快速均值回复随机系统中的渐近最优投资组合

由于Land Lareoperators在y中取导数，我们选择vπ（0）、（0）和vπ（0）、（1）独立于y。接下来，O（1）的集合项生成Lvπ（0）、（2）+Lvπ（0）、（0）=0，其可解性条件要求dlvπ（0）、（0）E=0。这导致vπ（0），（0）的偏微分方程：vπ（0），（0）t+λ（R）vπ（0），（0）xx+λRvπ（0），（0）x=0，vπ（0），（0）（t，x）=U（x），具有唯一解（c.f.命题2.2）。由于v（0）也解这个方程，我们推导出vπ（0），（0）（t，x）≡ v（0）（t，x）=M（t，x；λ），vπ（0），（2）允许解vπ（0），（2）（t，x，y）=-θ（y）Dv（0）+C（t，x），其中θ（y）由Lθ（y）=λ（y）给出-λ和Dkin（8）。然后，收集订单条款√产生Lvπ（0），（1）+Lvπ（0），（2）+Lvπ（0），（3）=0，可解性条件为：Lvπ（0），（1）+Lvπ（0），（2）E=0。这给出了一个由vπ（0），（1）满足的方程：vπ（0），（1）t+λ（R）vπ（0），（1）xx+λRvπ（0），（1）x-ρBDv（0）=0，vπ（0），（1）（T，x）=0，这正是方程（13）。该方程由v（1）唯一求解（见（14））。因此，我们得到vπ（0），（1）≡ 五（1）=-（T- t） ρBDv（0）。利用vπ（0），（1）和vπ（0），（2）的解，我们刚刚确定，1 d得出vπ（0），（3）的表达式：vπ（0），（3）=（T- t） θ（y）ρBD+DDv（0）+ρθ（y）Dv（0）+C（t，x），其中θ（y）是泊松方程的解：Lθ（y）=a（y）λ（y）θ′（y）- haλθ′i.B.一阶精度：定理3.1的证明本节完成了定理m 3.1的证明，它表明剩余函数E（t，x，y）为或。为此，我们定义了辅助剩余函数ee（t，x，y）byeE=Vπ（0），- （v（0）+1/2v（1）+vπ（0），（2）+3/2vπ（0），（3）），其中我们选择C（t，x）=C（t，x）≡ 在vπ（0）、（2）和vπ（0）、（3）的表达式中为0。然后，它就剩下来了~ .根据第III-A节中的推导，辅助剩余函数e可求解L+√L+LeE+（Lvπ（0），（3）+Lvπ（0），（2））+3/2Lvπ（0），（3）=0，带终端条件eE（T，x，y）=-vπ（0），（2）（T，x，y）-3/2vπ（0），（3）（T，x，y）。

请注意，L+√L+li在过程的小型生成器内Xπ（0）t，Yt, 其中一个应用费曼-卡克公式并推导：eE（t，x，y）=E（t，x，y）ZTtLvπ（0），（3）（s，Xπ（0）s，Ys）ds+ E（t，x，y）ZTtLvπ（0），（2）（s，Xπ（0）s，Ys）ds+ 3/2E（t，x，y）ZTtLvπ（0），（3）（s，Xπ（0）s，Ys）ds- E（t，x，y）hvπ（0），（2）（t，xπ（0）t，YT）i- 3/2E（t，x，y）hvπ（0），（3）（t，xπ（0）t，YT）i.（18）第一个预期来自源项，而最后两个预期来自终端条件。我们将证明上述每个期望都是一致有界的。我们的想法是将它们与引导顺序项v（0）和风险容忍函数R（t，x；λ）联系起来，在第二节中已经建立了一些精确的性质和估计。对于源项，简单但繁琐的计算给出：Lvπ（0），（2）=-θ（y）λ（y）-λDv（0），Lvπ（0），（3）=ρa（y）λ（y）θ′（y）Dv（0）+（T- t） ρBa（y）λ（y）θ′（y）DD+DDv（0），Lvπ（0），（3）=ρθ（y）λ（y）-λDv（0）+θ（y）ρB-D+DDv（0）+（T- t）λ（y）-λDv（0）+θ（y）ρB（T- t） ×λ（y）-λDDv（0）- λ（y）RRxx（D+D）Dv（0）,式中，在计算Lvπ（0），（3）时，我们使用运算符之间的换向器，并且L：[L，D]w=LDw-DLw=-λ（y）RRxx（Rwxx+wx）。在终端时间t=t时，它们变成vπ（0），（2）（t，x，y）=-θ（y）Dv（0）（T，x）和vπ（0），（3）（T，x，y）=ρθ（y）BDv（0）（T，x）。请注意，数量RRxx（t，x；λ）以常数K为界。这是对（t，x；λ）的证明∈ [0，T）×R+×R比例2.7，并由假设2.3（iii）fort=T保证，因为定义R（T，x；λ）=R（x）。

