快速均值回复随机系统中的渐近最优投资组合

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英文标题：
《Asymptotic Optimal Portfolio in Fast Mean-reverting Stochastic
  Environments》
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作者：
Ruimeng Hu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper studies the portfolio optimization problem when the investor\'s utility is general and the return and volatility of the risky asset are fast mean-reverting, which are important to capture the fast-time scale in the modeling of stock price volatility. Motivated by the heuristic derivation in [J.-P. Fouque, R. Sircar and T. Zariphopoulou, \\emph{Mathematical Finance}, 2016], we propose a zeroth order strategy, and show its asymptotic optimality within a specific (smaller) family of admissible strategies under proper assumptions. This optimality result is achieved by establishing a first order approximation of the problem value associated to this proposed strategy using singular perturbation method, and estimating the risk-tolerance functions. The results are natural extensions of our previous work on portfolio optimization in a slowly varying stochastic environment [J.-P. Fouque and R. Hu, \\emph{SIAM Journal on Control and Optimization}, 2017], and together they form a whole picture of analyzing portfolio optimization in both fast and slow environments.
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中文摘要：
本文研究了当投资者效用一般且风险资产的收益率和波动率均为快速均值回复时的投资组合优化问题，这对于获取股票价格波动建模中的快速时间尺度非常重要。受[J.-P.Fouke，R.Sircar和T.Zariphopoulou，\\emph{数学金融}，2016]中启发式推导的启发，我们提出了一个零阶策略，并在适当的假设下证明了其在特定（较小）容许策略族中的渐近最优性。通过使用奇异摄动法建立与该策略相关的问题值的一阶近似值，并估计风险容限函数，可获得该优化结果。这些结果是我们之前在缓慢变化的随机环境中的投资组合优化工作的自然延伸【J.-P.Fouque和R.Hu，emph{SIAM Journal on Control and optimization}，2017年】，它们共同构成了在快速和慢速环境中分析投资组合优化的全貌。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Asymptotic_Optimal_Portfolio_in_Fast_Mean-reverting_Stochastic_Environments.pdf (215.59 KB)

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关键词：均值回复 随机系统 投资组合 Optimization Mathematical

快速均值回复随机环境下的渐近最优投资组合瑞蒙华摘要——本文研究了当投资者效用一般且风险资产的收益率和波动率均为快速均值回复时的投资组合优化问题，这对于在股票价格波动建模中捕捉快速时间尺度非常重要。受【J.-P.Fouke、R.Sircar和T.Zariphopoulou，MathematicalFinance，2016】中的heu-rist ic推导的启发，我们提出了一种零阶策略，并在适当的假设下展示了其在特定（较小）容许策略家族中的渐近最优性。通过使用奇异摄动法建立与该拟议策略相关的问题值的一阶近似值，并估计风险容限函数，可以实现此优化结果。这些结果是我们之前在缓慢变化的随机环境中进行投资组合优化工作的自然延伸【J.-P.Fouque和R.Hu，暹罗控制与优化杂志，2017年】，它们共同构成了一幅分析快速和慢速环境中投资组合优化的完整图景。指数项-随机最优控制，资产配置，随机波动率，奇异摄动，渐近最优性。一、 简介【17】、【18】首次研究了连续时间内的组合优化问题，也称为默顿问题。在他的原著中，当风险资产遵循Black-Scholes（BS）模型且效用为恒定相对风险厌恶（CRRA）类型时，提供了关于如何在风险资产和无风险资产之间分配资金和/或如何消费财富的合法解决方案，以使投资者预期的效用最大化。

自这些开创性工作以来，已经进行了大量研究来放松原始模型假设，例如，允许交易成本[16]、[10]、提款限制[9]、[4]、[5]、价格影响[3]和随机波动性[20]、[2]、[8]和[15]。我们的工作扩展了默顿的模型，允许更一般的效用，并通过快速均值回归过程对风险资产的收益率和波动率进行建模：dSt=u（Yt）Stdt+σ（Yt）StdWt，（1）dYt=b（Yt）dt+√a（Yt）dWYt。（2） 两个标准布朗运动（Bm）是不完全相关的：dW、 怀俄明州= ρdt，ρ∈ (-1, 1). 我们对终端效用最大化问题v（t，x，y）感兴趣≡ supπ∈AE[U（XπT）| XπT=X，Yt=y]，（3）胡瑞萌（Ruimeng Hu）就职于美国纽约哥伦比亚大学统计系，邮编：NY 10027rh2937@columbida.edu.这项工作主要是在RH还是加州大学圣巴巴拉分校的研究生时完成的，并得到了国家科学基金会DMS-1409434的部分支持。其中，Xπ是与自我融资相关的财富π：dXπt=π（t，Xπt，Yt）u（Yt）dt+π（t，Xπt，Yt）σ（Yt）dWt，（4）（假设无风险利率为r=0），A是Xπt保持非负的一组策略。利用奇异摄动技术，我们的工作在满足某些假设的可容许策略a的特定类别内提供了一个渐近最优策略π（0）：aeπ，eπ，α=eπ+αeπ0≤≤1.（5）动机和相关文献。研究提出的公共关系问题的原因有三个。首先，在资产建模（1）-（2）的方向上，著名的隐含波动率模型（implicatevolatilitysmile/smirkphenomenon）引导我们采用类似BS的纯洁波动率模型。实证研究已经确定了股票价格波动的尺度：以天为单位的快速时间尺度和以月为单位的缓慢时间尺度【7】。这导致在（2）中加入参数。

