高斯风险的若干多元风险测度的逼近

因此，根据定理2.1E（c，u）中的陈述iii）~σ+ σ-σ- 11+σu和（2.12）M（c，u）-σ+σ1+σu→ 0as u→ ∞.定理1.1的证明设（X，X）为联合高斯分布，平均向量为零，相关ρ∈ (-1，1）和setu：=up=V aRX（p），β=u- uσ，c=σσ。对于任何u>0，我们有E（p）=E{（σX+u- σu- u）+X>u}=σE十、-σσu-u- uσ+十> u型=σP{X>u}E{（X- 铜- β） I（X>cu+β，X>u}=：σP{X>u}θu∈ (0, ∞).下面的Д表示（X，X）的pdf。i） 首先请注意，在这种情况下，c∈ （ρ，1）.设h*, h类*由H定义*=c- ρ1 - ρ> 0，小时*=1.- cρ1- ρ> 0.（3.1）使用变换=cu+β+x/u，t=u+y/u对于任何u>0，我们还有θu=Z∞cu+βZ∞美国- 铜- β） ^1（s，t）dsdt=u-3Z∞Z∞xх（cu+β+x/u，u+y/u）dxdy=：u-3Д（cu+β，u）Z∞Z∞x扩展(-h类*x个- h类*y） ψu（x，y）dxdy。高斯风险的多风险度量S 7在对任何x，y正进行一些计算后，我们得到了Limu→∞ψu（x，y）=1（3.2），对于所有ε>0且非常小的和所有u较大的ψu（x，y）≤ eε（x+y）。因此，由于h*, h类*正，应用支配收敛定理，我们得到θu~ u-3Д（cu+β，u）Z∞Z∞x扩展(-h类*x个- h类*y） dxdy=（h*)h类*u-3х（cu+β，u），u→ ∞,因此，索赔如下。ii）如果c=ρ，则自h起不能使用上述变换*= 0且极限积分不是有限的。我们使用另一种变换，对于任何大于0的u，命名为lys=ρu+β+x，t=u+y/uf。接下来，我们得到θu=u-1Z∞Z∞xИ（ρu+β+x，u+y/u）dxdy=：u-1Д（ρu，u）Z∞Z∞xe公司-（x+β）2（1-ρ)-yψu（x，y）dxdy。定义为-1Д（ρu，u）~2πp1-ρu-1e级-u/2，P{X>u}~ u-1e级-u/2/√2π，u→ ∞,（3.3）其中，二次近似是众所周知的米尔比率渐近的直接结果。显然（3.2）是成立的，被积函数的支配很容易遵循。

因此，受支配的收敛定理为u→ ∞θu~ u-1Д（ρu，u）Z∞Z∞xe公司-（x+β）2（1-ρ)-ydxdy~p2π（1- ρ） Z∞β（x- β） e类-x2（1-ρ） dxP{X>u}=E{（p1- ρX- β） +}P{X>u}。因为对于任何a>0，b∈ RE{（aX- b） +}=aΦ′（b/a）- b[1- Φ（b/a）]（3.4）索赔如下。iii）如果c<ρ，则P{X>cu+β，X>u}=u-1Z∞P{p1- ρX>（c- ρ） u型-ρx/u+β}√2πe-（u+x/u）/2dx~ P{X>u}，u→ ∞.接下来，使用与情况c=ρ相同的变换，得到→ ∞θu=Z∞cu+βZ∞u（x+（ρ- c） u型- ρu- β） Д（x，y）dxdy=（ρ- c） 向上{X>cu+β，X>u}+Z∞cu+βZ∞u（x- ρu- β） ^1（x，y）dxdy~ (ρ - c） 向上{X>u}+u-1Z∞（c）-ρ） 乌兹∞xД（ρu+β+x，u+y/u）dxdy=（ρ- c） 向上{X>u}+u-1Д（ρu，u）Z∞（c）-ρ） 乌兹∞xe公司-（x+β）2（1-ρ)-yψu（x，y）dxdy。8 ENKELEJD HASHORVAAs（3.2）和limu→∞（c）- ρ） u=-∞利木→∞Z∞（c）-ρ） 乌兹∞xe公司-（x+β）2（1-ρ)-yψu（x，y）dxdy=ZRZ∞xe公司-（x+β）2（1-ρ)-ydxdy=0。进一步利用（3.3），我们得到θu~ (ρ - c） 向上{X>u}，u→ ∞确定索赔。iv）自c起≥ 1/ρ，然后h*（3.1）中的定义为非正面。因此，我们需要使用另一种变换，即lys=cu+β+x/u，t=cρu+yf，对于任何u>0的情况。依次，对于任何u>0θu=u-2Z∞Z∞(1-cρ）uxИ（cu+β+x/u，cρu+y）dxdy=：（cu）-2Д（cu，cρu）e-βcuZ∞Z∞(1-cρ）uxe-xe公司-y-2ρβy+β2（1-ρ） ψu（x，y）dxdy，其中ψu（x，y）→ 1作为u→ ∞. 对于c=1/ρθu，积分的控制很容易遵循s，只要应用domin-atedconvergence th eorem和（3.3）即可~ （铜）-2Д（cu，cρu）e-β-βcuZ∞Z∞xe公司-xe公司-（y）-ρβ)2(1-ρ） dxdy=（cu）-2Д（cu，cρu）e-β-βcup2π（1- ρ)[1 - Φ(-ρβ/p1-ρ)]~ （铜）-1e级-β-βcuΦ（ρβ/p1-ρ)[1 - Φ（cu）]为u→ ∞.