因此，与（18）中的源项相关的期望值是以下形式的项的总和：e（t，x，y）“ZTth（Ys）Dv（0）（s，xπ（0）s）ds#，，（19）其中h（y）在最大程度上是经济增长的，而Dv（0）是以下其中之一：Dv（0），Dv（0），DDDv（0），DDv（0），DDv（0），DDv（0）。应用Cauchy-Schwartz不等式，它变为1/2（t，y）hRTth（Ys）dsiE1/2（t，x，y（）RTt公司Dv（0）（s，Xπ（0）s）ds公司.第一部分统一定义为，因为YtamitsBounded力矩在任何阶次（参见假设2.4（ii））。第二部分也是统一的。证明包括重复使用v（0）的凹性以及命题2.7和引理2.5中的结果。为了简单起见，我们将只在Dv（0）=Dv（0）时详细说明证明，而忽略其余部分。自从Dv（0）=RRxv（0）x- Rv（0）x≤ （K+1）Rv（0）x≤（K+1）Kxv（0）x≤ K（K+1）v（0），我们包括（t，x，y）ZTt公司Dv（0）（s，Xπ（0）s，Ys）ds公司≤ K（K+1）E（t，x，y）ZTt公司v（0）（s，Xπ（0）s）ds公司由引理2一致地约束在中。直截了当但繁琐的计算表明，（19）中的其余项也由Rv（0）的倍数来确定，然后由关系R（t，x；λ）确定有界性≤ Kx，v（0）的凹性，引理2.5。使用假设2.3（15）和U（x）的凹度，类似地处理（18）中的最后两个实验。因此，我们已经证明eE（t，x，y）≤eC。通过不等式| E（t，x，y）|≤eC+vπ（0），（2）（t，x，y）+3/2vπ（0），（3）（t，x，y）≤C，我们可以获得期望的结果。四、 π（0）的渐近最优性我们现在表明，在（6）中定义的策略π（0）渐近优于每个族Aeπ，eπ，α如第一节主要定理1.1所述。对于（eπ，eπ）和正α的固定选择，重新定义aeπ，eπ，α在（5）中。与A一起工作的动机如下。问题（3）的最优控制（其存在由[14]保证）显然取决于。

不知道π*将在归零时收敛。但是如果有一个极限，比如eπ，那么很自然地将eπ+αeπ形式的控制族视为极限eπ的扰动。我们认为子集A与完整的A相比并不是那么小，因为我们只限制α>0，这允许对中的任何阶进行校正。假设4.1：对于三重态（eπ，eπ，α），我们需要：（i）整个策略家族{eπ+αeπ}≤1.∈ A；（ii）Let（eXt，xs）t≤s≤t解为：deXs=Du（·）eπ（s，eXs，·）Eds+rDσ（·）eπ（s，eXs，·）EdWs，从时间t的x开始。由（i），eXt，xs≥ 我们进一步假设它对任何t<s都有完全的支持R+≤ T备注4.2：第（二）部分的动机如下。考虑dbXs=huπ（0）ids+hσπ（0）idWs。注意到u（·）π（0）（t，x，·）=λR（t，x；λ），qσ（·）π（0）（t，x，·）=λR（t，x；λ），则bxs可解释为经典Merton问题m的最优财富过程，平均值为harpe-R比λ。根据[12，命题7]，一个hasbXt，xs=HH-1（x，t，λ）+λ（s- t） +λ（Ws- Wt），s，λ, 式中：R×[0，T]×R→ R+求解热方程ht+λHxx=0，且在x中为全范围。因此，bXt，xs完全支持R+，因此，自然需要text，xs完全支持R+。表示与交易策略π相关的价值函数：=eπ+αeπ∈ Aeπ，eπ，α:eV（t，x，y）=E[U（xπt）| xπt=x，Yt=y]，（20）其中xπ是遵循策略π的财富过程∈A和Ytis快速均值回复具有相同的。将V与（16）中定义的Vπ（0）进行比较，arigoro使用一阶近似值V（0）+√v（1）已在定理3.1中建立。在找到EV的展开式后，在到O之间进行渐近比较(√).值函数ev的近似值s。

