随机存储问题的模拟方法：一种统计方法

解决方案采用GP-2D回归和混合设计。在表3中，我们展示了N=40K模拟预算的不同设计回归对的性能。我们从这个和下面的讨论中去掉了黄土，以简化表达式，还因为Matlab对黄土的实现不支持维数d>2。正如所料，转换成本的引入导致了相对于表2的较低估值。此外，相对性能与前一节相似，即空间填充设计的性能最差，混合料设计有显著改善，但动态设计最终赢得了比赛。通过比较表3和表2中的估价，我们可以推断出开关成本的影响和数量。例如，以前动态GP-1D的估值为^V（0，61000）=5266美元（千美元），然而，加上转换成本，现在是5102000美元。相应的16.6万美元的损失可以解释为在一条典型轨道上大约有16个政权切换（假设平均切换成本为1万美元）。6.5具有两种功能的3D测试用例我们工作的一个重要方面和动机是算法在输入维度数量方面的可伸缩性问题。在经典的存储问题中，只有两个维度：价格P和库存I。然而，在许多情况下，可能存在多个随机因素（例如下面的微电网示例中的电力需求和供应过程）或多个库存。

相应的问题在概念上与所考虑的问题相同，只是X有d≥ 3个尺寸。处理这些问题需要数值方法对维度不可知。就现有方法而言，分段连续策略（如PR-1D）是最常用的设计回归^V（0，P，I）（\'000s）常规PR-1D 4901（12）PR-2D 4654（11）空间-llingPR-1D 4663（16）GP-1D 4757（10）PR-2D 4594（13）GP-2D 4879（22）自适应-1DPR-1D 4978（14）GP-1D 5058（12）动态CPR-1D 4997（17）GP-1D 5102（20）混合物2DPR-2D 4602（30）GP-2D 4978（8）表3：储气设施的估价不同设计回归对的切换成本^V（0，61000），模拟预算为N=40000。结果是每个算法10次运行的平均值（括号中的标准偏差）。成功，但它在很大程度上依赖于在单个库存变量中插值。相比之下，联合多项式回归在d中的可伸缩性很小，但通常表现较差。因此，非常需要其他能够改进PR的联合d方法。在本节中，我们将测试我们的算法和不同设计在向上移动到三维状态变量时的比较。其主要思想是考虑两个天然气储存设施的联合模型，该模型将产生三个状态空间变量：价格Pt、第一存储Itan库存和第二存储It库存。每个存储设施都是独立控制和操作的（因此有9种可能的模式mt∈ {-1, 0, 1} × {-1, 0, 1}.

此外，这两个设施具有相同的坡度特性，每个都符合第6.1节的要求；因此，两个这样的洞穴的总价值只是单个洞穴价值的两倍。总体而言，该设置的实施与2D（highlightingscalability）中的设置直接平行，但我们强调了两个变化：（i）对于空间填充设计，我们切换到3DSobol序列；虽然我们没有观察到LHS和Sobol序列在2D问题上的性能有任何显著差异，但在3D LHS中，稳定性较低（运行期间的^V（0、6、1000、1000）变化较大），产量估计比Sobol设计差约8万至10万美元；（ii）对于混合重量，我们采用空间填充和经验分布的50%/50%的场地，即D=P（0.5N）∪ S（0.5N）。这两种修改的原因是，与之前的示例相比，单位体积设计场地的数量较低，即预算较低。充分的空间——需要通过QMC设计实现，以探索相关的输入空间，并充分了解3D延拓函数的形状。在图8中，我们展示了PR-3D和GP-3D对于混合和空间填充设计的性能。为了便于比较，我们报告了两个设施总价值的一半，这应该与表2中的原始值完全匹配。毫不奇怪，3D问题更难解决，因此对于相同的模拟预算，报告的估值更低。例如，在10budget下，AdaptiveGP-3D的估值比GP-2D混合物低25.1万美元；当我们将模拟预算增加到N=10时，这一缺口将下降到10.9万美元。此外，即使使用多项式回归（Sobol PR与MixturePR），混合和空间填充设计的性能之间的差异也很明显。