如果c>1/ρ，则θu~ （铜）-2Д（cu，cρu）e-β-βcuZRe-（y）-ρβ)2(1-ρ） dy公司~ （铜）-1e级-β-βcu[1- Φ（cu）]，u→ ∞,因此，索赔如下。v） 首先注意，对于任何p∈ （0，1）和u：=向上=V aRZ（p）S（p）=u+E{（Z- u）| Z>V aRZ（p）}=u+σρu+σE{X- ρu | X>u}。如上所述，我们有e{X- ρu | X>u}=P{X>u}Zx∈R、 y>u（x- ρu）Д（x，y）dxdy=Д（ρu，u）uP{x>u}Zx∈R、 y>0xД（ρu+x，u+y/u）/Д（ρu，u）dxdy~p2π（1- ρ） Zx公司∈R、 y>0xД（ρu+x，u+y/u）/Д（ρu，u）dxdy~p2π（1- ρ） Zx公司∈R、 y>0xe-x2（1-ρ)-ydxdy=0as u→ ∞, 从而确定索赔。定理的证明2.1该证明由[2]中导出的高斯随机向量的尾部渐近性驱动。正如其中所述，指数集I也是E（c，u）渐近推导的基准，因为P{X>cu}的尾部渐近达到了与P{XI>cIu}的前因子相同的前因子，即u→ ∞. 指数在集合L中的成分通过pr e因子影响asymp totics，而指数在集合K中的成分不重要。由于这些原因，我们有三种不同的多重风险度量，适用于高斯风险9种情况，这些情况都将单独处理。为任何u>0E设置下一步*（u） =P{X-1> c类-当1∈ 一、 那么▄c=c。因此，对于任何u正数*（u） =Zs>cu+ue*（s）- 铜- u）+Д（s）ds=um+1Zx>u（cu-cu）xД（▄cu+x/u+ue*)dx，其中u的所有分量的指数I等于u，否则等于1和e*除第一个分量等于1外，所有分量都等于0。回想一下，m代表索引集I中不能为空的元素数。使用furth er（4.4）（设置next J=Ic={1。

