高斯风险的若干多元风险测度的逼近

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英文标题：
《Approximation of Some Multivariate Risk Measures for Gaussian Risks》
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作者：
E. Hashorva
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Gaussian random vectors exhibit the loss of dimension phenomena, which relate to their joint survival tail behaviour. Besides, the fact that the components of such vectors are light-tailed complicates the approximations of various multivariate risk measures significantly. In this contribution we derive precise approximations of marginal mean excess, marginal expected shortfall and multivariate conditional tail expectation of Gaussian random vectors and highlight links with conditional limit theorems. Our study indicates that similar results hold for elliptical and Gaussian like multivariate risks.
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中文摘要：
高斯随机向量表现出维数损失现象，这与它们的联合生存尾行为有关。此外，这些向量的分量是轻尾的，这一事实使各种多变量风险度量的逼近变得非常复杂。在这篇文章中，我们推导了高斯随机向量的边际均值超额、边际期望短缺和多元条件尾部期望的精确近似，并强调了与条件极限定理的联系。我们的研究表明，类似的结果适用于椭圆和高斯型多变量风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Multivariate Applications Quantitative Differential Contribution

高斯风险的一些多元风险度量的近似Senkelejd Hashorva摘要：高斯随机向量表现出维数损失现象，这与它们的联合生存尾行为有关。此外，这些向量的成分是轻尾的，这一事实使各种多元风险度量的近似值变得非常复杂。在这篇文章中，我们推导了高斯随机向量的边际均值超额、边际期望短缺和多元条件尾部期望的精确近似，并强调了和条件极限定理的联系。我们的研究表明，类似的结果适用于椭圆型和类高斯型多变量风险。关键词：高斯随机向量；边际平均超额；边际预期短缺；多变量传统尾部期望；条件极限定理。AMS分类：初步60G15；s经济60G701。引言最近的文章[1]研究了给定二元随机向量（Z，Z）的两个重要风险传染度量，即边际平均超额（MME）和边际预期短缺（MES）。具体而言，假设E{| Z}<∞ MME定义为任何p∈ （0，1）byE（p）=E{（Z- V aRZ（p））+| Z>V aRZ（p）}，（1.1）而MES被赋予asS（p）=E{Z | Z>V aRZ（p）}，（1.2）V aRZi（p）是Zi的p级风险值，它只是Ziat p的分位数函数。一般而言，E（p）和S（p）都无法明确计算。此外，在风险管理实践中，主要目的是计算p接近1的这些数量。在本文中，我们将首先考虑（Z，Z）的MME和MES近似值与相关ρ联合高斯分布∈ (-1, 1).

高斯随机向量是渐近独立的，即大值独立出现，在你的上下文中，这意味着↑1P{Z>V aRZ（p）| Z>V aRZ（p）}=0。此外，高斯风险表现出降维现象，即联合生存概率可以与阈值的大值的边际生存概率成比例，参见【2–4】和下面的讨论。事实上，这种现象使得MME和MES的近似值既有趣又富有挑战性。在（Z，Z）的隐正则变分假设下，最近的文献[1，5]考虑了MME和MES在一些附加的渐近条件下的逼近。然而，由于边缘分布在我们的设置中是轻尾的，因此高斯设置未在其中涵盖。正如最近在【6】中所讨论的，另请参见【7】轻尾情况非常具有挑战性（即使在一维设置中），而且文献中几乎没有对其进行研究。考虑到多元高斯分布的核心作用，以及光尾分布的有趣特性，我们的主要目标是在高斯分布中对MME和MES进行更精确的近似。接下来我们陈述二元情况的结果。以下Φ表示N（0，1）个随机变量的分布函数（d f），Φ取反-1和Д相关ρ的标准高斯随机向量（X，X）的概率密度函数（pdf）∈ (-1, 1).日期：2021年6月5日ENKELEJD HASHORVATheorem 1.1。

