经济物理学的真实性检验：基于可能性的拟合

请注意0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000-10%-5%0%5%10%-10%-5%0%5%10%-10%-5%0%5%10%-10%-5%0%5%10%-10%-5%0%5%10%-10%-5%0%5%10%TimestepFigure 5:FW模型生成的返回序列，参数根据之前的绘制。为便于比较，标准普尔500指数的实际回报率包含在右下方的子面板中。未观测状态θ包括参数以及模型的时变状态，例如瞬时波动率σ，σ或chartisttraders nc的分数，ncN，使预测独立于过去的观测。比较不同模型的波动率估计和预测，有几点需要注意：oVS模型似乎存在严重错误。通常情况下，特别是如果选定的时间窗口不是在高波动率下开始的，那么最好的时间窗口由恒定波动率组成。总体而言，该模型似乎无法与经验波动率集群的形状相匹配vanilla GARCH（1,1）模型提供了合理的波动率估计。尽管提前预测的不确定性很小，但这表明它无法产生经验回报的厚尾。它仍然提供了一个合理的基准来比较所提出的基于代理的模型总体而言，FW似乎最符合数据。特别是，宽预测区间表明其能够生成重尾回归序列。由于布朗运动（Brownianmotion）对未观测到的基本价格建模所产生的随机波动过程，其波动率估计的不确定性高于其他模型。

这一特征与其他更标准的随机波动率模型共享【11】。尽管被选中的知情先验者努力避免这种琐碎的解决方案。当然，这是众所周知的，模型的许多扩展都解决了这一问题。在以图形方式比较模型后，我们继续对模型进行更具原则性的评估。一般来说，当根据用于估计参数的数据进行评估时，预测可能性会向上偏移，并且在嵌套模型的情况下，更倾向于使用更复杂的变量，因为这些变量不能比限制变量更糟糕地处理数据。因此，公平的评估应该涉及模型预测新数据的能力。在时间序列背景下，考虑（运行）前瞻性预测是很自然的。在这里，出于计算原因，我们转而求助于漏掉一个（LOO）预测，即在过去和未来回报的背景下预测当前回报，不包括当前回报。使用帕累托平滑重要性抽样法（PSIA）[18]相应的预测似然p（ri | r，…，ri-1，ri+1，rN）可以从后面的样本中估计。注意，与全后验概率（θ| r）相比，LOO可能性取决于除第i个数据点以外的所有数据点。因此，为了从后验样本中估计LOO可能性，需要在评估预测之前有效去除第i个数据点。一般来说，这绝非小事，我们请读者参阅[18]，了解Psise如何估计LOO可能性的详细信息。这里，我们简单地给出了表2中的模型比较结果。他们证实了我们之前的分析，即FW模型符合GARCH模型之后的数据。VS模型似乎最糟糕，即使是在降低非恒定波动性的情况下。时间窗模型2009年1月至2014年12月2000年1月至12月。

2010年GARCH 4868±37 8574±53VS 4845±40 7921±82FW 4916±37 8641±49表2：基于留一预测可能性的模型比较。FW模型如何实现时变波动率的良好拟合？这特别有趣，因为它的参数可以用行为术语来解释。对于模拟参数，如果假设图表的比例增加，因为这些图表的需求波动性更大，即σc>σf，则会出现高波动性。当根据2009年1月至2014年12月的标准普尔500指数回报进行估计时，查看模型参数的跟踪图，会发现一个惊喜。图（9）的上面板显示，从不同初始条件开始的链没有收敛到相同的分布。这表明了一种多模式的后验模型，其中每条链从一个定义明确但不同的分布模式中取样。此外，在至少一种模式中，我们发现σc<σf！图（9）的下面板显示了模型状态变量的相应时间序列，即nft，p*tandσt。有趣的是，该模型对观察到的波动率动力学提供了两种非常不同的解释。在第一种情况下，图表编制者的数量通常较低，在动荡的市场阶段急剧上升（如模型所示）。相比之下，在第二种情况下，持反对意见者的人数通常很高，在动荡的市场阶段有所下降。因此，波动性是由基本面交易者的高需求不确定性驱动的。有趣的是，这两种情况都会导致对波动率σt的非常相似的估计和预测。该模型通过假设基本面价格未观察到的布朗运动有一个非常不同的轨迹来实现这一点，从而导致基本面交易者非常不同的错误定价和需求。因此，基本价格遵循布朗运动这一明显无害的假设显然在模型中引入了对称性。

