贝叶斯均值方差分析：最优投资组合选择

这是一个非常重要的结果，它允许对最优投资组合回报的随机行为进行整体表征，并且与仅存在点估计量的传统方法相比，这是一个巨大的优势。我们在结束本节时指出，原来的马科维茨问题（见马科维茨（19521959））也是以同样的方式解决的。在Markowitz的均值方差分析中，优化问题由以下公式给出：（i）在给定的预期回报水平下最小化投资组合方差Ror（ii）在给定的方差水平下最大化预期回报V。在第一种情况下，最优投资组合权重由WMV给出，R=S-1吨-1秒-1吨-1+R->S-1吨-1xt-1秒-1吨-1.Qt-1xt-1x>t-1夸脱-1xt-1（11）带VMV，R=ck，nS-1吨-1+ck，nR->S-1吨-1xt-1秒-1吨-1.x> t型-1夸脱-1xt-1，（12）当第二个优化问题的解为wmv时，V=S-1吨-1秒-1吨-1+sc-1k，内华达州-S-1吨-1夸脱-1xt-1qx>t-1夸脱-1xt-1（13）带RMV，V=>S-1吨-1xt-1秒-1吨-1+sc-1k，内华达州-S-1吨-1qx>t-1夸脱-1xt-1.（14）2.3贝叶斯有效前沿方程（9）和（10）确定了作为（7）的γ>0的解获得的所有最优投资组合的集合。求解这两个关于γ的方程可以得到均值-方差空间中的一个集合，其中所有均值-方差最优投资组合都位于该集合中。我们将此集合称为贝叶斯有效前沿，由（R）给出- RGMV）=x>t-1夸脱-1xt-1ck，n（V- VGMV），（15），其中RGMV=>S-1吨-1xt-1秒-1吨-1和VGMV=ck，nS-1吨-1（16）是全球最小方差投资组合的预期回报，即方差最小的平均方差最优投资组合，权重表示为wgmv=S-1吨-1秒-1吨-1.（17）数量s=x>t-1夸脱-1xt-1/ck，nis有效前沿的斜率参数，等于方差增加1时相对于全球最小方差投资组合收益的超额平方收益量。

最后，我们注意到贝叶斯有效边界是均值-方差空间中的抛物线，这与传统方法得到的结果相同（见Merton（1972））。3实证说明3.1数据为实证说明，我们使用标准普尔500指数资产集合的周回报率，考虑到5至40项资产的投资组合。用n的样本估计参数∈ {52、78、104、130}，对应一年到两年半的周数据。所有数据于2017年10月8日结束。对于n=52，这几乎相当于唐纳德·特朗普的整个总统任期，就标准普尔500指数而言，这是一个几乎稳定增长的时期，从2200点增长到2600点。但除了2015年8月和2016年周初的两次小幅下降外，其他时期的情况也一样——尽管特朗普担任总统。构建的投资组合包括k∈ {5、10、25、40}资产。这使我们不仅可以从经济风险的角度，而且可以从统计估计的不确定性的角度来分析所提出模型的行为。3.2常规方法设u和∑为资产收益的平均向量和协方差矩阵。然后，构建最优投资组合的传统方法包括两个步骤（见Ingersoll（1987）；Okhrin和Schmid（2006））：（1）优化问题W>u-γw>∑w-→ 求出w>1=1（18）的最大值，从而得出根据人口（未知）参数u和∑表示的最优投资组合权重表达式：wP，γ=∑-1Σ-1+ γ-1Ru，R=∑-1.-Σ-1Σ-1Σ-1（19）预期收益和方差表示为Rp，γ=>∑-1uΣ-1+ γ-1u>Ru和VP，γ=∑-1+ γ-2u>Ru，（20）（2）未知总体数量被其样本对应物替换，即。