设Z=（Z，Z）与Zihaving N（ui，σi），i=1，2 df和相关ρ联合为高斯分布∈ (-1，1）和设置=Φ-1（p），β=（u- u）/σ，η=β/p1-ρ.i） 如果σ>ρσ且σ>ρσ，则为ne（p）~σhh√2πu-2peupД（σ向上/σ+β，向上）→ 0，p↑ 1，（1.3），其中h=σ- ρσσ(1 - ρ） >0，h=σ- ρσσ(1 - ρ)> 0.ii）如果σ=ρσ，则为LIMP↑1E（p）=σp1-ρΦ′(η) - η[1 - Φ(η)]∈ (0, ∞).（1.4）iii）如果σ<ρσ，则为ne（p）~ (ρσ- σ） 向上→ ∞, p↑ 1.（1.5）iv）如果σ≤ ρσ，thenE（p）~ σe-βΦ(ηρ*)普及初等教育-βσupe-σ-σ2σ以上→ 0，p↑ 1，（1.6）式中ρ*= ρ如果σ=ρσ和ρ*= ∞ 否则v） 作为p↑ 1我们有（p）- u- σρ以上→ 0。（1.7）上述发现表明，当p接近1时，E（p）和S（p）的行为完全不同。（1.3）和（1.6）都证明了E（p）趋向于超指数快于0，因为p→ （1.4）和（1.5）中给出了完全不同的行为。对于MES的应用，我们只有一种情况如（1.7）所示，因为其定义对σ是不变的。然而，双变量设置是有限制的；（1.7）中可能有更高维度的非零极限，见备注2.4。实际上，二维设置更容易处理，并且不需要额外的符号，但它没有显示如何在多变量设置中导出相应的结果。值得一提的是，也可以将OUR结果扩展到椭圆随机向量，但这需要更多的技术工作和类似于[8][假设4]的附加假设。此外，还可以获得文献[9]中处理的更大类类高斯随机向量的扩展，但还需要进一步的技术处理，因此这里不再讨论。

此外，我们的发现对于考虑其他风险度量的近似值具有一定的重要性，如[10]中考虑的多元预期。本文其余部分的简要概述：在下一节中，我们将重点讨论推导MME、MES和多元条件尾部期望（MCTE）近似值的多元设置。第3节包含所有证据，并附有附录。2、主要结果在本节中，我们将关注多元设置，首先导出理论1.1的扩展，然后进一步讨论一些相关的条件极限结果。鉴于其在应用中的重要性，我们还应考虑MCT E的近似值。在最后一小节中，将简要探讨三个维度的情况。在我们下面的符号中，粗体小写符号是Rd中的列向量。阿达玛积rx代表向量（rx，…，rxd），其中r∈ R、 x=（x，…，xd）∈ Rd.向量的所有其他操作都按照通常的组件定义。例如，ax是向量（ax，…，adxd）对于任何a、x∈ Rdandx公司≥ a表示xi≥ 哎，我≤ d、 高斯风险的多风险度量32.1。MME和MES的近似值。让下面的Z=（Z，…，Zd）是平均值为u的d维高斯随机向量。与双变量情况一样，我们为给定水平p定义MME∈ （0，1）byE（p）=E{（Z- Ap）+Z>V aRZ（p），Zd>V aRZd（p）}，其中Ap=Pd-1i=1aiV aRZi+1（p），其中ai是给定的常数。为Ziwe havethusE（p）的方差写入σi=σe{（X- （美联社-u）/σ）+X>V aRX（p），Xd>V aRXd（p）}=σE{（X- （d）-1Xi=1ai（σi+1up+ui+1）- u）/σ）+X>向上，Xd>up}，X=（X，…，Xd）一个中心高斯随机向量，协方差矩阵∑等于Z的相关矩阵，up=Φ-1（p）。

对于符号模拟，在本文中，随机向量是行向量，因此我们不使用转置符号。因此，在不丧失一般性的情况下，我们将确定E（c，u）=E{（X）的下一个不对称性- 铜- u）+X>cu，Xd>cdu}作为u→ ∞ 对于给定的c=（c，…，cd）, u假设∑是非奇异相关矩阵。在二维设置中，无需讨论密切相关且至关重要的二次优化问题，即可获得目标逼近。然而，在高维环境中，我们需要解决以下二次规划问题∏∑（c）：确定x的最小值Σ-1x以x为准≥ c给定c∈ Rd \\(-∞, 讨论∏∑（c）的原因是，我们的研究与u的渐近尾行为密切相关→ ∞ P{X>cu}的。鉴于[2]（见下面的引理4.2），上述渐近尾部行为仅由∏∑（c）确定。根据Appen dix中的引理4.1，我们知道▄c存在，是唯一的，并且存在一个唯一索引集i {1，…，d}带m≥ 1个元素，包括▄cI=cI，▄cIc=∑IcI（∑II）-1cI≥ cIc，~cΣ-1c=cI（∑II）-1cI>0，（2.1），其中Ic={1，…，d}\\I；顺便注意，Ic可以是emp ty。在本文中，∑ij是通过∑在i和J中分别保留具有索引的行和列而得到的矩阵，类似的符号适用于向量。用L表示下一个 {1，…，d}最大索引集th at包含I这样的th at▄cL=cL。我们有bylema4.1 thatcΣ-1c=cL（∑LL）-1cL=cI（∑II）-1cIand moreoverhi=cI（∑II）-1ei>0，我∈ 一、 式中，ei是rm中的单位向量，除第I个分量等于1外，所有分量都等于0。用lc表示ind ex set L相对于{1，…，d}的补码。为了便于说明，我们讨论了d=2的情况。