这不仅使模型未观察到的潜在状态不可识别，还表明我们对基于代理的模型及其生成的时间序列动力学的理解还远远不够。当然需要进一步的工作来描述并理想地消除这种不可识别性。至少如果需要对潜在状态动力学进行解释。在得出预测时，识别性并不重要。-4%0%4%2010 2012 2014 2016-10%-图6:GARCH模型和对标准普尔500指数的预测。-4%0%4%2010 2012 2014 2016-10%-2000年5%0%5%10%2005年2010年图7：与标准普尔500指数模型和预测的对比。-4%0%4%2010 2012 2014 2016-10%-2000年5%0%5%10%2005年至2010年图8：标准普尔500指数的FW模型和预测。σcαnαpσfφξα00 100 200 300 4000 100 200 300 400 0 100 200 300 400 0 100 200 300 400 00 200 400 100 200 300 400 0 100 200 200 400 0 100 200 200 200 400-2.-100123024602040600.00.51.01.50.00.51.01.50.02.55.07.5链1234σtσtpredntfpt*0 500 1000 1500 0 50 100 150 200 2500 500 1000 1500 0 500 1000 15006.57.07.58.00.000.010.020.250.500.751.000.010.020.030.04时间步长链1234图9：迹线图（上面板）和恢复的内部状态nft，p*符合标准普尔500指数时，FW模型的tandσt（下面板）。请注意，后视镜似乎是多模式的。有趣的是，波动的市场阶段与基本面交易者的低或高比例一致，具有几乎相同的波动性动力学σt.5结论我们以两种不同的经济物理学模型为例，证明了基于代理的模型可以很容易地与当前的机器学习工具相匹配。特别是，我们在Stan中实现了几个模型，Stan是一种用于贝叶斯建模的现代概率编程语言。此外，我们还发现HMC抽样似乎非常适合探索这些基于agent的模型中出现的后验分布。

HMC不仅混合速度快，而且在FW模型的情况下显示出明显的多模态。虽然HMC仅限于连续状态空间，但我们已经表明，不同的模型要么已经是这种形式（FW模型），要么可以相应地进行近似（VS模型）。在这方面，我们的工作补充了Lux【14】的研究，Lux专门专注于使用SMC方法对单个代理进行建模，以跟踪产生的离散状态动力学。我们相信HMC有几个优点。特别是，它非常高效，能够处理具有许多参数的模型，例如随机时变状态变量，例如FW模型中的基本价格。此外，它还提供了附加诊断，例如基于积分哈密顿动力学的数值性质，以访问收敛性和样本质量。在这里，我们应用HMC对基于代理的模型进行了估计，方法是将它们调整为标准普尔500指数几年的回报。由此产生的后验分布允许我们访问潜在状态变量，例如时变波动率，并在无需进一步近似的情况下得出模型预测。此外，所有估算参数的精度也很容易获得。最后，通过对模型的环预测可能性进行比较，我们发现VS模型似乎存在严重的误判，而FW模型与纯统计计量模型相当，表现为标准GARCH模型。我们乐观地认为，考虑到所有模型都可以在Stan中轻松实施，我们将进行更多这样的尝试，并计划在未来研究更多的模型以及更详细的比较。致谢感谢h.c.Maucher博士资助他的职位。参考文献【1】M.Betancourt。哈密顿蒙特卡罗的概念介绍。ArXiv电子印刷，2017年1月。[2] 克里斯托弗·毕晓普。模式识别和机器学习。