在我们之前的工作中，我们已经研究了在长期rm投资中特别重要的慢尺度（对应于大的in（2））[6]。利用正则摄动技术，提出了一种渐近最优性策略。这使得我们很自然地将研究扩展到快速变化的区域，其中需要使用奇异摄动技术。其次，在效用建模的方向上，显然每个人的效用都属于CRRA类型[1]，因此考虑使用更一般的效用函数是很重要的。第三，尽管考虑风险资产的多尺度因子模型是很自然的，在[8]中有慢因子和快因子，在将它们结合起来时，需要更多涉及的技术计算和证明，因此，我们将其留给另一篇正在准备的论文。我们提出的策略π（0）是基于[8]中的启发式推导，其中对V所满足的偏微分方程进行正弦摄动。这给出了形式近似值v=v（0）+√v（1）+v（2）+···。然后他们推测零阶r策略π（0）（t，x，y）=-λ（y）σ（y）v（0）x（t，x，y）v（0）xx（t，x，y），λ（y）=u（y）σ（y）（6）将最佳值u p复制到一阶v（0）+√v（1），其中v（0）和v（1）由（1）和（13）给出。主要定理。设Vπ（0），（分别为eV）为与π（0）（分别为π）相关的终端财富的经验∈ A）：Vπ（0），：=E[U（Xπ（0）t）| Xπ（0）t=X，Yt=y]，Xπ（0）t由（4）给出的财富过程，其中π=π（0）（分别是A中的π）。通过比较Vπ（0）、和V，我们认为π（0）在阶上的渐近性能更好√than家庭eπ+αeπ.

从数学上讲，这可以公式化为：定理1.1：在第二节和第四节详述的假设下，对于任何一系列交易策略Aeπ，eπ，α={eπ+αeπ}0≤≤1、存在并满足以下限制l := lim→0eV（t，x，y）- Vπ（0），（t，x，y））/√ ≤ 第四节将给出证明，并根据不同的α解释该不等式。我们的主要定理给出了如何构造最优π展开式的一些见解，然而，这仍然是一个悬而未决的问题。我们注意到，在一项相关的工作【19】中，π的展开结果*存在于不明确的时间过滤设置下。论文的其余部分组织如下。第二节介绍了默顿问题的一些预备知识和本文的假设。第三节给出了Vπ（0），的一阶近似值V（0）+√v（1）。第四节致力于定理1.1的证明。首先分析了V的扩展，并进行了精确推导，其中详细的技术假设参考了我们最近的工作[6]。二、预备知识和假设在本节中，我们首先回顾了经典的默顿问题，以及风险容忍函数R（t，x；λ）的表示法。然后总结了文献[8]中V的膨胀结果。列出了本文的假设，以及关于g R（t，x；λ）和v（0）的一些估计。我们参考我们最近的工作【6，第2，3节】来证明所有这些结果。我们首先考虑（1）中常数u和dσ的情况。这就是经典的默顿问题，它在积分前导项v（0）和分析单扰动中起着关键作用。例如，在[13]中，对这个问题进行了深入的研究。在这种情况下，让XT成为财富过程。使用[8]中的符号，我们用问题值M（t，x；λ）表示。