因此，将∑视为具有等于ρ的任意对角元素的相关矩阵∈ (-1，1），设c=（1，c）. 如果是c∈ （ρ，1），然后▄c=c，henceI=L={1，2}，这意味着Ic，lca为空。假设c=ρyieldsI={1}，L={1，2}，而假设c<ρ意味着￠c=（1，ρ）I=L={1}。下面写z-1对于任何z，使用I={2，…，d}代替zi∈ 接下来我们给出E（c，u）的近似值。定理2.1。设c，u为两个给定常数，设∑为中心高斯随机向量X的非奇异协方差矩阵。设I，L为∏∑（c）确定的指数集，其中c∈ RDA至少有一个正组件。i） 如果1∈ 一、 然后我们有（c，u）~cI（∑II）-1eP{X>cu+u，X-1> c类-1u}以上{X-1> c类-1u}→ 0，u→ ∞.（2.2）4 ENKELEJD HASHORVAii）如果1∈ L\\I，然后c=（∑IcI（∑II）-1cI）和FurthLimu→∞E（c，u）=E{（Y- u)+} ∈ (0, ∞),（2.3）其中Y具有生存函数G（x）=P{x>x | XI=0I}如果L=I∪ {1} 如果N*= L \\（I∪ {1} ）isnon emptyG（x）=P{x>x，XN*> 0N*|XI=0I}P{XN*> 0N*|XI=0I}，x∈ R、 （2.4）iii）如果1∈ Lc，然后作为u→ ∞E（c，u）~ u（∑IcI（∑II）-1cI）- c）→ ∞.（2.5）备注2.2。i） 高斯随机向量的尾部渐近性是众所周知的，参见下面的引理4.2。因此，（2.2）中E（c，u）的精确渐近行为可以通过近似P{X>cu+u，X来显式计算-1> c类-1u}和P{X-1> c类-1u}作为u→ ∞.ii）如附录所示，（2.2）中的E（c，u）等于o（E-εu）对于一些小ε>0。为了讨论这种d维环境中MES的近似值，我们定义（c，u）：=E{X | X-1> c类-1u}=cu+E{X-铜| X-1> c类-1u}=：cu+A（c，u），c=（c，…，cd）,其中c∈ Rd \\(-∞, 0]d。

因为我们对E{X | X的近似感兴趣-1> c类-1u}作为u→ ∞ ,这里的自然问题是，我们是否可以确定csuch，A（c，u）对于所有大的u是有界的。鉴于[4][Thm 5.1]，我们知道，对于c的特定选择，以下分布收敛（X- cu）|（X）-1> c类-1u）d→ Y、 u型→ ∞（2.6）适用于Y是高斯或某个截断的高斯随机变量。上述结果表明limu→∞A（c，u）=E{Y}可能是有效的，然后对于cimpliesS（c，u）的特定选择- 铜→ E{Y}，u→ ∞.（2.7）我们的下一个结果表明，（2.7）确实成立。定理2.3。设b=c-1至少有一个正分量，并设I，L为与∏B（B）对应的指数se ts，其中，B是X的协方差矩阵-1、假设对于si-mplicity，I={k，…，d- 1}. 然后（2.7）保持C=∑1，I（∑II）-1cI，I={k+1，…，d}。此外，对于上述c（2.6）的选择，如果L=I，则Y具有生存函数G（x）=P{x>x | XI=0}。如果N=L\\I为非空，则G由（2.4）中的N给出*= N+1。备注2.4。在二维设置中，b只有一个元素，因此I=L。因此，LimitingLandom v变量Y有N（0，1-ρ） 分布，因此E{Y}=0确认（1.7）。如果I 6=L，则通常E{Y}不等于0.2.2。MCTE的近似值。另一个有趣的风险度量是多变量条件尾部期望（这里缩写为MCTE），对于椭圆对称随机向量，它可以进行显式计算，参见【11，12】。对于给定的随机向量X=（X。

