经济物理学的真实性检验：基于可能性的拟合

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英文标题：
《Reality-check for Econophysics: Likelihood-based fitting of
  physics-inspired market models to empirical data》
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作者：
Nils Bertschinger and Iurii Mozzhorin and Sitabhra Sinha
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The statistical description and modeling of volatility plays a prominent role in econometrics, risk management and finance. GARCH and stochastic volatility models have been extensively studied and are routinely fitted to market data, albeit providing a phenomenological description only.   In contrast, the field of econophysics starts from the premise that modern economies consist of a vast number of individual actors with heterogeneous expectations and incentives. In turn explaining observed market statistics as emerging from the collective dynamics of many actors following heterogeneous, yet simple, rather mechanistic rules. While such models generate volatility dynamics qualitatively matching several stylized facts and thus illustrate the possible role of different mechanisms, such as chartist trading, herding behavior etc., rigorous and quantitative statistical fits are still mostly lacking.   Here, we show how Stan, a modern probabilistic programming language for Bayesian modeling, can be used to fit several models from econophysics. In contrast to the method of moment matching, which is currently popular, our fits are purely likelihood based with many advantages, including systematic model comparison and principled generation of model predictions conditional on the observed price history. In particular, we investigate models by Vikram & Sinha and Franke & Westerhoff, and provide a quantitative comparison with standard econometric models.
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中文摘要：
波动率的统计描述和建模在计量经济学、风险管理和金融学中发挥着重要作用。GARCH和随机波动率模型已经得到了广泛的研究，并且通常适用于市场数据，尽管只提供了现象学描述。相比之下，经济物理学领域从一个前提出发，即现代经济体由大量具有不同期望和激励的个体行为者组成。反过来，解释观察到的市场统计数据是从许多行动者的集体动态中产生的，这些行动者遵循的是异质的、但简单的、相当机械的规则。虽然此类模型产生的波动率动态定性地匹配了若干典型事实，从而说明了不同机制（如图表交易、羊群行为等）的可能作用，但仍然缺乏严格的定量统计拟合。这里，我们展示了一种用于贝叶斯建模的现代概率编程语言Stan如何用于拟合经济物理学中的多个模型。与目前流行的矩匹配方法相比，我们的拟合完全基于可能性，具有许多优点，包括系统的模型比较和根据观察到的价格历史原则生成模型预测。特别是，我们研究了Vikram&Sinha和Franke&Westerhoff的模型，并与标准计量经济学模型进行了定量比较。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Reality-check_for_Econophysics:_Likelihood-based_fitting_of_physics-inspired_mar.pdf (1.71 MB)

2022-6-9 18:00:46 上传

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关键词：经济物理学 真实性 物理学 可能性 Quantitative

经济物理学的现实检验：基于可能性的物理启发市场模型对经验数据的拟合Nils Bertschinger1,2，Iurii Mozzhorin和Sitabhra SinhaFrankfurt Institute for Advanced Studies，Frankfurt am Main，GermanyGoethe University，Frankfurt am Main，GermanyInstitute of Mathematical Sciences，Chennai，IndiaMarch 13，2018年摘要波动率的统计描述和建模在计量经济学、风险管理和金融领域发挥着重要作用。GARCH和随机波动率模型已被广泛研究，并通常用于市场数据，尽管仅提供现象学描述。相比之下，经济物理学领域的出发点是，现代经济体由大量具有不同期望和激励的个体行为者组成。反过来，解释所观察到的市场统计数据是从许多参与者的集体动态中产生的，这些参与者遵循异质但简单的、相当机械的规则。虽然这些模型产生的波动动力学定性地匹配了几个程式化事实，从而说明了不同机制（如图表交易、羊群行为等）的可能作用，但仍然缺乏严格的量化统计数据。这里，我们展示了一种用于贝叶斯建模的现代概率编程语言Stan如何用于拟合经济物理学中的多个模型。与目前流行的矩匹配方法相比，我们的数据完全基于可能性，具有许多优点，包括系统的模型比较和基于观察到的价格历史的原则性模型预测生成。

