衡量风险敞口多元化的动态网络模型

连接数及其时间上的相对大小。在银行间市场中，经常会观察到系统中的互不相关属性，这大致可以转化为邻居数较少的节点与邻居数较多的节点相连，反之亦然（见Hurd（2016））。金融网络中的这种属性非常普遍，不同于社交网络，在社交网络中，拥有大量“朋友”的个人往往会在网络中创建“枢纽”，参见Li、Guan、Wu、Gong、Li、Wu、di和Lai（2014）。金融体系也趋于稀疏。我们在奥地利银行间市场观察到了相同的模式，如图1.3所示。我们在数据中观察到了一些有趣的模式，这表明使用更复杂的模型确实可以对银行多元化的演变产生一些新的见解。由于我们研究的主要兴趣表1。连接数及其时间上的相对大小。连接的相对尺寸周期连接数2008Q1 2952 1.00002008Q2 3109 1.09252008Q3 2993 0.18732008Q4 3028 0.32872009Q1 3178 0.41862009Q2 3177 0.53292009Q3 156 0.701620009Q4 3188 0.58202010Q1 3157 1.18512010Q2 3194 1.134020010Q3 3223 1.09812010Q4 3126 1.008011Q1 3115 0.98602011Q2 3825 1.19792011Q3 820 1.2121 182011Q4 3778 1.1310（a）邻接矩阵（b）网络快照图的绘图1.3. 第一个时间段的邻接矩阵，由2952个点（a）和至少有一个连接（b）的节点的网络快照的图形表示组成。在于银行间市场中代理人的多元化，我们也看到了银行熵在时间上的演变。为此，我们使用熵的标准定义如下：定义1.2。

节点i的熵S（t）iof∈ 时间t时的V∈ T定义为：S（T）idef=-NXk=1y（t）iklog y（t）ik（1）更简单地说，这个数量描述了机构如何在交易对手之间分配其资产。只有一个债务人的银行的熵等于零，因为其相对风险敞口对该债务人为一，对所有其他银行为零。随着风险敞口相等的债务人数量的增加，节点的熵会增加，对于固定数量的债务人，当其资产在相邻节点之间均匀分布时，节点的熵会最大化。因此，如果两个节点具有相同数量的传出连接，则可以将熵较高的节点视为更好的驱动程序。2009 2010 2011时间-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25熵变化图1.4。熵变在时间上的分布。在图1.4中，我们绘制了连续周期（S（t+1）i）中节点熵的变化- S（t）i）。2011年第二季度和第三季度，人们可以观察到均值和方差都在增加，这与欧洲主权危机相对应。在这一点上，未来对几个欧盟国家的援助是不确定的，这可能会加剧市场的波动。有趣的是，在2008年危机期间，没有看到类似的影响。在我们的模型中，我们将此探索性分析中的所有信息考虑在内，并进一步关注故事的多元化部分。除了对银行熵的分析之外，我们还扩展了这条推理路线，并创建了一个衡量多元化总体趋势的指标。评估淋巴结暴露同质性的时间演变还有其他方法。我们在探索性分析中选择了熵，因为它构成了一种简单、干净、易于处理的方法，但人们可以很容易地转向其他度量，例如：。

赫芬达指数是经济学文献中的常见做法。该数据从2008年春季到2012年秋季按季度观察，因此，共有T=16个邻接矩阵可用（有关数据结构的更多详细信息，请参见附录A）。相对暴露顺序在我们进行的探索性分析以及我们的主要模型中都很重要。为了模拟网络的动态演化，我们假设离散的时间步长，以适应我们的季度观测数据。本着Koskinen和Edling（2012）的精神，连续时间模型将构成我们模型的可能扩展。在本文中，我们处理不同的概率分布。具有均值u和方差v的正态分布应表示为n（u，v），具有形状参数k和尺度参数l的伽马分布应称为伽马（k，l），由向量α参数化的Dirichlet分布应称为Dir（α）。2该模型我们使用定义A.3中的相对银行间风险敞口y（t）ij，假设没有自联系，因此，如果没有其他说明，我们总是使用∈ T、i、j∈ V和i 6=j。由于这些是相对风险敞口，关于Dirichlet分布及其使用的著名论文包括Minka（2000）、van derMerwe（2018）以及Hijazi和Jernigan（2009）。根据定义，他们满足：y（t）ij∈ [0，1]和xj∈五： j6=iy（t）ij=1。（2） 我们建议对向量y（t）i进行建模=y（t）i1，y（t）英寸作为以参数α（t）i·为特征的Dirichlet随机向量=α（t）i1，α（t）英寸, 其中α（t）ij>0。根据潜变量模型中建立的标准，假设数据是条件独立的，给定潜参数α=nα（t）ijoi，j，t。