通过样本平均向量和样本协方差矩阵，由^u=xt给出-1和∑=dnSt-1 dn=n- 10.0 0.2 0.4 0.6 0.80 10 20 30 40k/nratio ck，n/dnn=50n=100图1：绘制的ck，n/DNK比值是k/n的k/n函数∈ [0，0.95）和n∈ {50, 100}.然后得到样本最优投资组合权重，γ=S-1吨-1秒-1吨-1+ γ-1d-1nQt-1xt-1（21）对于预期收益和给定byRS方差的样本估计量，γ=>S-1吨-1xt-1秒-1吨-1+ γ-1d-1nx>t-1夸脱-1xt-1和VS，γ=dnS-1吨-1+ γ-2维-1nx>t-1夸脱-1xt-1.（22）以类似的方式，样本效率边界由（参见Bodnar和Schmid（2008，2009）；Kan和Smith（2008））（R- RGMV，S）=x>t-1夸脱-1xt-1dn（V- VGMV，S），（23）其中RGMV，S=>S-1吨-1xt-1秒-1吨-1和VGMV，S=dnS-1吨-1（24）是人口效率边界的估计值。值得注意的是，样本最优投资组合权重的表达式与采用贝叶斯方法获得的最优投资组合权重具有相同的结构。唯一的区别是ck、nin（8）被dnin（21）取代。在有效前沿完全由三个参数决定的情况下也得到了类似的结果：全球最小方差投资组合的均值和方差以及斜率参数。虽然全局最小方差组合均值的公式相吻合，但对于全局最小方差组合的方差和斜率系数，情况不再如此。贝叶斯方法导致方差值较大，坡度参数值较小。当投资组合维度与图1所示的样本量相当时，可以考虑通过样本估计获得的或从第2节中的Bayeian后验分布得出的相应表达式之间的差异，其中，我们将比率ck、n/DNA绘制为n的k/n函数∈ {50, 100}.

我们观察到，当资产数量k接近样本量时，即使对于k/n=0.6的中等比率，贝叶斯估计量和样本估计量也会发生偏差。如果资产数量几乎与样本大小一致，则估计值会有很大偏差。由于有时有必要将估计限制在较小的样本量内，例如在数据出现结构性中断后，因此必须考虑估计量的差异。众所周知，样本效率边界过于乐观，在平均方差中高估了人口效率边界的位置（c.f.，Basak et al.（2005）；西格尔和伍德盖特（2007）；Bodnar和Bodnar（2010））。相比之下，贝叶斯方法提供了一种改进的程序，通过增加全球最小投资组合的估计方差和减少斜率参数来缩小样本效率边界。在第3.3节中，我们就第3.1.3.3节中描述的实际数据说明了这一点。正如前一节所述，本文提出的经典样本估计量和贝叶斯估计量之间存在着明显的差异。基于这一结论，以及样本效率边界高估了人口效率边界的事实，我们预计，与样本估计相比，贝叶斯情况下的回报和方差估计更大，这表明贝叶斯方法在构建时也考虑了估计风险，这在实践中会自动导致风险规避系数的值比传统情况下更小。

图2说明了这一假设：假设n=130，并考虑不同的投资组合规模k∈ {5、10、25、40}对于不同的风险态度γ∈ {10，25，50，100}，我们发现，对于相同的风险系数γ值和相同的投资组合规模，与样本估值器相比，贝叶斯估值器的表现与预期一致。此外，如图1所示，如果资产数量接近样本大小，或者当γ减小，即对于风险厌恶程度较低的投资者，参数不确定性的影响会更大，则估计值的差异会增加。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70 1 2 3 4 5 6 7预期投资组合回报，γ=10VR●●●●0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0预期投资组合回报，γ=25VR●●●●0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.0300.0 0.5 1.0 1.5预期投资组合回报，γ=50VR●●●●0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.0 0.5 1.0 1.5预期投资组合回报，γ=100VR●●●●●●●●RMVγk=5k=10k=25k=40RSγk=5k=10k=25k=40图2：风险规避系数γ的样本最优投资组合和贝叶斯最优投资组合∈{10，25，50，100}，对于n=130的样本情况和k的投资组合维度∈ {5, 10, 25, 40}.关于效率边界，图3显示了n=130的已执行样本规模和不同投资组合规模k的估计效率边界∈ {5，10，25，40}在贝叶斯情况下以及常规情况下。贝叶斯效率边界始终位于样本效率边界之下，因此对人口效率边界的高估较少。此外，图3还说明了图1所示的结果。当投资组合规模接近样本规模时，效率边界的估计量偏差更大。对于固定k=40和变化n，这一事实也如图4所示∈ {52, 78, 104, 130}.

样本量n越大，两个估计的有效边界越重合。这与理论含义相符。最后，我们还观察到，当投资组合维度增加时，有效前沿的斜率参数增加，这表明有效前沿的比较有充分的文献证明：0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5，k=5 VR0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5有效前沿的比较，k=10 Vrbyesian frontires样本frontires 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5有效前沿的比较，k=25 VR0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.0 0 0.5 1.0 1.5 2.5有效前沿的比较，k=40 Vr图3：n=130和k的样本有效前沿和贝叶斯有效前沿∈ {5, 10, 25, 40}.投资组合多元化的积极影响。3.4后验区间预测与传统方法相比，贝叶斯方法还提供了构建的最优投资组合回报的整体后验预测分布，而不仅仅是其权重的点估计。