GP-3D混合料设计进一步提高了估价；我们观察到，在N=10预算的情况下，混合PR和混合GP的差异超过30万美元。Sobol PR-3D混合物PR-3D混合物GP-3D430044004500460047004800490050005100评估10k40K67K100K图8：第6.5节中两个储槽3D示例的估计值^V（0，6，1000，1000）/2的一半。结果是在4个不同的模拟预算中对每个算法进行10次运行∈ {10K、40K、67K、100K}。箱线图的描述与图6.7随机净需求下的微电网平衡相同。在本例中，我们在微电网的背景下使用第2节的框架，微电网是由可再生能源、柴油发电机和储能电池组成的电网的缩小版本。微电网可以隔离或连接到国家电网，目标是通过高效利用柴油发电机和电池，以满足可再生能源间歇发电的需求，以最低成本供电。此处所考虑的微电网拓扑与[2]中的拓扑相似，如图9所示。图9：微电网拓扑外部因素对应于剩余需求Xtk=Ltk- Rtk，其中Ltk、Rtk分别表示可再生能源的需求和产出。我们假设microgridcontroller仅将其策略基于X，建模为离散的Ornstein-Uhlenbeck过程：Xtk+1- Xtk=α（X- Xtk）t+σWtk，Wtk公司~ N（0，t） 。（27）在电源侧，控制器有两种资源：电池（储能）和柴油发电机。电池的状态由其表示∈ [0，Imax]，动力学由Itk+1=Itk+a（ctk）给出t=Itk+Btkt、 （28）其中a（ctk）被解释为电池输出，由ctk驱动柴油输出。后者有两种制度mtk∈ {0, 1}. 在关闭状态下，mtk+1=0，ctk（0）=0。

当柴油机开启时，mtk+1=1，其功率输出取决于状态，由：ctk（1）=Xtk{Xtk>0}+Bmax给出∧Imax公司- Itk公司t、 （29）其中Bmax>0是蓄电池的最大功率输入。电池的功率输出是剩余需求和柴油输出之间的差异，前提是它保持在电池的物理容量限制[0，Imax]内：Btk：=a（ctk）=-Itk公司t型∨最小宽度∨ （ctk- Xtk）∧B最大值∧Imax公司- Itk公司t、 （30）为了描述成本结构，定义不平衡过程St=S（ct，Xt）：Stk=ctk- Xtk公司- Btk。（31）通常不平衡为零，即电池吸收生产和需求之间的差异。Stk<0表示电源不足，导致停电；Stk>0会导致疾病或能源浪费。我们不对称地惩罚这两种情况，使用C1、2故障和停电的成本，取C Cin目标零停电顺序：π（c，X）：=-cγ- |S | hC{S<0}+C{S>0}i.（32）关于这种函数形式选择的更多讨论可以在[20，2]中找到。此外，关闭时启动柴油发电机会产生切换成本K（0，1）=10，但不会产生切换柴油发电机的成本，K（1，0）=0。最终的优化问题是从状态（Xtk、Itk、mtk）开始，观察剩余需求过程Xtk，以最大化遵循政策mtk的路径价值，正如（6）中所述。7.1最佳微电网控制我们使用的参数如表4所示。对于终端条件，我们再次强制控制器返回微电网，至少初始电池电量：W（XT，IT）=-最大200（I- IT，0）。与第6节中的储气问题相比，这种处罚的效果有所不同。因为控制器只能部分控制库存，所以我们最终得到了^IT∈ [I，Imax]。