因此，模型可能性如下所示：LY（α）=TYt=1NYi=1ΓPjy（t）ijQjΓy（t）ijYjhy（t）ijiα（t）ij-1.（3） 其中，j在V中变化，与i不同，且Γ（·）表示伽马函数。关于α参数，我们通过以下确定性表示从发送方和接收方随机效应中分离出趋势分量：logα（t）ij= ut+θi+γj.（4）根据该公式，模型参数u={ut}t∈T、 θ={θi}i∈Vandγ={γj}j∈V提供直截了当的解释。2.1模型参数的解释在进行参数解释之前，我们要注意α对对称随机向量Y的影响~ Dir（α，…，α）。也就是说，重要的是要看到Y的方差随着α的增加而减小。由于Dirichlet分布生成的值位于（N- 1） 维单纯形，低方差转换为yi≈ 1/（N）- 1) , 我∈ 五、 例如，这些值或多或少是均匀分布的。然而，高方差意味着其中一个分量接近于一，而所有其他分量接近于零。这种机制与第一节中分别介绍的高熵均匀区和低熵非均匀区非常相似。事实上，在我们的公式中，ut+θi的贡献以对称方式影响α（t）i·的所有成分。因此，我们通过同质性趋势参数u和节点特定的同质性随机效应θi，从根本上获取网络中的同质性水平。换句话说，ut+θi的增加与时间t时银行i风险敞口的更高多样性相关，从而形成更同质的网络结构。反之亦然，ut+θiis的减少与多样性的减少相关，这反过来又会导致更异构的网络结构。γjis的解释类似。

要看到这一点，请考虑非对称Crandom向量Y~ Dir（α，…，αN）。在这种情况下，单参数分量αjd的增加确定了yj中更高的期望值，而Y中的其他元素的代价则更高。在我们的上下文中，γjtends的增加是为了增加j从其交易对手处获得的所有边的权重。同样，可以说，在这种情况下，j银行变得更具吸引力，因为其他银行的风险敞口更集中于SJ。总之，有一种清晰的方法可以解释我们模型的主要参数。参数ut表示时间帧的全局同质性水平∈ T，参数θi表示单个银行i的同质性水平为随机效应，参数γj表示银行j的吸引力。2.2贝叶斯层次结构我们通过在前面提到的参数上引入以下贝叶斯层次结构来完成我们的模型。我们假设漂移参数u之前有一个随机游走过程，如下所示：u~ N（0，1/τu），ut=ut-1+ηt，t>1，其中ηt~ N（0，1/τη）和τη~ γ（aη，bη）。超参数τu由用户定义并设置为一个小值，以支持广泛的初始条件。超参数aη和bη也由用户定义，并设置为较小值（0.01），以允许灵活的先验结构。假设参数θ和γ为i.i.d.高斯变量，θi~ N0,τθ, τθ~ γ（aθ，bθ），γj~ N0,τγ, τγ~ Gamma（aγ，bγ）与其他超参数类似，aθ、bθ、aγ和bγ也设置为较小值（0.01）。图2.1中的参数排列以图形方式总结了我们模型中的依赖关系。aη，bητηut-1utYt-1Ytθγτθγaθ，bθaγ，bγ图2.1。

