通过市场过程重构建立股票市场模型

的概率分布遵循D的正态分布。4坎德/01F>，其中>是天数。在图1中，我们可以清楚地看到，随着步骤数量的增加，！>&与真实的股票市场相似。（a） （b）（c）（d）图1：具有（a）50、（b）100、（c）1000和（d）10000步的随机游走过程的图形表示2.2。随机游动作为马尔可夫链我们可以仅使用以下简单规则将前面的示例建模为马尔可夫链：1。每天价格都必须改变2。价格上涨或下跌的概率相等。价格的变化是一个单位。任何给定时间的价格只取决于前一个时期的价格和一定的概率。考虑到系统的当前状态，它必须移动到新状态，并且它有相同的概率进入两个可能的新状态之一。一种是价格上涨，另一种是价格下跌（图2）。图2：抛硬币作为马尔可夫链的过渡图！“HI&.4J8Kbe从状态到状态的概率”，其中“8ILM.N<>；O>8,48-PQ\'R.N/8,8R。我们还知道4j8k/01when”，因为无论之前发生了什么，朝任何方向前进的概率都是相等的，并且不能回到起点。我们可以将transitionmatrix写为：+。T+！H&+！H/&+！H、 &+/H&+/H/&+/H、 &+！，H&+！，H/&+！，H&U、 因此，从任何状态到任何其他状态的转移概率“为1或x4j8k。3YJZC。2.3。什么是马尔可夫链？马尔可夫链，以俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫命名，是一个在状态空间M内所有可能状态之间循环的数学系统。N<8<%8（8<）R、 从每个给定状态<J，有一个明确定义的跳转到不同状态<K的概率。

这些概率可以排列成一个矩阵，超过转移矩阵+（或随机矩阵）。我们可以通过将状态空间中的每个状态添加为行和列来构造转换矩阵。这意味着每个元素！矩阵的“8I&描述了从列状态转换到行状态的可能性”。换句话说，我们有条件概率+！“您好，.4J8K。这将是一个维度为M$M的平方矩阵。更正式地说，马尔可夫链是一组随机变量n[5r，其大小大于L\\n，未来与过去无关，即+！[5H[C8[#8（8[57#&.+！[5H[57#&。这被称为无记忆性属性。2.4.考虑到中的方法，将市场建模为马尔可夫链（Villela Mendes，Lima，&Araújo，2002），我们将使用最简单的情况将市场建模为马尔可夫链，随后可以根据需要进行扩展。我们首先考虑3个符号的字母表]。N-8/8，R.N=38/83，考虑1天的回报率o！>83和式（2）给出的价格！>&当我们有\'。3.O！>8\'&.^_`4!>2\'&=^_`4!>&（2） 乐涛！>8’&bbe O的平均值！>8’&andE）分别是公式（3）和公式（4）给出的n天标准偏差。aO！>8’&b.3cdO！>8’&e5ZC（3）E）。fagO！>8’&h%=aO！>我们可以基于函数（5）构建离散事件链，其中。O！>83&是给定时刻的1天回报率><JO和。i=38=Ej！O=aOb和/8 Ek！O=aOb&k=E38！O=aOb&jE（5）使用这种编码，我们可以翻译实值函数O！>&进入一个不知名的国家主义序列。N<C8<#8（8<使用字母）：价格下降（-1），价格保持不变（0），价格上升（1）。