，d}\\I并且为了简单起见，假设J不是空的）我们有（~cu+x/u+ue*)Σ-1（▄cu+x/u+ue*)= （￠cu+ue*)Σ-1（￠cu+ue*) + 2ucΣ-1x/u+2u（e*)Σ-1x/u+（x/u）Σ-1x/u.（3.5），对于任何u 6=0，x∈ RducΣ-1x/u=℃I（∑II）-1xI。因此，自1∈ I暗示（e*)Σ-1x/u=O（1/u）为u→ ∞, 然后乘以（3.5）Д（▄cu+x/▄u+ue*) = ^1（￠cu+ue*)ψu（x）e-cI（∑II）-1十一-x个J（∑）-1） JJxJ/2，其中limu→∞ψu（x）=1，对于任何x∈ Rd.使用∑的事实-1为正定义，cI（∑II）-1> 0I对于任何x∈ Rd当xI>0时，我将获得2CI（∑II）-1xI+2u（e*)Σ-1x/u+（x/u）Σ-1x/u≤ C（1IxI+xJxJ）（3.6）适用于所有大u和一些正常数C。因此，使用支配收敛定理（回忆一下任何i∈ K=Lc）我们获得*（u） =um+1Д（￠cu+ue*)ZxL>0升，xi>u（ci- ci），i∈Kxψu（x）e-cI（∑II）-1十一-x个J（∑）-1） JJxJ/2dx~um+1Β（Βcu+ue*)ZxL>0升，xi∈R、 我∈Kxe公司-cI（∑II）-1十一-x个J（∑）-1） JJxJ/2dx=huumИ（℃cu+ue*)气∈IhiZxi>0，i∈L\\I，xi∈R、 我∈Ke公司-x个J（∑）-1） JJxJ/2dxJ，其中hi=cI（∑II）-1ei>0，其中I为rm中的第I个单位向量，m为索引集I的元素数。自1起∈ 一、 在引理4.2 yieldsE中应用（4.6）*（u）~ （嗯）-1P{X>cu+ue*}, u→ ∞,因此，该权利要求之后是对E的定义*（u） 。ii）根据引理4.2，P{X>cu+X，X的不对称性-1> c类-1u}和P{X的-1> c类-1u}作为u→ ∞ 达到相同的前置因子。很容易得出，Yu：=（X-cu）| X-1> c类-1u在分布中聚合为u→ ∞ 对于具有生存函数P{X>X | XI=0I}ifL\\I={1}的随机变量Y，当N*= L \\（I∪ {1} ）为非空，则Y具有生存函数p{X>X，XN*> 0N*|XI=0I}P{XN*> 0N*|XI=0I}，x∈ R、 10 ENKELEJD HASHORVAIn案例（Yu-u）+，u>0是一致可积的，则limu→∞E（u，c）=E{（Y-u)+}.接下来我们直接证明了上述收敛性，这在turn中意味着上述一致可积性。

自1起∈ L\\I如上所述，我们仍然有▄c=c*（u） =Zs>cu+ue*（s）- 铜- u）+Д（s）ds=umZx>u（cu-cu）xД（▄cu+x/u+ue*)dx。接下来，从16∈ 即1∈ J：=Icby（3.5）（~cu+x/u+ue*)Σ-1（▄cu+x/u+ue*)= （￠cu+ue*)Σ-1（￠cu+ue*) + 2cI（∑II）-1xI+2u（∑）-1） 1，JxJ+xJ（∑）-1） JJxJ+O（u-1） 作为你→ ∞. 因此，考虑到（3.6），我们可以应用支配收敛定理来获得（集合N=L，为索引集合k=L={1，…，d}\\L的元素数写k，并重新调用▄ci>ci，I∈ K） E类*（u）~um^1（￠cu+ue*)ZxL>0升，xi>u（ci- ci），i∈Kxe公司-cI（∑II）-1十一-x个J（∑）-1） JJxJ/2-u(Σ-1） 1，JxJdx=umИ（￠cu+ue*)气∈IhiZxN>0N，xK∈Rkxe公司-x个J（∑）-1） JJxJ/2-u(Σ-1） 1、JxJdxJas u→ ∞. 用类似的计算P{X>cu+ue*} ~um^1（￠cu+ue*)气∈IhiZxN>0N，xK∈Rke公司-x个J（∑）-1） JJxJ/2-u(Σ-1） 1、JxJdxJas u→ ∞. 自1起∈ J、 由Lemma4.2limu提供→∞P{X>cu+ue*}P{X-1> c类-1u}=cf对于某些C>0且可以显式计算的情况，因此声明如下。iii）当1∈ Lc，然后▄c>cimplynge*（u） =Zs>cu+ue*（s）- cu+（▄c- c） u型- u）Д（s）ds=（℃）- c） 向上{X>cu+ue*}+Zs>cu+ue*（s）- 铜- u）Д（s）ds。很容易就明白了*（u）~ （￠c）-c） 向上{X>cu+ue*}, u→ ∞进一步通过引理4.2P{X>cu+ue*} ~ P{X-1> c类-1u}，u→ ∞,因此，证明是完整的。定理证明2.3我们首先在（2.6）中展示了条件收敛。设▄b为四次规划问题∏b（b）的解，对应的索引集I={k，…，d- 1} 设l为▄bi=bi的指数集。回想一下，b=c-1是a（d- 1） -维度向量。LetI={k+1，…，d}，集合c=∑1，I（∑II）-1cI。根据I和I的定义，我们得到了（∑II）-1cI>0I和cJ*= ∑J*I（∑II）-1此处J*= 如果k=1，则{2，…，k}为空。请注意，我们同意如果索引集为空，则应忽略定义的关系。设▄c为▄c=c=σ1，I（σII）-1加拿大-1=▄b.设置J={1}∪J*我们有▄cJ=∑JI（∑II）-1cI。