信息科学与统计。Springer，2011年。[3] 蒂姆·博勒斯列夫。广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，31（3）：307-3271986。这种明显的限制可以通过将离散状态边缘化来克服，即将它们相加。[17] 在包括高斯混合模型和隐马尔可夫模型在内的几个例子中说明了这种方法。[4] B.Carpenter、M.D.Hooffman、M.Brubaker、D.Lee、P.Li和M.Betancourt。斯坦数学库：C++中的反向模式自动微分。ArXiv电子印刷，2015年9月。[5] Bob Carpenter、Andrew Gelman、Matthew Hoffman、Daniel Lee、BenGoodrich、Michael Betancourt、Marcus Brubaker、Guo Jiqiang、Peter Li和Allen Riddell。斯坦：一种概率编程语言。《统计软件杂志》，文章，76（1）：1–32，2017年。[6] R.Cont.《资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题》。《定量金融》，1（2）：223–2362001年。[7] 雷纳·弗兰克和弗兰克·韦斯特霍夫。资产定价的结构随机波动率模型的估计。计算经济学，38（1）：53–832011年6月。[8] 雷纳·弗兰克和弗兰克·韦斯特霍夫。结构随机波动率在资产定价动力学中的应用：估计和模型竞赛。贝格政府与增长工作论文系列，782011年。[9] 安德鲁·盖尔曼、丹尼尔·辛普森和迈克尔·贝当古。先前的canoften只能在可能性的上下文中理解。熵，19（10），2017年。[10] Jaba Ghonghadze和Thomas Lux。将基于代理的基本模型引入数据：通过gmm进行估计，并应用于预测资产价格波动。《实证金融杂志》，37:1–19，2016年。[11] Sangjoon Kim、Neil Shephard和Siddhartha Chib。随机波动率：似然推断和与arch模型的比较。《经济研究评论》，65（3）：361–3931998年。[12] 布莱克·勒巴隆。

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这在生成的quantitiesblock中完成，该块在每个采样步骤后自动运行一次。，1数据{2 int<l ower=0>N；3向量[N]p；//log p ric es4 int<l ower=0>N\\u pred；5}6 t rans forme d数据{7向量[N-1]ret=p[2:N]-p[1：（N-1）]；8实ret sd=sqrt（v ariance（ret））；9}10 p参数s{11实<下=0>sigma1；12实mu 13实<下=0>字母0；14实<下=0，上=1>alpha1；15实<下=0，上=（1-a lpha1）>β1；16}17 t rans forme d p参数s{18 real<lower=0>sig ma[N-1]；20 sigma[1]=sigma1；21 for（i in 2：（N-1））22 sigma[i]=sqrt（a lph a023+alpha1*square（ret[i-1]-mu）24+beta1*square（sigma[i-1]）；25}26 model{27//mu~ 正常（平均值（ret），ret\\U sd）；28//sigma1~ st uden t\\u t（5，0，ret\\u sd）；29 ret~ 正常（mu，sigma）；30}31广义q uant itie s{32 vector[N-1]lo g\\lik；33 vector[N \\u pred]p \\u pred；34 vector[N \\u pred]s igma\\uPred；36 for（i in 1：（N-1））37 l og\\u lik[i]=N orma l\\u lpd f（ret[i]| mu，sigma[i]）；39{40 real ret pr ed；41 sig ma\\u p red[1]=sqrt（alp ha042+alpha1*平方（ret[N-1]-mu）43+beta1*平方（sigma[N-1]）；44 r et\\u p red=正常值（mu，s igma \\u pre d[1]）；45 p \\u pr ed[1]=p[N]+ret \\u pre d；46对于（i in 2:N\\u pred）{47 sigm a\\u pr ed[i]=sqrt（alpha048+alpha1*square（ret\\u pre d-mu）49+beta1*square（sigm a\\u pr ed[i-1]）；50 ret \\u pred=N normal l\\u rn g（mu，sigm a\\u pr ed[i]）；51 p\\u pred[i]=p\\u pred[i-1]+ret\\upred；52}53}54}a.2与模型清单的比较2:Vikram&Sinha的模型Stan代码。