注意下面的顺序：MC。N/8/8383838=38/8/8/8383838=3838/8=38=38（r序列m表示，对于OC！>&，前两天价格保持不变（在alEmargin内）（<C.<\\35;./），然后在接下来的三天内连续上涨（<%。<m.<N.3），然后在接下来的三天内下降（<o.=3），然后再稳定下来（<p.<q.<r./），依此类推。该链的转移矩阵将使用状态空间（即字母表）中的可能状态来构造：+。T+！H&+！H/&+！H、 &+/H&+/H/&+/H、 &+！，H&+！，H/&+！，H、 &U.T+=3H=3&+=3小时/&+=3小时&+/H=3&+/H/&+/H&+！H=3&+！H/&+！&此处+！“HI和.4J8Kis是从状态出发的条件概率”，并根据观察到的序列根据公式（6）计算，其中\'j8kb是序列n“在c=3对可能出现的次数中出现的次数。+！”您好&.\'J8Kc=3（6）2.5。预测下一个值我们可以在成功计算转移矩阵+后开始重建过程，并将信息存储在新的序列中。N<Cs8<#s8（8<esR。要确定每个<Jt#swe需要遵循以下步骤：1.设置<Cs。<C2。从原始序列中读取<j3的值。选择其相应列+！sH<J和4。抛出均匀分布的随机数ula/83B5。设置<Jt#s.v！u8<J&其中函数v！w8<#&使用+！sH<J&根据等式（7）构建。vw8<J和。i=38 wx+=3H<J和/8+=3H<J和ywx+/小时<38周以上！H<J和（7）2.6。计算误差获得新序列后，我们可以将其与原始序列进行比较，并根据公式（8）计算误差：面向对象。zd<5=<5s和%e5ZC（8）2.7。使用N-符号字母，我们可以增加字母]以获得！>&中运动的更细粒度规范。这可以被视为类似于将模拟信号转换为数字信号。

我们可以想象一个正弦波，比如来自麦克风的电信号，它被转换成二进制序列。我们可以只记录上下运动，也可以尝试记录其间的每一个值。这种细节的增加允许以后更好地重建信号。对于以0为中心的对称字母表，我们需要奇数个可用的符号总数。然后我们可以使用范围：]。N={8={238（8=38/838（8{=38{RWhere{.e7#%）和离散事件的链<JL]是用q.（9）构造的。<J！O&.}}o={8=Ej！O=aOb&o/8E{k！O=aOb&k=E{8！O=aOb&jE 9）转移矩阵+将始终是平方c$cmatrix:+。\'402"+！={H={&+！={H={23&·+！={H{=3&+！={H{&+！={23H={&·+！={23H{=3&·+！={23H{&·+···+！{=3H={&·+！={23&·+！{=3H{=3&+！{=3H&&&+！{H={&&&++。！{H={23&…+！{H{=3&+！{H{&&^^^‰2.8。在前几页中，我们使用K长度马尔可夫链，始终假设任何给定当前状态的邻接可能状态始终是即时最值的函数。也就是说，假设之前的值为，，那么所有可能状态都是由转移矩阵中的列给定的。到目前为止，我们一直将其作为单个值保留为1长度马尔可夫链——但不一定是这样。事实上，只要数据允许，我们就可以构造任意K长度的马尔可夫链过程，即序列存在。在图3中，它表示为*。3长度为3符号的马尔可夫链]。N=38/83及其各自的转移概率，构成转移矩阵+。以一种非常普遍的方式，我们可以用一个符号字母表构造任意K长的马尔可夫链。

但我们将用之前使用的相同的3符号字母表构造一个更简单的2长度马尔可夫链，然后将其推广到任意长度*。图3：三态马尔可夫链在这些条件下，我们的状态空间现在是：S。N=3=38=3/8/=38=3383=38//8/383/833r其中N=3=3r表示连续两天价格下跌，依此类推。这不应该再用转移矩阵来描述，而应该用尦$尦$尦转移张量：OEJ8K87#来描述。T+=3H=3=3&+=3H/=3&+=3H3=3&+/H=3=3&+/H/=3&+/H3=3&+！H=3=3&+！H/=3&+！H3=3和UOEJ8K8C。T+=3H=3/&+=3小时//&+=3H3/&+/H=3/&+/H//&+/H3/&+！H=3/&+！H//&+！H3/&UOEJ8K8#。T+=3H=33&+=3小时/3&+=3小时&+/H=33&+/H/3&+/H&+！H=33&+！H/3&+！&此处+！“HIo&.J8K8Z是获得“givenNIoRLS”和“8I8oL”的条件概率。因此，一般来说，我们可以构建任意cot#过渡张量，其中每个单元由等式（10）给出。OEJo8J\'8（8J\'）o+！”#H“%（”ot#&（10），我们知道sequenceN“%（”ot#RL#和““L”），N-符号字母表。我们应该注意到，随着K变大，数据中sequenceN“%（”ot#的出现次数减少，并且可能发生的情况是，对于某些K，序列根本不会出现，在这种情况下，我们有+！sH“%（”ot#&是0。如果发生这种情况，我们将考虑第一个sequenceN“%N”(“oRwith–x*23，满足+！sH”%（“o&j/从–*开始，一次减少一个。3.经验数据这项工作的数据源是雅虎财经提供的历史数据。我们使用调整后的收盘价，对股息和拆分进行调整。在正文中，我们选择了国际商业机器公司（IBM）的价格-纽约证券交易所。在附录中，我们选择了Facebook，Inc.（FB）-纳斯达克和Alphabet股份有限公司。