我们使用N=10000的模拟预算和N=200000的样本外预算。为了实现的简单性，我们在两个m区域中使用相同的模拟设计（即Dkisindependent of m，参见算法1）。α=0.5，X=0，σ=2Imax=10（kWh），Bmin=-6，Bmax=6（kW），K（0，1）=10，K（1，0）=0C=5，C=10，γ=0.9，T=48（小时），t=0.25（小时）表4：第7节中微电网的参数。图10a说明了微电网控制器针对给定pathof剩余需求（Xt）的计算策略（^mt）。左面板绘制需求X0:T（左y轴）、库存^I0:T和柴油输出c0:T（两个右y轴）的联合轨迹。柴油通常是有效的；只要剩余需求量很大，或库存接近空置，控制员就会启动柴油发电机。当发电机接通时，电池按照（29）快速重新充电；否则，^I趋于减小，除非Xtk<0。图的中间和右侧面板显示了结果策略c（t，X，I，m）=c（^m（t，X，I，m））。由于切换成本的影响，当发电机打开时（图10c），与关闭时相比，它继续保持在更大的状态空间区域内。0 0.5 1 1.5 2时间（天）-6-4-202468剩余需求0246810214库存/柴油动力剩余需求VentoryDiesel Power（a）路径轨迹（b）发电机关闭（m=0）（c）发电机打开（m=1）图10：左面板：剩余需求轨迹（Xt），对应于策略（ct）和生成的库存轨迹（^It）。中间和右侧面板：控制策略^c（t，X，I，m）att=24小时。回想一下，当柴油机关闭时，c（0）=0。

所有面板均基于GP-2D回归和混合料设计D=P（0.5N）∪ L（0.5N）。7.2数值结果图11显示了N=10000时，不同设计和回归方法下微电网的估计值^V（0，0，5，1）。回想一下，在此设置中，控制器只会产生成本，因此^V<0和更小（成本）更好。方案的相对性能与第6节相似。在回归方法中，我们继续观察到填充空间设计的性能较低。然而，与传统回归方法相比，GP对这种设计变更更为稳健。此外，GPR显著改进了PR-2D（其性能非常差，如图11所示）。GP-2D的自适应设计再次产生了最高的估值（最低的成本），并在PR-1D的基础上大幅改进。8结论和未来工作开发的DEA模板概括了随机存储问题RMC方法领域中使用的现有方法。DEA的模块化允许进行广泛的修改，以增强当前的技术水平并提高可扩展性。特别是，我们展示了几种近似空间和模拟设计的组合，它们与文献中报道的任何基准测试（使用-1D和-2D方法）一样好或更好。强调实验设计方面，我们表明，通过消除模拟全局路径的需要，在消除传统RMC的内存需求方面有很大的自由度。类似地，像GPR这样的非参数回归方法可以最大限度地减少选择“正确”基函数的担忧。此外，我们强调混合和匹配不同方法的可能性。

例如，我们举例说明了使用不同的设计、回归和跨时间步的预算对储气设施进行基于EA的评估。PR-1D GP-1D GP-2D-145.5-145-144.5-144-143.5评估常规空间填充混合图11：微网格示例和不同设计回归对的估计值^V（0，0，5，1）。结果是每个算法运行10次。相比之下，PR-2D估计平均估值在-153.6, -156.4, -152.3分别适用于传统、空间填充和混合设计。箱线图的描述与图6中的描述相同。自然延伸是考虑注射/退出速率连续的设置。在这种情况下，必须在ct上进行优化，将arg max操作符替换为允许控制集c上的boni fied arg sup∈ A、 根据切换成本的评估方式，可以完全消除模式mt，或者进行双重优化v（t，Pt，It，mt）=maxm∈Jnsupc公司∈A（Pt，It，m）π（Pt，c）t+q（t，Pt，It+t（c），m）- K（mt，m）o。这可以解释为求解一个无bang-bang开关模型，当proπ和c之间存在某种非线性联系，或者c对其产生非线性影响时，就会出现这种模型+t、 在c上进行内部优化需要联合回归方案，以使^q（t，·）在其中光滑+t、 我们的模板提供的另一个方向是使用备注2来生成路径延续值，从而转向前瞻性策略。通过w>1，可以在西西里斯·范罗伊方法和朗斯塔夫·施瓦茨方法之间进行插值，理想情况下，可以通过数据驱动的方案，在每个时间步自适应地选择前瞻。