在默顿的原始工作中，当效用U（·）为等幂型时，得到了闭合形式M（t，x；λ）。一般来说，根据[6，第2.1节]或其中的参考文献给出的证明，得出以下结果。命题2.1：假设效用函数U（x）是C（0，∞), 严格递增，严格凹进，使得U（0+）是有限的，并满足INDA和Asy mptoticElasticity条件：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1，那么，默顿值函数M（t，x；λ）在财富变量x中严格递增，严格凹，在时间变量t中递减。它是1,2（[0，t]×R+）并且是哈密顿·查科比·贝尔曼（HJB）方程的唯一解，其中M（t，x；λ）=U（x），Mt+supπσπMxx+uπMx= 0，（7），其中λ=uσ是夏普比。它是Cw。r、 tλ，最优策略由π给出（t，x；λ）=-λσMx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。我们接下来定义风险容忍度函数R（t，x；λ）=-Mx（t，x；λ）Mxx（t，x，；λ），以及[8]中符号后面的运算符，Dk=R（t，x；λ）kkx，Lt，x（λ）=t+λD+λD.（8）通过M（t，x；λ）的凹度，R（t，x；λ）是连续且严格正的。使用选项DM=-DM，非线性默顿偏微分方程（7）可以“线性”方式重新编写：Lt，x（λ）M（t，x；λ）=0。我们现在提到该偏微分方程的唯一性结果，该结果将在第II I节中重复使用。命题2.2：设Lt，x（λ）为（8）中定义的算子，并假设效用函数U（x）满足命题2.1中的条件，th enLt，x（λ）U（t，x；λ）=0，U（t，x；λ）=U（x），（9）具有唯一的非负解。接下来，我们回顾了文[8]中导出的V的形式展开结果。为了应用奇异摄动技术，我们假设过程Y（1）tD=Yt是遍历的，并且具有唯一的不变分布Φ。我们使用符号h·i来平均w.r.t.Φ，即hfi=Rf dΦ。

设L为Y（1）的最小生成元：L=a（Y）y+b（y）y、 然后，根据动态规划原理，值函数V在粘度意义上求解HJB方程：Vt+VLV+ma xπ∈Aσ（y）πVxx/2+πu（y）Vx+ρa（y）σ（y）Vxy/√= 0。（10），其规律性不明确。在[8]中，为了进行启发式推导，假设了一个唯一的经典解。此外，（10）中的优化器定义得很好：π*=-λ（y）Vxσ（y）Vxx-ρa（y）Vxy√σ（y）Vxx，简化的HJB方程为：Vt+VLV-λ（y）Vx+√ρa（y）Vxy/（2Vxx）=0，对于（t，x，y）∈ [0，T]×R+×R。我们认为，为了得到我们的定理（1.1），不需要光滑条件，因为我们关注的是（16）中定义的量Vπ（0）。它对应于线性偏微分方程，因为经典解存在。方程（10）是完全非线性的ar，在某些情况下只能显式求解；例如，参见[2]。启发式展开通过提供V的近似值来实现。这是通过所谓的奇异摄动方法实现的，这在均匀化理论中经常可以看到。具体来说，用一个代替展开式V=V（0）+√v（1）+v（2）+····································。在【8，第2节】中，这是针对k=0，1进行的，我们将其结果列示如下：（i）前导项v（0）（t，x）定义为与平均夏普比λ=phλi:v（0）t相关的默顿偏微分方程的解-λv（0）xv（0）xx=0，v（0）（T，x）=U（x），（11），根据命题2.1，v（0）被确定为：v（0）（T，x）=Mt、 x；λ. （12） （ii）一阶校正v（1）被确定为线性偏微分方程的解：v（1）t+λ（v（0）xv（0）xx）v（1）xx-λv（0）xv（0）xxv（1）x=ρBDv（0），（13），v（1）（T，x）=0。常数t B=hλaθ′i，θ（y）解Lθ（y）=λ（y）-λ.

根据（8）中的运算符重写方程（13），v（1）解出以下允许唯一解的偏微分方程：Lt，x（λ）v（1）=ρBDv（0），v（1）（T，x）=0。（14） （iii）v（1）由v（1）（t，x）以v（0）的形式明确给出=-（T- t） ρBDv（0）（t，x）。现在我们介绍关于效用U（·）和状态过程（St，Xπ（0）t，Yt）的假设，并参考[6，第2节]进行进一步的讨论和评论。假设2.3：在本文中，我们对效用U（x）作出以下假设：（i）U（x）是C（0，∞), 严格递增、严格凹陷并满足以下条件：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1。（ii）U（0+）是有限的。在不丧失一般性的情况下，U（0+）=0。（iii）用R（x）表示风险承受能力，R（x）：=-U′（x）U′（x）。假设R（0）=0，R（x）严格增加andR′（x）<∞ 在[0，∞), 存在K∈ R+，例如x≥ 0和2≤ 我≤ 5.ixRi（x）≤ K、 （15）（iv）将边际效用U′（x）的反函数定义为I:R+→ R+，I（y）=U′(-1） （y），对于某些正α，I（y）满足多项式增长条件：I（y）≤ α+κy-α.假设2.3（ii）是一个充分条件，排除了U（x）=xγγ、γ<0、a和U（x）=log（x）的情况。然而，本文中的所有定理仍然成立，因为它是为了确保术语（18）是形式（19）的re，这对于上述情况是自动满足的。接下来是模型假设。假设2.4：我们对状态过程（St，Xπ（0）t，Yt）做出以下假设：（i）对于任何起点（s，y）和固定值，SDEs系统（1）–（2）有唯一的强解（St，Yt）。函数λ（y）和a（y）具有多项式增长。（ii）过程Y（1）具有唯一不变分布的最小生成元，并且在t≤ T：支持≤TEY（1）tk≤ C（T，k）。