（GOOG）-纳斯达克。数据可通过https://finance.yahoo.com，搜索相关公司，然后选择“历史数据”我们可以在包含7列信息的逗号分隔文件（CSV）中下载法律数据。我们使用第一个作为日期，第六个作为调整后的收盘价。4、平稳过程的平稳性检验平稳过程是一个随机过程，具有均值、方差和自相关结构不随时间变化的特性。白噪声是平稳过程的一个很好的例子。在我们看来，平稳性是指一个看似平坦的序列，没有趋势和周期性波动，并且具有随时间变化的恒定方差和自相关结构。我们将使用来自雅虎的最新数据！Finance和MATLAB使用相同的1天市场波动数据，在（Vilela Mendes、Lima和Araújo，2002）中尝试并再现平稳性测试。为了成功地将统计力学工具应用于这些信号，必须满足两个条件：1。如前所述，生成数据的过程具有某种潜在的平稳性2。所提供的时间序列是流程的典型示例。我们应以与第一个条件一致的方式处理数据，而对不同数据源（不同股票、货币或指数）的分析应足以满足第二个条件。这很容易用本文中提供的MATLAB代码完成，因为结果到处都是相似的，所以我们将只分析国际商用机器公司（IBM）股票的每日收盘价。

附录中提供了其他数据源的结果。图4:IBM的股票日收盘价随时间变化和多项式拟合图4中我们可以看到历史价格演变！>&对于IBM的股票及其相应的三次多项式拟合-！>&。在图5a中，我们通过应用公式（11）消除了这种趋势。我们可以看到，即使趋势已经消失，我们仍然需要重新调整数据。通过应用公式（12）进行重缩放，我们得到图5b中的结果。现在，数据看起来更像图1.4 ！>&。4!>&=—!>&（11） w！>&。4~!>&a4！>&b-！>&（12） （a）（b）图5：（a）去趋势价格和（b）重新缩放价格在图6中，我们可以根据公式（2）看到一天内的回报率以及一天内绘制的asO的动态！>83和vs.O！>2383&返回作为小波动的中心核心，外部有较大波动的光环。（a） （b）图6：（a）1天收益和（b）1天收益的动态图7显示了等式（4）中定义的10天窗口波动性的时间变化，这似乎表明该过程不是局部静态的，但可能是渐进平稳的。（a） （b）图7:a（a）历史价格波动率的10天滑动窗口和（b）累积波动率也可以计算一些其他重要的统计指标：i.o！>8英寸及以上>TM!\'&.è>oe5NO！>8’&R（13）ii。Ho分布的矩！>8’&嗯o！\'&。aHO！>8’&Hob（14）iii.在一定范围内，令人满意&EURzEUR\'"Y!o&（15） 在图8和图9中，我们表示TM!\'&,Mo！\'&还有-&可以观察到与（Vilela Mendes、Lima和Araújo，2002）相同的结论。我们可以找到一个表达式-&通过重新排列公式（15）并用公式填充。