为此，GP回归结果可用于量化^q（tk，·）中的单步投影误差。在不同的情况下，可以考虑对（Pt）和（It）之间的自主/内源性二分法模糊的地方进行修改。例如，在水力发电运行的情况下，会出现一种不同的蓄水问题，即控制从上游接收水流并可向下游放水的双坝水库【1，10】。此外，无论运行情况如何，水库都会经历蒸发和/或自然水位下降。在此设置中，InventoryExperience会经历随机冲击，无论是由于随机流入（由于降水）还是随机流出（由于基于温度的蒸发等）。因此，它是It、ct和某些外部噪声（或因素）Ot的函数。此外，如果大坝较大，水电管理具有内生随机风险，即控制ctkalso通过修改区域能源供应影响价格过程Ptk+1的分布，从而影响驱动（Pt）变化的供需平衡。参考文献【1】Alais，J.C.、Carpentier，P.、De Lara，M.：多用途水电站单坝管理：机会约束优化和随机生存能力。能源系统8（1），7–30（2017）【2】Alasseur，C.，Balata，A.，Ben Aziza，S.，Maheshwari，A.，Tankov，P.，Warin，X.：微电网管理的回归蒙特卡罗。《技术代表》，arXiv 1802.10352（2018）【3】Balata，A.，Palczewski，J.：《马尔可夫过程最优控制的后回归蒙特卡罗》。ArXiv e-prints（2017）[4]Balata，A.，Palczewski，J.：《能源应用中最优库存控制的后回归蒙特卡罗》。《技术代表》，arXiv 1703.06461（2017）[5]B¨auerle，N.，Riess，V.：《采用制度转换的储气库估价》。

能源系统7（3），499–528（2016）[6]Binois，M.，Gramacy，R.B.，Ludkovski，M.：大型模拟实验的实用异方差高斯过程建模。《计算和图形统计杂志》（toappear）（2018）[7]Boogert，A.，de Jong，C.：使用蒙特卡罗方法进行天然气储量评估。《衍生杂志》第81–98页（2008）[8]Boogert，A.，de Jong，C.：使用多因素价格过程的天然气储量估价。《能源市场杂志》4，29–52（2011）【9】Bouchard，B.，Warin，X.：《美国期权的蒙特卡罗估值：事实和改进现有方法的新算法》。摘自：R.A.Carmona，P.Del Moral，P.Hu，N.Oudjane（编辑），《金融中的数值方法：波尔多》，2010年6月，第215-255页。Springer BerlinHeidelberg，Berlin，Heidelberg（2012）[10]Carmona，R.，Ludkovski，M.：《储能评估：最佳切换方法》。《定量金融》10（4），359–374（2010）【11】Chen，Z.，Forsyth，P.A.：天然气储量估值和优化运行的半拉格朗日方法。《暹罗科学计算杂志》30（1），339–368（2008）【12】Cong，F.，Oosterlee，c.：基于蒙特卡罗模拟的多期均值方差投资组合优化。《经济动力学与控制杂志》64,23–38（2016）[13]戴维森，M.，赵，G.：双坝水电站的最优控制。系统工程Procedia 3，1–12（2012）【14】Denault，M.，Simonato，J.G.，Stentoft，L.：具有内生状态变量的随机动态程序的模拟和回归方法。计算机与运筹学40（11），2760–2769（2013）[15]Eglo Off，D.：用于最佳停止和统计学习的蒙特卡罗算法。《应用概率年鉴》15（2），1396–1432（2005）【16】Egloff，D.，Kohler，M.，Todorovic，N.：百慕大期权定价的动态前瞻蒙特卡罗算法。安。应用程序。概率。17(4), 1138–1171 (2007).