特别是，我们调查了Vikram&Sinha和Franke&Westerhoff的模型，并与标准计量经济模型进行了定量比较。1引言基于代理的金融市场投机行为模型现在可以同时复制许多程式化的事实。因此，提供了标准计量经济模型的替代方案，提供了对观察到的市场统计数据的行为解释【13，12】。然而，对此类模型的估计仍然具有挑战性，并且大多采用基于模拟的方法，努力匹配选定的数据时刻【7，10】。一个值得注意的例外是[14]，它提出并研究了序贯蒙特卡罗方法的使用。在这里，我们遵循这条研究路线，利用现代软件工具，从机器学习和统计学到基于代理的市场模型。特别是，我们使用概率编程语言Stan【5】，用于贝叶斯建模，以定义两种不同的基于代理的模型，即来自Vikram&Sinha【19】和Franke&Westerhoff【8】。我们认为，贝叶斯估计有许多优点，因为它允许访问参数不确定性以及生成模型预测。此外，基于全模型概率，包括可能性，可以系统地比较不同的模型，例如，基于其对所持数据的预测可能性。2 Stan和Hamiltonian MCMC2.1贝叶斯建模在贝叶斯建模中，观测数据x=（x，…，xN）与不可观测参数/潜在变量θ=（θ，…，θK）有关，以密度为p（x，θ）的联合概率分布为准。该密度通常分解为p（x，θ）=p（x |θ）p（θ），即分解为参数似然和先验密度。然后根据贝叶斯规则进行推断，以获得后验分布的密度p（θx）=p（x |θ）p（θ）p（x），其中归一化由p（x）=Rp（x |θ）p（θ）dθ给出。

后验概率汇总了未观测到的参数θ的信息，并将建模者的先验评估p（θ）与从数据p（x |θ）获得的信息相结合。因此，一旦规定了完整的模型P（x，θ），概念上的贝叶斯估计归结为贝叶斯规则的一种相当机械的应用。下面，我们将解释这如何应用于不同的基于代理的模型，并特别讨论先验选择在贝叶斯建模中的作用。实际上，后验密度的归一化常数p（x）通常是可处理的，涉及参数空间上的一个积分。因此，人们提出了许多近似方法，其目的要么是用可处理的密度近似EIT，要么允许从其非标准化密度中提取后验样本。哈密顿蒙特卡罗（HMC）采样是后一种方法的一个例子。作为著名的Metropolis-Hastings算法，它是一种马尔可夫链蒙特卡罗方法，即产生一系列可能相关的样本。有关HMC及其特性的全面且可读的介绍，请参见[1]。在这里，应对该方法进行一个相当简短的概述。2.2马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）考虑目标密度p*（θ） ，例如，aBayesian模型的后验分布p（θ| x）。MCMC旨在构建一个过渡密度T（θ|θ），其中向量在整个文本中用粗体符号表示。保持目标密度不变，即*（θ） =ZT（θ|θ）p*（θ） dθ这样的跃迁密度可以用来绘制样本序列θ，θ。p（θ，…；θ）=Q∞i=1T（θi+1 |θi）。众所周知的Metropolishistings算法使用两个步骤来计算从θi=θ：1的适当过渡。从建议密度q（θ|θ）2中绘制θ。要么保留当前样本，即。

θi+1=θ或过渡到θi+1=θ，验收概率aθ|θ=min1，p*（θ） q（θ|θ）p*（θ） q（θ|θ）这样定义的转移密度不仅使目标密度保持不变，而且在适当的条件下，还确保链从任何初始条件θ开始收敛到其唯一不变密度。2.3哈密顿蒙特卡罗（HMC）虽然理论上，Metropolis-Hastings算法可以从所需的目标密度生成样本，特别是在高维情况下，它可以避免缓慢收敛。如果建议密度与目标密度不匹配，导致许多被拒绝的步骤或小的随机步骤在整个采样空间中缓慢变化，则会出现这种情况。HMC利用梯度信息生成建议状态的长扫描，但这些状态仍被接受。为此，HMC从增强状态空间（θ，m）采样，密度（θ，m）=p（θ）p（m |θ）=elog p（θ）+log p（m |θ）=e-H（θ，m）与物理系统类似，m被认为是粒子位置θ的动量，哈密顿量H（θ，m）=- 对数p（θ）- log p（m |θ）分别分解为势能和动能之和。哈密顿动力学，即˙θ=mH（θ，m）=-mlog p（m |θ）˙m=-θH（θ，m）=θlog p（θ）+θlog p（m |θ）然后保留总能量/概率，从而导致新的状态（θ，m），这总是可以接受的。在实践中，需要对上述微分方程进行数值积分，并且必须注意数值误差不会累积。幸运的是，辛积分器可以有效地选择合适的提议密度，这是Metropolis-Hastings算法中的一个关键步骤，因为它可以有效地控制所产生的转换如何在采样空间中移动。当数值误差抵消时，积分哈密顿系统，模拟轨迹接近理论动力学。