用状态过程的微元发生器内的L表示（Xπt，Yt）：L：=L+σ（y）eπ+αeπxx号+eπ+αeπu（y）x个+√ρa（y）σ（y）eπ+αeπxy，由鞅性质确定的n，在（20）满意度中定义的值函数vteV+LeV=0，eV（T，x，y）=U（x）。（21）考虑到运算器L中的一阶为α，我们提出了如下展开式：eV=eV（0）+αev1α+αev2α+αevnα+√ev（1）+···，其中n是最大整数，使得nα<1/2，对于α>1/2的情况，n只是z-ero。在推导过程中，我们的目标是确定零阶项ev（0）和第一个非零项，直到0(√). 显然，ev（0）之后的术语将取决于α的值。为了进一步简化符号，我们分解t+表示不同的幂，如下所示：t+L=L+√eL+eL+αeL+2αeL+α-1/2eL，其中运算符定义为：eL=eπρa（y）σ（y）xy，eL=t+σ（y）eπxx+eπu（y）x、 eL=σ（y）eπeπxx+eπu（y）x、 eL=σ（y）eπxxandeL=eπρa（y）σ（y）xy。在所有病例中，我们首先收集（21）中O（β）与β的术语∈ [-1, 0). 注意到LandeL（α<1/2）在y中取导数，我们可以选择V到O（β′）的近似值与y无关，因为β′<1。在下面的推导中，这种选择是针对每种情况进行的，因此，我们将不再提及这一点，而是通过收集O（1）的项来开始论证。根据一个π是否与π（0）相同，可以得到不同的近似阶。1） 案例eπ≡ π（0）：我们首先分析c酶eπ≡ π（0），其中andelconcide与Land L，andeLv（0）=0。O（1）的项形成了一个泊松方程f，即ev（2）Lev（2）+Lev（0）=0，ev（0）（T，x）=U（x）。对于不同的α值，可能会有最终为零的额外项，因此a re不包括在ab ove方程中：Lev（1）（所有情况），eLev（0）当α=1/2，levkα当（k+1）α=1/2。

根据可解性条件，ev（0）解（9），它具有唯一解v（0）。因此，我们推导出ev（0）≡ v（0）和ev（2）≡ vπ（0），（2）。（i） α=1/2。我们收集了O（1/2）的n项：Lev（3）+Lev（1）+Lev（2）+eLev（0）+eLev（1）=0。这是ev（3）的泊松方程，可解性条件给出：ev（1）满足（14）。这里我们使用了eLv（0）=eLv（0）=0，ev（2）=vπ（0），（2）和eLv（1）=0。这个方程是唯一解的，一个推导出ev（1）=v（1），和d ev（3）≡ vπ（0），（3）。（ii）α>1/2。收款条件O(√）得出了ev（3）的泊松方程，Lev（3）+Lev（1）+Lev（2）+eLev（0）=0，其中，术语Lev（0）仅在α=1时存在（但无论如何，Lev（1）和Lev（0）随y的依赖性而消失）。与α=1/2的情况类似的参数给出了ev（1）=v（1），ev（3）=vπ（0），（3）。（iii）α<1/2。下一个顺序是α，Levα+1+Lev1α+eLev（0）+Levα+1/2+eLev（1）=0。最后三项再次消失，直到ev（0）=eLv（0）=0，evα+1/2和ev（1）的独立性y。然后使用可解性条件，ev1α解t，x（λ）ev1α（t，x；λ）=0，ev1α（t，x）=0，这仅是平凡解ev1α≡ 因此，我们需要确定下一个非零项。1/4 < α < 1/21/4 < α < 1/21/4 < α < 1/2. 下一个订单是√，这使得Lev（3）+Lev（1）+Lev（2）=0。在使用可解性条件后，它与（14）重合，并且我们推导了ev（1）≡ v（1）和ev（3）≡ vπ（0），（3）。α = 1/4α = 1/4α = 1/4. 下一个订单是√则ev（3）的泊松方程变为Lev（3）+Lev（1）+Lev（2）+eLev（0）=0。可解性条件readsLt，x（λ）ev（1）-ρBDv（0）-λDv（0）=0。将该方程与（14）进行比较，并利用v（0）的凹度，可以推断出ev（1）≤ 五（1）。α < 1/4α < 1/4α < 1/4. 下一阶是2α，因为2α<1/2，而Lev2α+1+Lev2α+Lev2α+1/2+eLev1α+eLev（0）+eLevα+1/2=0，ev2α（T，x）=0。自ev1α以来的第三、四、六项清漆≡ 0，ev2α+1/2和evα+1/2与y无关。