因此，自（∑II）-1cI>0I和I∪ J={1，…，k}根据引理4.1中的相反陈述，我们得到▄c是高斯风险11∏∑（c）的多重风险测度S的唯一解。从上述命题中，I是确定唯一解c的索引集。为了显示（2.6），我们需要确定u的渐近性→ ∞ ofP{X>cu+xe*}/P{X-1> c类-1u}对于任何x∈ R、 如果L=I，则L={1}∪ I（sin cec=c），因此通过引理4.2，我们得到了（2.6），Y具有与X | XI=0I相同的分布。[4][Corr 5.2]中N=L\\I不是空的情况。事实上，分母和命名子的尾部渐近在某些正常数上是相同的，因为对应的二次p规划问题的I指数集是相同的。这些常数的比率为（设置N*= N+1）P{X>X，XN*> 0N*|XI=0I}P{XN*> 0N*|XI=0I}，因此（2.6）成立。（2.7）的证明是通过计算e{（X）的asymp totics得出的- cu）I（X-1> c类-1u）}，这与定理2.1中陈述ii）的证明相似，因此我们省略了细节。定理2.5的证明让I，L表示从二次规划问题∏∑（c）的解中定义的唯一索引集。首先假设N=L\\I不是空的。根据假设1 6∈ N∪ 一、 设a为∏∑（a）的唯一解，a=（∧c，c，…，cd）. 对应的索引集I（写为Ia）包括自1 6起的I∈ 一、 但我们不能有1个∈ Ia，即（∑IaIa）-1aIa>0i因为这与a=~c>c的定义相矛盾。因此，1属于所有指数i的指数集lao≤ d使得▄ai=ai。接下来，对于任意x∈ R使用引理4.2和lemma 4.1，我们有limu→∞P{X>~cu+X，X-1> c类-1u}P{X>cu}=P{X>X，XN>0N | XI=0I}P{XN>0N | XI=0I}=：G（X），X∈ R、 其中，对于分母的渐近性，我们使用以下事实：1∈ Lc，即∧c>c。如果i=L，则g（x）=P{x>x | XI=0I}。

因此，Y具有声称的生存函数G。第二个要求很容易遵循，因此我们省略了证明。附录引理4.1。Le t∑为d×d正定义矩阵，设b∈ 研发部\\(-∞, 0]d.二次规划问题∏∑（b）：最小化xΣ-x下1x≥ b有唯一解b，且存在唯一的非空索引集I {1，…，d}带m≤ d元件，使得￠bI=bI，（σII）-1bI>0I（4.1），如果Ic：={1，…，d}\\I 6=, 然后▄bIc=∑IcI（∑II）-1bI≥ bIc，（4.2）minx≥bx公司Σ-1x=▄bΣ-1b=bI（∑II）-1bI>0（4.3）xΣ-1b=xF（∑F F）-1bF，x个∈ 对于{1，…，d}中包含I的任何索引集F，如果b=（b，…，b），则为Rd（4.4）, b∈ (0, ∞), 然后是2≤ |I |≤ d、 相反，如果对于某些非空索引集I {1，…，d}我们有（∑II）-1bI>0I，∑IcI（∑II）-1bI≥ bIc，然后是▄b，其中▄bIc=∑IcI（∑II）-1bI，~bI=bI是∏∑（b）的解。引理4.1的证明（4.1）-（4.3）中的权利要求在【15】中阐述。从（4.2）开始，我们有（∑）-1b）M=任意M的M Ic（假设Ics不为空）与[16][Lem 4.1]的证明完全相同∈ Rd和F={1，…，d}\\M（x+~b）Σ-1（x+￠b）=xΣ-1x+2xF（∑F F）-1▄bF+▄bF（∑F F）-1bF，（4.5），这意味着xΣ-1b=xF（∑F F）-因此（4.4）适用。12 ENKELEJD HASHORVAIf对于一些非空索引集I，我们有（∑II）-1bI>0I，则bI=argminxI≥bIx公司I（∑II）-1xI。对于任意两个不重叠的索引集A、B、A∪ B={1，…，d}（美国舒尔称赞）xΣ-1x=xA（∑AA）-1xA+（xB- ∑BA（∑AA）-1xA）(Σ-1） BB（xB- ∑BA（∑AA）-1xA），x∈ Rdand（与∑）-1） BB为正定义，很容易得出▄b与▄bI=BIAN和▄bIc=∑IcI（∑II）-1b是∏∑（b）的唯一解，因此该权利要求是完整的。下一个结果来自[4][Thm 3.3]，因为高斯随机向量是椭圆对称向量的特殊实例，其中半径在Gumbel-max吸引子域中具有分布函数，且标度函数w（u）=u。