然而，由于能量沿数值轨迹仅大致守恒，在实践中，HMCuses一个Metropolis-Hastings步骤要么接受要么拒绝轨迹的最终位置。此外，在每次跃迁之前，根据p（m |θ）对新动量进行采样，p（m |θ）通常被视为与当前状态θ无关的高斯分布，即m~ N（0，I）。特别是在高维模型中，即具有许多参数的模型中，使用梯度信息来指导勘探对于确保有效采样至关重要。注意，HMC仅限于连续参数空间θ∈ RK，但当需要离散参数时，可以与其他方法结合使用。通常，将离散参数边缘化是有利的，因为它们之间的强相关性会严重阻碍采样效率。理论上，HMC对参数θ之间的强相关性不敏感。实际上，辛积分器使用有限的步长来数值求解哈密顿动力学。在后验密度具有高曲率的情况下，这可能会阻止取样器到达状态空间的某些部分。此外，它使HMC对参数的比例敏感，因为步长需要相应调整。幸运的是，通过重新参数化模型，通常可以简化后验密度的几何结构。此外，还开发了一系列诊断，例如基于数值轨迹的稳定性的诊断【1】。2.4 Stan语言概率编程语言Stan【5】允许用户用高级编程语言描述模型的联合概率p（x，θ）。然后，将程序编译为C++，并内置了几种推理算法，包括哈密顿蒙特卡罗算法。

所需的梯度是通过一个C++库计算出来的，用于自动区分[4]，从而使用户无需手动执行和调试梯度计算。Stan提供了大量文档，其中包括许多示例模型和有效实现这些模型的有用技巧[17]。最小Stanprogram由三个块1组成。一种数据块，它声明与观察到的数量x，2相对应的变量。一个参数块，用于声明与未观测参数θ3相对应的变量。以及一个模型块，其中包含计算模型对数密度的语句，即对数p（x，θ）。例如，下面的Stan程序使用已知的标准偏差估计高斯观测值的平均值：这尤其适用于吉布斯采样。尽管吉布斯抽样很受欢迎，但后验的相关性严重阻碍了它的发展，这使得它在高维问题中完全无用。相比之下，吉布斯抽样受到强烈依赖性的严重影响，但对参数规模不敏感。，1数据{2 int<lower=0>N；//数据点的数量3 v ect或[N]x；//观测到的数据点4}5参数{6实mu；//未观测到的平均值7}8模型{9 mu~ 正常（0，10）；//计算s log优先密度log p（mu）10 x~ 正常（mu，1）；//计算log l ikel ihoo d log p（x | mu）11//to tal log de nsi ty is log p（mu）+log p（x | mu）12}~ 模型块中的语句将一个变量与密度联系起来，更基本的语句用简写符号总结对数密度贡献，例如target+=normal\\u lpdf（x | mu，1）。如示例所示，所有变量都是类型化的，需要在使用前声明。Stan的一个特别方便的特性是，变量可以产生约束类型，例如，标准偏差参数可以定义为实<下=0>σ。

在内部，变量会自动转换为无界空间，并根据测量结果的变化调整日志密度。由于这种方法，许多不同的数据类型（包括向量、矩阵）以及约束空间（如单纯形或协方差矩阵）都很容易得到支持。Stan支持多种推理算法，即用于最大后验估计的梯度下降优化器、HMC采样和随机梯度变分贝叶斯。虽然HMC是这些算法中效率最低的，但它通常提供最接近真实后验分布的近似值。此外，在热身（也称为磨合）期间，斯坦调整了算法的几个参数，使得算法对用户来说基本上是无参数的。这对于自动调整模拟轨迹长度的无U形转弯取样器（螺母）尤其有效。简而言之，nutsintegrated哈密顿动力学，直到它开始转向自己，这是基于梯度方向局部决定的。需要小心确保产生的转换保持目标密度不变。为了达到这一目的，轨迹以树状方式展开，在时间上向前和向后的长度依次加倍。然后，从得到的总体轨迹中抽取下一个状态。有关Stan编程语言和NUTSalgorithm的更多详细信息，请感兴趣的读者分别参阅Stan手册[17]和[1]。接下来，我们转向基于代理的金融市场模型，并展示如何将这些模型表示为统计模型。3市场模型金融市场表现出一些显著且通常令人惊讶的稳定统计特征，通常被称为程式化事实[6，13]。