一个有ev2αt+λRev2αxx+λRev2αx+Dσ（·）eπ（t，x，·）根据可解性条件，Ev（0）xx=0。假设eπ不等于零，我们将eπ6归为ev2α<0.2）情形≡ π（0）：在这种情况下，在收集O（1）的项并使用可解性条件后，对于ev（0）有以下PDE:ev（0）t+σ（·）eπ（t，x，·）ev（0）xx+eπ（t，x，·）u（·）ev（0）x=0。为了将ev（0）与v（0）进行比较，我们可以在相同的模式中写入（1）：v（0）t+σ（·）eπ（t，x，·）v（0）xx+eπ（t，x，·）u（·）v（0）x-Dσ（·）eπ- π(0)（t，x，·）Ev（0）xx=0，通过关系式-σ（y）（eπ- π(0))π(0)v（0）xx=（eπ- π（0））u（y）v（0）x。再次通过v（0）和Feynman–Kacformu la的严格凹度，我们得到了ev（0）<v（0）。为了充分证明上述扩展的合理性，需要类似于【6，附录C】的其他假设。策略A[eπ，eπ，α]上的技术统一（in）可积条件。为了简单起见，我们省略了此处的条件，并参考【6，附录C】了解更多详细信息。现在，我们将上述推导总结如下。命题4.3：准确度结果总结：表I V的P近似值的准确度。α近似精度α的事例值≥ 1/2 v（0）+√v（1）O（）eπ≡ π（0）1/4<α<1/2 O（2α）α=1/4 v（0）+√ev（1）O（3/4）α<1/4 v（0）+2αev2αO（3α∧（1/2））eπ6≡ π（0）所有ev（0）O（α∧（1/2）），其中精度列给出了nev与其近似值之间的d差的顺序。此外，当eπ≡π（0），我们有关系ev（1）≤ 如果α=1/4，则v（1），如果α<1/4，则v 2α<0；而如果eπ6≡ π（0），然后ev（0）<v（0）。渐近最优性：定理1.1的证明。我们现在通过比较Firstorder近似v（0）给出定理1.1的证明+√vπ（0）中的v（1），在OREM 3.1中获得，并且v中的一个总结在表中。一、 在v的近似值为v（0）的情况下+√v（1），很容易验证极限为zer o。

当v的近似值为v（0）时+√ev（1），极限itl 是非积极的，但根据ev（1）的事实，保持不变≤ 五（1）。如果eπ≡ π（0）和α<1/4，极限l 计算为l = lim→02αev2α-√v（1）+O（3α∧1/2)/√ = -∞, 由于ev2α<0。类似的论证也适用于eπ6的情况≡ π（0）和lea dtol = -∞. 这样我们就完成了证明。事实上，这个极限可以通过以下四种情况来理解：（i）eπ≡ π（0）和l = 0:eV=Vπ（0），+o(√);（ii）eπ≡ π（0）和-∞ < l < 0:eV=Vπ（0），+O(√）带O(√) < 0;（iii）eπ≡ π（0）和l = -∞:eV=Vπ（0），+O（2α），O（2α）<0，2α<1/2；（四）eπ6≡ π（0）：lim→0eV（t，x，z）<lim→0Vπ（0），（t，x，z）。参考文献【1】M.K.Brunnermeier和S.Nagel。财富波动是否会产生不同的风险厌恶？个人资产配置的微观证据。《美国经济评论》，98（3）：713–7362008。[2] 查科和维切拉。不完全市场中随机波动的动态消费和投资组合选择。《金融研究评论》，18（4）：1369–14022005。[3] D.Cuoco和J.Cvitani\'c.“大型”投资者的最佳消费选择。J、 《经济动力与控制》，22（3）：401–4361998。[4] J.Cvitani\'c和I.Karatzas。“提取”约束下的投资组合优化。《国际数学协会数学及其应用卷》，65:35–351995年。[5] R.Elie和N.Touzi。缩减约束下的最优寿命消耗和投资。财务Stoch。，12:299–330, 2008.[6] J.-P.Fouke和R.Hu。慢变随机环境下港口组合优化的非对称最优策略。SIAM Journalon Control and Optimization，5（3），2017年。[7] J.-P.Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。股票、利率和信贷衍生品的多尺度波动性。剑桥大学出版社，2011年。[8] J.-P.Fouke、R.Sircar和T.Zariphopoulou。

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