（14） 获取！-&-、小时！58）和H。（a） （b）图8：（a）最大TM!\'& “从1到1000和（b）动量Mo”&简而言之，从1到8，从顶部到底部，我们可以从这些统计指标得出结论：a。TM!\'&是对数凹的，对于largeOb可能是渐近常数。Mo！\'&是一个允许幂律近似的递增对数凹函数-&是的递增凹函数，如图8所示。a、 通过增加考虑的时间范围，我们也可以在给定的时间范围内获得收益最大值的增加，并且趋势是对数凹的。如图8所示。b、 我们可以看到，等式（14）给出的曲线可以通过等式（15）来近似。图9：缩放指数-&这些结论与湍流数据一致，虽然数值不同，但水动力湍流与市场波动之间存在相似性。我们也应该注意到&yen/01这使得信号与\'kl不相关。我们可以通过公式（16）和公式（17）的1天收益率与其绝对值之间的相关性进一步证实这一点。|!O！>83&8OE&.aO！>2OE83和O！>83和b（16）|！呵呵！>83和H8OE和。aHO！>2OE83&HHO！>83和Hb（17）如图10所示，OEkl的返回值与保持在噪声级的相关函数不相关。图10:O！>83&哦！O83和H5。重建流程为了重建流程，我们按顺序执行以下步骤：1。获取股票价值价格！>&2、计算1天的回报SO！>83&3.  计算平均值AO！>83和波段标准偏差4。选择一个N符号字母表]、理想的YCKè和odd5。确定<JL]6的编码序列。拆分sequenceM。N<#8（8<eRin half into M#and M%），这样M.M#§M%，M#.N<#8（8<RandM%。N<#t#8（8<eRwith？e%），其中是楼层功能7。使用前半部分M#计算过渡矩阵+8。

使用后半部分M%和转移矩阵+预测ASTM%获得预测后，我们需要将其与进行比较。同时，我们构建了一个随机生成的序列(R)，其长度asM%s相同，但每个元素都是从统一分布中随机生成的。根据公式（8）计算sequencesM%和(R)的误差，我们可以比较使用转移矩阵+如何对抗完全随机过程。确定bothM%sand(R)的过程如下。1、读取值<JLM%2。提取相应的列+！sH<J&来自转换矩阵3。从均匀分布中抛出一个随机数/83&4.  设置<Js。s’°±NwL]^2欧元以上！wH<J和R5。SetOJto随机元素]如图11所示，总共进行500次模拟，我们能够获得3符号1长度马尔可夫过程的误差：#，完全随机过程的误差：%：#/0<13/^3:%./图11：使用马尔可夫过程与随机过程获得的误差比较获得的转移矩阵为：+。V/03媫u3/0/P媫l/03媫/P/0·l/0P3u//0·'l1/03'/·/0/u·P/03l^3·W结果表明，价格在一个标准偏差内保持不变的可能性比上涨或下跌一个以上的标准偏差大得多。我们使用sequenceM的前半部分构建了转移矩阵，这有助于我们预测%s，即过去预测未来。我们也可以颠倒这个过程，以获得预测过去的未来。这很容易通过使用后半部分sequenceM%来构造转换矩阵，并完全按照之前的步骤来获得M#s来实现。我们可以做的另一件事是颠倒过程，以获得预测价格4S！>&从收益预测序列M%s中可以看到结果，如图12所示。

我们可以观察到，尽管预测（红色）可能与实际价格（蓝色）不一致，但它的表现几乎总是优于完全随机预测（黄色），尤其是从长期来看。（a） （b）（c）（d）图12：反向过程的不同运行，以根据预测回报重建价格。由于每次运行的结果可能会有很大差异，我们可以进行蒙特卡罗模拟，以观察潜在趋势，如图13所示。对于总共500个模拟，我们清楚地观察到，马尔可夫预测比随机预测更接近实际价格，并且随着时间的推移，差异越来越大。图13：反向马尔可夫过程的蒙特卡罗模拟5.1。增加N和KWe可以使用更通用的算法来执行先前使用N符号和K长度马尔可夫链的马尔可夫重构。我们对一个5个符号的字母表进行了计算，K从2到8不等，每个字母表有10个模拟，图14显示了（8）中的平均误差。我们可以再次观察到，随机生成序列的误差比使用马尔可夫链过程的误差大。我们还观察到，对于链，误差最初随着长度的增加而减小，但对于*K1，误差再次增大。一种解释可能是，对于*y'，数据中有足够的长度链，但更长的链可能更罕见。图14:K长马尔可夫链模拟的平均误差5.2。反向马尔可夫编码过程图12和13中的结果是通过反向编码过程获得的，以获得价格4s！>&根据预测序列。我们可以找到预测的回报SoS！>&通过将公式（18）应用于每个<JsLMs。OJs。aO！>83和b2lE？c=3<Js（18）whereo！>83和bandE是1天返回的平均值和标准偏差so！>83&，cis字母表中的符号数，<JsL]。