部分信息下违约传染的干预

这意味着控制函数g（n）k+1（s，w）取决于缩放时间k和当前选定节点的状态w，而不取决于状态s。当网络n的大小变为完整时，该函数规定了“渐进”传染过程的干预。在命题7.2的后面，我们可以看到，考虑这样的函数u是合理的，因为给定一个函数u，我们可以预测一个确定性过程在任何时候的值，在这个时候，标度随机传染过程以概率收敛。此外，这种类型的控制策略可以在我们稍后介绍的最优控制问题（OCP）中解决。综上所述，假设1假设投入和产出程度的经验概率与初始权益的收敛性。另一方面，假设2表示控制功能取决于缩放时间和当前选定节点的状态。这两个假设允许我们通过确保目标函数中的极限得到很好的定义来定义以下渐近控制问题。定义5.3。确定给定p=（p（i，j，c））i，j，0的渐近控制问题≤c≤iasminu公司∈∏limn→∞JGn（Pn）（ACP）=分钟∈∏limn→∞KEITn（Gn，Pn）n+EDn（Gn，Pn）n。在下文中，我们将展示（ACP）中的极限由Wormald定理[Wormald，1999]定义，对于Pn和Gn分别满足假设1和假设2的网络序列。6、有干预的违约传染过程的动力学称为ITkis，即步骤k之前的累计干预次数，soIT=0ITk=kX`=1g`（S`-1，W`）=kX`=1Xβ∈Φ（W`=β）uβ（`n）。（6.0.1）我们将看到（Sk，ITk）k=0，。。。，给出控制策略Gn的受控马尔可夫链。在图6.1中，我们为相同的（i，j）对说明了我们考虑的状态以及它们的过渡关系。部分信息下的违约传染干预14图6.1。

相同（i，j）对的状态，0≤ i、 0个≤ jand及其过渡关系。为了描述转移概率，假设步骤k+1处所选节点的状态为Wk+1=（i，j，c，l），对于k=0，m级- 1，有三种可能性：（1）所选节点已默认，即c≤ 或者节点是不受攻击的，即c>i，然后Sk+1=Sk，ITk+1=ITk。（2） 所选节点易受攻击，但“到默认值的距离”不止一个，即ec- l≥ 2，然后以概率（i）选择节点w-l） Si、j、c、lkm-kandSi，j，c，lk+1=Si，j，c，lk- 1，Si，j，c，l+1k+1=Si，j，c，l+1k+1，ITk+1=ITk，（6.0.2），而Sk+1的其他条目与Sk相同。（3） 所选节点的“默认距离”为1，即c- l=1，则以概率（i）选择节点-c+1）Si，j，c，c-1公里-kand根据假设2，Si，j，c，c-1k+1=Si、j、c、c-1公里- 1，Si，j，c+1，ck+1=Si，j，c+1，ck+g（n）k+1（Sk，（i，j，c，c- 1） ）=Si，j，c+1，ck+ui，j，c，c-1（kn），ITk+1=ITk+ui，j，c，c-1（kn），（6.0.3），而Sk+1的其他条目与Sk相同。设（Fk）k=0，。。。，mbe Sk的自然过滤，Sαk=Sαk+1- Sαk，α∈ Γ和ITk=ITk+1- ITk，就是这样Si、j、c、0k | Fk= -iSi，j，c，0公里- 驻科部队1≤ c≤ i、 部分信息下的违约传染干预15EhSi，j，c，lk | Fki=（i- l+1）Si，j，c，l-1公里- k-（一）- l） Si、j、c、lkm- 驻科部队3≤ c≤ i、 1个≤ l≤ c- 2，ESi、j、c、c-1k | Fk=（一）- c+2）Si，j，c-1，c-2公里- kui，j，c-1，c-2（kn）+（i- c+2）Si，j，c，c-2公里- k-（一）- c+1）Si，j，c，c-1公里- 驻科部队2≤ c≤ i、 E类Si，j，i+1，ik | Fk=Si，j，i，i-1公里- kui，j，i，i-1（kn），E[ITk | Fk]=X（i，j，c，c-1)∈Φ（i）- c+1）Si，j，c，c-1公里- kui，j，c，c-1（kn）。(6.0.4)7. 违约传染过程与干预的融合定义7.1。（sτ的常微分方程）给定一组分段常数函数u=（uβ）β∈Φon【0，λ】，即。

