk∈ Kcj公司∈ Cj、Xcj∈Cjvkij（cij）=vki（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nk∈ Kci公司∈ Ci，（3.4）。IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ N、 vkij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，k∈ K、 工作时间：≥ 0, k∈ K、 那么V与Fr'echet界M=maxθ一致∈ρEθ最大值（maxk）∈KcTak+黑色.在公式（3.2）中，决策变量的数量为O（Kmn），其中m是n个随机变量中每个随机变量的可能值的数量，而在公式（3.4）中仅为O（Knm）。因此，在树结构公式下，问题是多项式时间可解的。在具有最小-最大公式的分布稳健CVaR问题（1.3）中，目标是找到使最坏情况下的预期短缺最小化的最优决策变量x。由于内部最大化问题是凸规划问题，因此可以使用对偶公式将其重新表示为最小化问题，从而将分布鲁棒CVAR问题简化为最小化问题。

一元和二元边缘{ui}i∈Nanduij（i，j）∈确保（N，N）具有树结构以及ρ>ρ的不确定性集Θρdefinedin（3.3）*式中ρ*是问题（2.3）的最优值，最坏情况下的CVARP问题（1.3）可以重新表示为以下Minx∈X，β，λ≥0,ξ,ζ,τ ,νβ +1 - αν+X（i，j）∈Nλijρ+Xi∈NXci公司∈Ciξi（Ci）ui（Ci）+X（i，j）∈NXcij公司∈Ci×Cjλijuij（cij）eξij（cij）/λij- 1.受制于ν≥xi∈Nτi+X（i，j）∈Nτij- β,ν ≥xi∈Nτi+X（i，j）∈Nτij，ξi（ci）≥ 慈溪市- τi+Xj∈N：（i，j）∈Nζ1ji（ci）+Xl∈N：（l，i）∈Nζ1li（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，ξi（Ci）≥ -τi+Xj∈N：（i，j）∈Nζ2ji（ci）+Xl∈N：（l，i）∈Nζ2li（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，ξij（cij）≥ -τij+ζ1ij（cj）+ζ1ji（ci）, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，ξij（cij）≥ -τij+ζ2ij（cj）+ζ2ji（ci）, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj。4数值实验在本节中，我们给出了分布鲁棒CVaR公式中内部最大化问题的Fr'echet上界的数值结果。我们考虑这样的例子，其中完整的单变量和部分二变量信息由（N，N）构成树结构。考虑最坏情况的上界：maxθ∈ρEθhXi∈Nci- βi+。当参数ρ变大时，该界收敛到已知单变量分布时得到的最坏情况界，这相当于已知的共单调上界。对于一致的边缘，当ρ趋于零时，边界收敛到最坏情况下的边界，二元分布精确已知，而对于不一致的情况，当ρ趋于ρ时*式中ρ*是通过求解最近的一致边际（2.3）得到的最小扰动，对于最大熵问题（2.5），该界收敛到具有最优双变量分布的最坏情况界。