假设泊松方程Lφ=g的解φ（y）是多项式函数g的多项式。（iii）财富过程Xπ（0）·在L（[0，T]×中Ohm) uniformlyin，即e（0，x，y）RT公司Xπ（0）sds公司≤ C（T，x，y），其中C（T，x，y）独立于和E（0，x，y）[·]=E[································。这里，我们提供了风险容忍函数R（t，x；λ）和零阶值函数v（0）的几种估计，这对定理3.1的证明至关重要。根据命题2.1和d，关系式（12），v（0）在财富变量x中凹进，在时间变量t中递减，因此有一个线性上界，对于（t，x）∈ [0，T]×R+：v（0）（T，x）≤ v（0）（0，x）≤ 对于某些常数c，结合假设2.4（iii），我们推导出：引理2.5：在假设2下。3和d 2.4，过程v（0）（·，Xπ（0）·）在L（[0，T]×中）Ohm) 均匀分布在中，即。（t，x）∈ [0，T]×R+：E（T，x）RTt公司v（0）（s，Xπ（0）s）ds公司≤C（T，x），where v（0）（T，x）满足方程（11）。命题2.6：假设风险容忍度R（x）=-对于[0]中的所有x，U′（x）U′（x）严格递增，∞) （这是假设2.3（iii）），那么，对于每个t∈ [0，T），R（T，x；λ）在财富变量x中严格增加。命题2.7：在假设2.3下，对公差函数R（T，x；λ）的风险满足：0≤ j≤ 4.Kj>0，因此（t，x）∈ [0，T）×R+，Rj（t，x；λ）j+1xR（t，x；λ）≤ 千焦。或同等地，1.≤ j≤ 5，re-existseKj>0，这样jxRj（t，x；λ）≤eKj。此外，一个有R（t，x；λ）≤ Kx。三、 给定策略的投资组合绩效回顾（6）中定义的策略π（0），并假设π（0）是可接受的。在本节中，我们有兴趣研究其性能。

也就是说，为了给出与π（0）相关的价值函数的近似结果，用Vπ（0）表示，：Vπ（0），（t，x，y）=EnU（xπ（0）t）| xπ（0）t=x，Yt=yo，（16）其中U（·）是满足假设2.3的一般效用函数，xπ（0）是与策略π（0）相关的财富过程，Ytis快速因子。本节的主要结果如下，第III-B节定理3.1的证明被延迟：在假设2.3和2.4下，由E（t，x，y）定义的剩余函数E（t，x，y）：=Vπ（0），（t，x，y）-v（0）（t，x）-√v（1）（t，x），为阶。换句话说，（t，x，y）∈ [0，T]×R+×R，E（T，x，y）≤ C，对于某些常数C，取决于（t，x，y），但不取决于。推论3.2：在功率效用U（x）=xγγ的情况下，π（0）在A（t，x，y）上是渐近最优的√.证明：这是通过比较[8，推论6.8]中给出的V和上述定理中Vπ（0）的展开式得到的。因为两个量都有近似值v（0）+√v（1）按订单√，我们得到了预期的结果。A、 Vπ（0）的形式展开式，在下面的推导中，为了浓缩符号，我们使用R表示R（t，x；λ），π（0）表示π（0）（t，x，y），如（6）所示。利用鞅性质，Vπ（0），求解线性参数：Vπ（0），t+π（0）u（y）Vπ（0），x+π（0）√ρa（y）σ（y）Vπ（0），xy+LVπ（0），+σ（y）π(0)Vπ（0），xx=0。定义两个操作符Land Lby L=ρa（y）σ（y）π（0）xy=ρa（y）λ（y）R（t，x；λ）xy，L=t+σ（y）π(0)x+u（y）π（0）x=t+λ（y）D+λ（y）D，则该线性PDE可重写为：L+L/√+L/Vπ（0），=0。（17） 我们同意Vπ（0）的展开式，形式为Vπ（0），形式为Vπ=Vπ（0），（0）+√vπ（0），（1）+vπ（0），（2）+···，其中vπ（0），（0）（T，x，y）=U（x），vπ（0），（k）（T，x，y）=0，fork≥ 1、将上述Vπ（0）、的展开式插入（17），并收集O（）和O的项(√给出：Lvπ（0），（0）=0，Lvπ（0），（1）+Lvπ（0），（0）=0。