u∈ π，定义sτ=（sατ）α的常微分方程（ODE）系统∈Γasdsi，j，c，0τdτ=-isi，j，c，0τλ- τ表示1≤ c≤ i、 dsi，j，c，lτdτ=（i- l+1）si，j，c，l-1τλ - τ-（一）- l） si，j，c，lτλ- τ表示3≤ c≤ i、 1个≤ l≤ c- 2，dsi，j，c，c-1τdτ=（i- c+2）si，j，c-1，c-2τλ - τui，j，c-1，c-2（τ）+（i- c+2）si，j，c，c-2τλ - τ-（一）- c+1）si，j，c，c-1τλ - τ表示2≤ c≤ i、 dsi，j，i+1，iτdτ=si，j，i，i-1τλ - τui，j，i，i-1(τ).（7.0.1）常微分方程可以用公式dτdτ=h（τ，sτ；uτ）表示，其中h=（hα）α∈Γ.对于下面需要的内容，我们分析了定义7.1中常微分方程的解，其中u（τ）是常数向量函数。提案7.1。设sτ=（sατ）α∈Γ满足定义7.1中的常微分方程组，初始条件sτ=s：=（sα）α∈Γ在[τ，τ]上的间隔内假设u（τ）是一个常数向量函数u（τ）=b：=（bβ）β∈Φ其中bβ∈{0，1}在[τ，τ]上，则[τ，τ）上的解sτ为issi，j，c，lτ=（λ- τλ - τ） 我-llXr=0si，j，c，r我- rl型- r(1 -λ - τλ - τ） l-rfor 2≤ c≤ i、 0个≤ l≤ c- 2、（7.0.2）部分信息下的违约传染干预16si、j、c、c-1τ= (λ - τλ - τ） 我-c+1c-1Xr=0cXq=r+1c-1Yk=qbi，j，k，k-1si、j、q、r我- 钢筋混凝土- 1.- r(1 -λ - τλ - τ） c类-1.-rfor 1≤ c≤ i、 （7.0.3）si，j，i+1，iτ=si，j，i+1，i+i-1Xr=0iXq=r+1iYk=qbi，j，k，k-1si、j、q、r（1-λ - τλ - τ） 我-r（7.0.4），其中qc-1k=cbi，j，k，k-1:= 1. 作为直接结果，如果我们将初始条件si，j，c，l=p（i，j，c）（l=0）取为（i，j，c，l）∈ Γ在τ=0时，得出si，j，c，lτ=p（i，j，c）伊利诺伊州(1 -τλ）i-2的l（τλ）lf≤ c≤ i、 1个≤ l≤ c- 2.（7.0.5）我方委托第§11节中的证明。在下一部分中，我们的目标是接近KnandKnas n→ ∞ 然而，给定一个函数u，变量的数量取决于n，因此我们需要将与较大的入度或出度值相关的术语进行绑定。

修理 > 通过假设1，我们得到（7.0.6）λ=Xi，j，cip（i，j，c）=Xi，j，cjp（i，j，c）<∞,然后存在一个整数M（7.0.7）Xi≥MXj，cip（i，j，c）+Xj≥MXi，cjp（i、j、c）<,soXi公司∨j≥M,cjp（i，j，c）=Xi≥MXj<米Xcjp（i、j、c）+Xi≥MXj公司≥MXcjp（i，j，c）+Xi<MXj公司≥MXcjp（i、j、c）≤xi≥MXj<米Xcip（i、j、c）+Xi≥MXj公司≥MXcjp（i，j，c）+Xi<MXj公司≥MXcjp（i、j、c）<.（7.0.8）我们可以类似地证明存在一个整数L这样的话PI∨j≥L,cip（i、j、c）<,但在不失去一般性的情况下，我们写了M而不是L在接下来的内容中。此外，根据假设1，作为n→ ∞,（7.0.9）Xi，j，ciPn（i，j，c）=Xi，j，cjPn（i，j，c）→ λ < ∞,对于足够大的n，我们可以显示xi∨j≥M,cjPn（i、j、c）<,部分信息下的违约传染干预17Xi∨j≥M,ciPn（i，j，c）<.（7.0.10）因此我们定义了整数M正式地定义7.2。对于任何 > 0，我们定义作为整数，例如xi∨j≥M,cip（i、j、c）<,xi∨j≥M,cjp（i、j、c）<.因此，定义:= {（i，j，c，l）：i∨ j<米, 0≤ l<c≤ i或c=i+1，l=i}，Φ:= {（i，j，c，c- 1） ：i∨ j<米, 0≤ c≤ i} ，^λ：=λ- ,其中a∨ b=最大值{a，b}。接下来，我们展示了在给定函数u命题7.2的情况下，比例状态变量sk和itk在概率上与定义7.1中常微分方程的解一致。