然而，我们给出了一个简短的证明。引理4.2。让c∈ Rd至少有一个正分量，并设X为具有非奇异协方差矩阵∑的中心d维高斯随机向量。用I，L表示与∏∑（c）相关的索引集，并进一步设x（u），u>0为d维向量，使得limu→∞u-1x（u）=0。作为u→ ∞ 我们有p{XI>（cu+x（u））I}~气∈IcI（∑II）-1eiu-mИXI（（cu+x（u））I），u→ ∞,（4.6）其中m是I的元素数，而ДXI是XI的pdf。此外，N=L\\Ilimu→∞P{X>cu+X（u）}P{XI>（cu+X（u））I}=limu→∞P{XL>（cu+x（u））L}P{XI>（cu+x（u））I}=P{XN>XN | XI=XI}，（4.7）前提是limu→∞（x（u））I∪N=xI∪N（如果N为空，则将P{XN>XN | XI=XI}设置为1）。备注4.3。在特殊情况下x（u）=x/u，x∈ 从（4.6）我们得到p{XI>（cu+x/u）I}~ P{XI>cIu}e-x个I（∑II）-1cI，u→ ∞ .引理4.2的证明为简单起见，假设I={1，…，d}。从引理4.1∑看-1c>0，这是证明的关键条件。进一步注意∏∑（c）具有唯一的解c。因此，对于anyu∈ R我们有（设置a（u）=cu+x（u））（a（u）+x/u）Σ-1（a（u）+x/u）=（a（u））Σ-1a（u）+2xΣ-1a（u）/u+xΣ-1x/u。术语xΣ-1x/ui对于显示下面被积函数的可积上界很重要，积分的完整性如下∑-1c>0。更准确地说，对于X的φpdf，我们有p{X>a（u）}=Zx>a（u）Д（X）dx=udД（a（u））Zy>0e-yΣ-1a（u）/u+yΣ-1年/月~ud^1（a（u））Zy>0e-yΣ-1假设x（u）/u→ 0作为u→ ∞.接下来假设I有m<d个元素，且J=Ic={1，…，d}\\I。我们有p{X>a（u）}=umZyI>0I，yJ>（cu-cu）JИ（▄cu+x（u）+y/u）dy，其中ui=u1i和uJ=1J，因此很容易使用further（4.5）进行证明。很容易得出，指数不在L中的X的成分不起作用，因此我们假设Lhas是d元素，但不失一般性。

在这种情况下（cu-cu）J=0Jan经过一些简单的计算后，证明如下。为此，我们证明（2.2）中的E（c，u）等于o（E-εu）对于一些小ε>0。我们有e（c，u）=o（R（u）），R（u）=P{X>cu+u，X-1> c类-1u}/P{X-1> c类-1u}作为u→ ∞ 和1∈ I其中索引集I确定∏∑（c）的解。如果我们证明limu→∞R（u）=0。确实如此，因为从引理4.2来看，另一种可能性是limu→∞R（u）=C>0。这意味着二次规划问题∏∑（c）的最小值为cI（∑II）-1等于∏B（B）w的最小值，其中B通过删除第一行和第列，从高斯风险的多风险度量S中获得13∑，B=c-1、自1日起∈ 有两个不同的指数集决定了二次规划问题∏∑（c）的最小值，这是一个矛盾。感谢两位裁判提供了详细的审查报告，改进了手稿。感谢SNSF第200021-175752/1号赠款的支持。参考文献【1】B.Das和V.Fasen Hartmann，“规则变化和渐近尾部独立ce下的风险传染”，《多元分析杂志》，第165卷，第194-2152018页。[2] E.Hashorva和J.H¨usler，“多元积分的不对称性及其在记录中的应用”，《随机模型》，第18卷，第1期，第41-69页，2002年。[3] E.Hash orva，“多元高斯尾的渐近性和界”，《理论概率杂志》，第18卷，第79–97页，2005年。[4] E.Hashorva，“I型椭圆随机向量的渐近性质”，极值，第10卷，第4期，第175–206页，2007年。[5] B.Das和V.Fasen Hartmann，“隐藏的规则变化、copula模型和条件超额风险度量的极限行为”，arXiv预印本arXiv:1802.019362018。[6] S.Asmu ssen、E.Hashorva、P.J.Laub和T。

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