比特币市场极端价格波动的标度特性

表2显示，尽管与时间成分相关的系数β对左（负）尾和右（正）尾均为正，但相应的t检验不能拒绝无效假设H：β=0。因此，即使观察到正漂移，这意味着估计的标度指数随着时间的推移而增加，但数据并没有提供足够的证据来支持时间起着重要作用的假设。然而，随着比特币生态系统的发展和新数据的到来，我们有可能在未来和一段时间内看到这种行为的变化。最后，我们报告，基于生成的合成数据集的幂律假设检验证实了30个测试中的28个测试（两个尾部×15个周期）的无效假设（尾部数据遵循幂律），具有95%的置信度，但当使用Bonferroni校正进行多个测试时，30个无效假设中没有一个被拒绝。正尾负尾βββ估计值2.442 0.034 2.471 0.031p值3.12·10-70.215 1.65 · 10-60.331表2：估计标度指数的回归结果t=随时间变化的5分钟数据，包括系数估计值和与双尾t检验相关的p值（95%置信度下的系数以粗体显示）。此外，我们还测试了市场流动性是否会影响估计的标度指数。与之前一样，我们使用T=15个不重叠的连续半年期，但现在我们使用t=5分钟数据。对于交易所和半年期的每个组合，我们使用Hill估计器估计缩放指数，并以美元计算平均交易量。

请注意，并非所有交易所都有所有考虑期内的数据，因此我们总共有45个数据点，我们可以获得估计的标度指数与交易量之间的相关性：正尾为0.22，负尾为0.19。虽然两者都是正的，这意味着更大的市场流动性与更大的幂律指数（即更细的尾部）相关，但基于t检验的相应p值分别为0.13和0.19，表明数据证据不足以推翻无效假设。因此，即使影响存在，在所考虑的交易中似乎也不是关键或决定性的，随着新数据的到来，可以留给进一步的分析。基于这些结果，我们选择不对这些相当复杂的模式进行进一步建模，并遵循Occam剃刀的原理，在下文中，我们考虑了所有交易所以及整个2010-2018年期间的数据。首先，我们分析了从短时间尺度的不同变化中观察到的（标准化）比特币收益的经验分布：t=1分钟、5分钟和10分钟。对于这些非常短的时间间隔，我们可以获得最大数量的数据，从而分别分析来自每个交换的数据。图2显示了所考虑交易所的标准化收益的正尾部互补累积分布和负尾部累积分布。图2所示的分布在不同的交易所之间略有不同，但它们的尾部似乎以类似的方式衰减，明显比高斯分布的尾部慢得多。

这表明，尽管这些交易所的价格动态存在差异（这是意料之中的，因为不同交易所的数据对应于过去的不同时期），但尾部行为似乎是一个普遍现象。我们将对数-对数回归函数和Hill估计值应用于比特币收益率的高频时间间隔10-210-1100101102103标准化收益率（绝对值）10-610-410-2100累积分布BitfinexBitstampBTC eKrakenMt，其中截断点Xminestimateds是使KS统计最小化的点。Gox10-210-1100101102103标准化收益10-610-410-2100补充累积分配BitfinexBitstampBTC eKrakenMt。GOX图2：比特币收益在考虑的指数变化和t=1分钟。黑色虚线对应于所考虑交易所的尾部的拟合幂律分布，黑色实线是标准正态分布的累积分布函数（0，1）。t=分别在每个考虑的交换上1min、5min和10min。表3给出了经验分布正尾的结果，表4给出了经验分布负尾的结果。我们还报告了Hill估计所获得的标准误差，以及与每个估计下方括号内分布尾幂律形状的假设检验相关的p值。测试。ExchangeBit finex比特邮票BTC-e Kraken Mt。

Goxreg。2.10（0.545）2.28（0.380）2.21（0.165）2.65（0.941）2.32（0.158）Hill2.15±0.11（0.931）2.25±0.10（0.723）2.14±0.03（0.114）2.64±0.06（0.844）2.41±0.06（0.840）reg。2.11（0.775）2.23（0.575）2.07（0.000）2.49（0.766）2.32（0.256）Hill2.11±0.09（0.535）2.14±0.07（0.855）2.08±0.05（0.008）2.42±0.09（0.434）2.19±0.07（0.059）reg。2.24（0.287）2.26（0.791）2.37（0.187）2.57（0.907）2.33（0.074）Hill2.22±0.10（0.805）2.24±0.07（0.311）2.27±0.08（0.813）2.49±0.12（0.880）2.28±0.12（0.929）表3：每个考虑的交易所高频时间间隔内比特币收益经验分布正尾的估计幂律指数α。估计的标度指数刚好超出了由0到2之间的α表示的Levy-alpha稳定域。很明显，尽管不同交易所之间存在一些差异，但估计值之间存在普遍一致性，这表明比特币日内收益的幂律指数在2<α<2.5的范围内。此外，值得注意的是，表2中估计的5分钟收益系数β也表明标度指数可能在2.5左右，这证实了这些结果。另一个有趣的结果是，在所考虑的分布的正和负之间没有发现明显的不对称性。此外，绝大多数已执行的统计测试都无法拒绝零假设，即尾部在95%的置信度水平上遵循幂律，但BTC-e交换的少数估计除外（尽管我们没有调整多次测试，在这种情况下，其中一些会得到纠正）。最值得注意的是，估计的幂律指数为测试。ExchangeBit finex比特邮票BTC-e Kraken Mt。