考虑一个初始条件（Pn）为n的网络序列≥1满足假设1和let（Gn）n≥1be网络序列上传染过程的控制策略序列和（Gn）n≥1使用函数u=（uβ）β满足假设2∈Φ, 然后单击SUP0≤k≤n^λSαkn- sαkn=O（n-),sup0≤k≤n^λ▄ITkn- 它kn=O（n-),（7.0.11）概率为1- O（nexp(-n） ）对于α∈ Γ, 其中sτ=（sατ）α∈Γ是定义7.1中常微分方程的解，初始条件为si，j，c，l=p（i，j，c）（l=0），且▄IT=0，▄ITk=kXl=1Xβ∈Φ（W`=β）uβ（`n），和▄itτ=^τX（i，j，c，c-1)∈Φ（一）- c+1）si，j，c，c-1tλ- tui，j，c，c-1（t）dt。（7.0.12）从命题7.2中，我们可以看到给定的（Pn）n≥1和（Gn）n≥1分别满足假设1和假设2，对于[0，n^λ]中的任何k，标度随机过程skn收敛于确定性过程skn。这就调整了我们在假设2中考虑的控制政策，因为给定一个控制政策Gn，取决于函数u，我们可以预测部分信息18下违约传染的干预，在任何时间k都很有可能是规模随机传染过程。建议7.2的证明委托给§11节。接下来，我们讨论默认值的缩放数和进程结束时间的收敛性。定义7.3。定义D-kas步骤k中默认设置中未恢复的链接数。回想一下，dk表示步骤k中默认节点的数量，该数量由两部分组成：初始默认为nPi、jPn（i、j、0）的节点和初始易受攻击且在步骤k中默认的节点，即。

nPi，j，1≤c≤iPn（i、j、c）-P（i、j、c、l）∈ΓSi，j，c，lk，thusDk=nXi，jPn（i，j，0）+nXi，j，1≤c≤iPn（i、j、c）-X（i、j、c、l）∈ΓSi，j，c，lk=nXi，j，0≤c≤iPn（i、j、c）-X（i、j、c、l）∈ΓSi，j，c，lk。（7.0.13）类似地，在步骤k的所有默认节点中，没有度j的节点由两部分组成：初始默认nPiPn（i，j，0）的节点和初始易受攻击且在步骤k，nPi，1中默认的节点≤c≤iPn（i、j、c）-Pi，0≤l<c≤iSi、j、c、lk、thusD-k=Xjj（nXiPn（i，j，0）+nXi，1≤c≤iPn（i、j、c）-Xi，0≤l<c≤iSi、j、c、lk）- k=nXi，j，0≤c≤ijPn（i、j、c）-X（i、j、c、l）∈ΓjSi、j、c、lk- k、 （7.0.14）相应地，我们对近似KNANDD作出以下定义-克纳斯n→ ∞.定义7.4。定义τ=Xi，j，0≤c≤ip（i、j、c）-X（i、j、c、l）∈Γsi，j，c，lτd-τ=Xi，j，0≤c≤ijp（i、j、c）-X（i、j、c、l）∈Γjsi，j，c，lτ- τ.（7.0.15）提案7.3。根据定义7.3和定义7.4，如下所示≤k≤n^λD-千牛- d-千牛≤ op（1）+2,sup0≤k≤n^λ丹麦克朗- 丹麦克朗≤ op（1）+2.（7.0.16）证明。