，Xd），具有可积分量，且给定c∈ Rdit由m（c，u）=E{X | X>cu}定义，对于u>0和c，至少有一个正分量。顺便注意，对于任何c，u，为了简单起见，取u=0，我们有（下文中的wher e I（·）den otes theindicator函数）e（c，u）=e{（X- cu）+I（X-1> c类-1u）}P{X-1> c类-1u}高斯风险的多风险度量S 5=E{（X- cu）I（X>cu）I（X-1> c类-1u）}P{X-1> c类-1u}=P{X>cu}P{X-1> c类-1u}E{（X- cu）I（X>cu）}P{X>cu}=P{X>cu}P{X-1> c类-1u}E{（X- cu）| X>cu）}=：r（u）[M（c，u）- cu]，其中我们假设P{X>cu}>0。根据引理4.2，在定理2.1中的假设iii）下，可以得出limu→∞r（u）=1。因此，定理2.1意味着m（c，u）~ ∑1，I（∑II）-1cIu，u→ ∞.（2.8）在假设ii）理论2.1中，由于引理4.2，我们有limu→∞r（u）=C∈ (0, ∞), 然后，Theorem2.1再次得出，对于某些C>0的情况，可以显式地用limu计算→∞[M（c，u）- cu]=C，u→ ∞.（2.9）最后，在定理2.1的假设下，i）我们有→∞u[米（c，u）- cu]=cI（∑II）-1e>0，u→ ∞.（2.10）Above逼近的直觉来自于[4][Thm5.1]中推导的条件极限定理。例如，如果1∈ I是与∏∑（c）相关的指数集，对于至少有一个正分量的一般c，我们在分布u（X）上具有收敛性- 铜）（X>cu）d→ E、 u型→ ∞,式中，E是m平均值为1/c的指数随机变量I（∑II）-1e。以下结果是新的，最小值为（2.8）。定理2.5。在定理2.1 iii）的假设下，我们得到了c=∑1，I（∑II）-1cI>c（X- cu）| X>cud→ Y、 u型→ ∞,（2.11）其中Y具有定理2.1中给出的生存函数g，其中N*= L\\I.此外，作为u→ ∞M（c，u）- 铜→ E{Y}。（2.12）备注2.6。如果L=I，则E{Y}=0，因为上面定义的具有生存函数的Y是中心高斯随机变量。2.3. 三变量情况。

为了应用我们的结果，我们需要确定与二次规划问题∏∑（c）相关的ind-ex集I和L。索引集I有m≤ 对于给定的至少有一个正分量的c，M=1是可能的。If Xis独立于X-1，那么很容易，m≥ 2和1∈ 一、 然而，对于d=2和c=cwe的情况，m=2和I=L。一般来说，m=d当且仅当所谓的野蛮条件（见[13，14]）∑-1c>0=（0，…，0）∈ Rdholds，可以很容易地检查给定的c和∑。如果Savage条件不成立，则m<D，但如果不知道∑和c，则无法知道m的确切值。下面我们详细讨论三元情况c=（1，1，1）∑是一个非奇异相关矩阵，其条目为σij，i，j≤ 3、首先注意，Savage条件等于1+2σ-σ- σ- σ> 0，σ=min（σ，σ，σ），（2.13）6 ENKELEJD Hashorva，与上述m=3等效。因此，根据OREM2.1E（c，u）中的陈述i）假设（2.13）~√1.- σ（1+σ）3/2p2πdet（∑）（c）Σ-1e）Qi=2cΣ-1eiue-u[（c+ue）Σ-1（c+ue）/2-1/（1+σ）]为u→ ∞, 其中，ei是RD1中的单位向量，在第i个坐标中为1，所有其他坐标等于0。假设下一步（2.13）不成立，即1+2σ-σ- σ- σ≤ 0和m=2，因为当c的坐标相等且为正时，在二维设置中m=1是不可能的。如果（2.14）满足等式，则L={1，2，3}。假设σ≤ min（σ，σ）表示i={1，2}，因此为1∈ I和E（c，u）的渐近性再次遵循定理2.1中的陈述I）。σ=σ的情况类似，因此我们假设σ=σ，这意味着I={2，3}和us 1 6∈ I和1∈ 五十、 假设1+σ=σ+σ。对于这种情况，由（2.3）limu→∞E（c，u）=E{（X- u）+X=0，X=0}。（2.14）最后，如果σ+σ- σ- 1>0，则I=L和1∈ 信用证。