最值得注意和研究的是资产价格回报的特性，表现出厚尾分布和波动率聚类。特别是波动率，即收益率的标准偏差，由于其自相关性作为幂律衰减，表明存在一个长记忆过程，因此在经济物理学界受到了广泛关注。因此，已经开发了许多模型来精确地建模其统计数据或解释波动率相关性的起源。基于代理的模型将金融市场的统计特征视为紧急属性，即由许多相互作用的贸易商的集体行动产生的。因此，作为标准经济模型的补充，假设理性行为者，通常无法解释波动性的快速变化，平静的市场阶段被高度波动的事件打断。希勒创造了过度波动这一术语，暗示了这些缺点。相比之下，基于代理的模型允许有限理性行为体，并且通常可以复制假定图表交易和/或放牧行为的类型化事实【15】。在这里，我们详细考虑了两个模型，即Vikram&Sinha（19）和Franke&Westerho ff（8）。特别是，我们解释了这些模型如何产生一种可以用贝叶斯方法模拟和估计的潜在状态动力学。3.1模型Vikram&Sinha（VS）VS模型中的市场由N名交易员组成。在每个时间步骤t，atrader i要么购买（Si（t）=1），要么出售（Si（t）=-1） 或保持不活动状态（S（t）=0）。然后，所有贸易商的标准化净需求为Mt=NPNi=1Si（t），价格调整为pt+1=1+Mt1-Mtpt。代理商购买/出售或出售的决定取决于当前价格p与其运行平均p之间的感知错误定价*t=hptiτ，被视为资产基本价格的代表。

代理人进行交易的概率由p（| Si（t）|）=exp给出-upt公司-p*tp*t型交易代理人购买Si（t）=1或出售Si（t）=-1随机，概率相等。为了获得波动性的统计模型，特别是HMC采样所需的连续潜在状态，我们对模型进行了如下调整：o对于大量试剂N→ ∞ 净需求mt收敛为高斯分布，平均值为零（E[Si（t）]=0），方差（Si（t）|=1）√N–在此，我们使用了代理人交易决策Si（t）是独立的，且Si（t）]=P（| Si（t）|=1）·1+P（| Si（t）|=1）·(-1) + (1 - P（| Si（t）|=1）·0=0Var[Si（t）]=E[Si（t）]=P（| Si（t）|=1）·1+P（| Si（t）|=1）·(-1)+ (1 - P（| Si（t）|=1）·0=P（| Si（t）|=1）–接下来，考虑到代理的数量未知，我们引入了方差的比例参数σmax，并对需求asMt进行建模~ N（0，σmaxP（| Si（t）|=1））。o最后，我们通过线性化价格影响RT+1=logpt+1pt=log1+Mt1来近似对数回报- Mt公司≈ 2MT我们使用的日志（1+x）≈ x表示| x | 总的来说，我们得出以下模型dynamicshptiτ=（1- τ）pt+τhpt-1iτP（| S（t）|=1）=e-ulogpthptiτ（1） rt+1~ N（0，σmax·2P（| S（t）|=1））注意，这是一个状态空间模型，具有连续潜在状态驱动时变波动率σt+1=pσmax·2P（| S（t）|=1）。事实上，著名的Garch（1，1）（广义自回归条件异方差）模型[3]具有类似的形式σt+1=u+αrt+βσtrt+1~ N（0，σt+1）（2）VS（在我们的公式中）和GARCH模型之间的主要区别在于，波动率是前者过去价格和后者过去回报的函数。此外，由于建立在基于代理的模型中，VS模型的所有参数很容易解释为代理对错误定价的敏感性u和运行价格平均值的加权τ。