Goxreg。2.12（0.842）2.41（0.750）2.23（0.136）2.55（0.251）2.45（0.542）Hill2.08±0.11（0.963）2.30±0.09（0.331）2.17±0.03（0.057）2.44±0.06（0.708）2.48±0.05（0.850）reg。2.23（0.847）2.34（0.648）2.09（0.001）2.84（0.895）2.42（0.976）Hill2.18±0.09（0.891）2.31±0.05（0.926）2.03±0.05（0.004）2.83±0.12（0.820）2.41±0.08（0.970）reg。2.05（0.019）2.27（0.722）2.07（0.000）2.68（0.860）2.32（0.428）Hill2.00±0.07（0.064）2.25±0.06（0.725）2.23±0.07（0.021）2.72±0.15（0.737）2.31±0.11（0.955）表4：每种考虑的交易所高频时间间隔内比特币收益经验分布正尾的估计幂律指数α。估计的标度指数刚好超出了由0到2之间的α表示的Levy-alpha稳定域。在利维稳定区域外，0<α<2意味着比特币收益分布存在一个有限的二阶矩，这对于风险建模场景很重要。1分钟5分钟10分钟30分钟60分钟2小时6小时12小时1天22.53，Hill（pos.tail）Hill（neg.tail）Reg。（位置尾部）调节器。（负尾）图3：多个时间间隔内比特币收益正尾和负尾的幂律指数估计。图中的全彩色点表示幂律假设无法拒绝的估计值，而空点对应于在95%置信度水平下拒绝零假设的估计值（无需更正多次测试）。接下来，我们分析了在多个较大时间间隔内收益率经验分布的尾部。基于上一节的结果，在所有考虑过的交易所中，比特币回报率都有类似的行为，我们将所有交易所的回报率进行聚合，并考虑一个聚合分布。

通过这样做，我们能够获得更多的数据，从而考虑更大时间尺度的经验分布尾部，而来自单一交易所的数据将不足以进行尾部估计。我们在图3中报告了不同时间间隔内收益率经验分布的尾部指数估计值，这两个指数均为正负尾部。大多数估计的幂律指数可以被视为介于2<α<2.5的范围内。这些结果通常证实了估计的幂律指数对高频回报分布的影响，但似乎强烈地影响了不同估计量和考虑的尾部之间的斯隆时间间隔，很可能是由于数据不足。因此，对于这一发展中的资产类别，尚不可能对更大时间间隔回报的这些标度特性进行研究，例如在长达十年的股票价格数据集上进行的研究。然而，我们的结果提供了令人信服的证据，证明了来自多个比特币交易所的极端价格波动的标度特性的一般性质以及迄今为止收集的数据。与股票市场相比，加密货币市场的尾部更重，一个可能的解释可能是加密货币投资者的结构与传统投资者的结构相对不同，正如先前的研究所表明的那样【22，23】。观察到的泡沫证明了这些市场的反馈水平和羊群效应。此外，如果我们认为幂律行为是投资者对真实资产价值估计不佳的结果[11]，那么观察到的尾部更重是合乎逻辑的，因为加密货币的内在价值尤其难以确定。然而，有必要对这些市场中的行为问题进行更详细的研究，以得出明确的结论。5.

结论我们分析了2010年至2017年期间来自多个数字交易所（Mt.Gox、BTC-e、Bitstamp、Bit Finex和Kraken）的比特币交易数据，包括总计超过8000万笔交易，重点关注不同时间间隔内的收益分布尾。我们在多个时间间隔内价格波动的经验累积分布的尾部发现幂律衰减的证据，从t=1分钟至t=1天。我们采用两种方法来估计标度指数，并报告比特币收益率表现出2<α<2.5的重尾，这与股票收益率的逆三次定律相反。此外，我们发现这种行为在多个交易所和多个TineInterval中都存在，这表明这是一种普遍现象，类似于其他金融市场中的现象。我们的结果表明，除了更高的方差外，比特币回报率还表现出比股票回报率更大的尾部，这意味着极端价格波动的频率要高得多。此外，我们的结果还表明比特币价格波动存在一个有限的二阶矩，这意味着中心极限定理并收敛到高斯极限。这些发现为在风险管理和投资组合优化场景中使用标准财务理论和基于协方差的技术提供了基本依据。6、致谢克罗地亚科学基金会在5349项目下部分支持了这项工作。作者要感谢审稿人的评论，这些评论有助于提高论文的质量。参考文献[1]R.N.Mantegna和H.E.Stanley，“经济指数动态中的标度行为”，《自然》，第376卷，第6535号，第46-49页，1995年。[2] A.Clauset、C.R.Shalizi和M.E.J.Newman，“经验数据中的幂律分布”，《暹罗评论》，第51卷，第4期，pp。

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