模型依赖关系的图形表示。3参数估计我们提出的模型有T个漂移参数（u）、N个分散参数（θ）、N个吸引参数（γ）和3个精度参数（τ）。我们使用本节描述他们的估算程序。3.1可识别性（4）中的加性结构产生不可识别的似然模型。例如，可以定义▄θi=θi+c和▄γj=γj- c代表一些c∈ Rand两种配置的可能性值相同，即u,~θ, ~γ= LY（u，θ，γ）。处理此类可识别性问题的一种方法是通过θ和γ的先验值进行惩罚。我们可以指定以零为中心的信息量更大的高斯先验，这将缩小分布在零附近的参数。然而，这种方法也可能干扰结果，因为模型无法捕获异常值的存在。因此，我们选择了一种更普遍接受的方法，并将γs的和设为零。这通过以下约束表示：γ=-NXj=2γj。（5）这种新模型的特征是T+2N+2个参数，现在可以识别。3.2马尔可夫链蒙特卡洛模型的后验分布分解如下：π（u，θ，γ，τη，τθ，τγ）∝∝ LY（u，θ，γ）π（u|τη）π（τη| aη，bη）π（θ|τθ）π（τθ| aθ，bθ）π（γ|τγ）π（τγ| aγ，bγ）（6）我们采用完全贝叶斯方法，依赖马尔可夫链蒙特卡罗从后验分布中获得随机样本。注意，在以下等式中，乘积在空间Tand V上定义，唯一的限制是j和`始终不同于i。此外，如果事件A为真或为零，则1a等于1。我们在Gibbs采样器中使用aMetropolis，交替执行以下步骤：1。所有s的样本us∈ T来自以下使用Metropolis Hastings和高斯提案的完整条件：π（us |。

. ) ∝（YiΓeuseθiXjeγj！）Yi，jhy（s）ijiα（s）ij-1Γα（s）ij·（经验值(-τu[us]）{s=1}·（exp(-τη[us- us-1] ）{s>1}·（exp(-τη[us+1- us]）{s<T}。(7)2. 所有k的样本θk∈ V来自以下完全条件，使用大都市广播和高斯建议：π（θk |…）∝（YtΓeuteθkXjeγj！）Yt，jhy（t）kjiα（t）kj-1Γα（t）kjexpn公司-τθko。(8)3. 所有样本γ`∈ V \\{1}来自以下使用Metropolis Hastings和高斯建议的完全条件：π（γ` |…）∝（Yt，iΓeuteθiXjeγj！）Yt，ihy（t）i ` iα（t）i`-1Γα（t）i`·Yt，ihy（t）i1iα（t）i1-1Γα（t）i1expn公司-τγγ\'o.（9）4。以下共轭全条件中的样本τη：π（τη|…）~ Gammaaη+T- 1，bη+Xt>1（ut- ut-1)/2!. (10)5. 从以下共轭全条件中选取τθ：π（τθ|…）~ 伽玛θ+N/2，bθ+Xiθi/2！。(11)6. 从以下共轭全条件中选取τγ：π（τγ|…）~ 伽玛γ+氮- 1，bγ+Xj>1γj/2！。（12） 然后，使用为模型参数获得的随机抽取来表征给定数据的后验分布。3.3实证分析我们在吉布斯采样器内对OeNB 800和OeNB 100两个数据集进行Metropolis测试，共进行400000次迭代。对于这两个数据集，大约200000次迭代作为老化被丢弃。对于剩余的样本，每20次抽签保存一次以产生最终结果。

总之，我们为每个模型参数获得了10000个后验图。磨合期的前100000次迭代也用于自适应调整每个参数的高斯建议方差，以确保所有接受率在22%到30%之间。因此，方差固定在这些值上，此后跟踪图和收敛诊断测试都显示马尔可夫链的混合非常好，表明收敛令人满意。与许多其他网络潜在变量模型类似，我们的采样器所需的计算成本随着tn的增长而增长。我们在C++中实现了该算法，并通过openmpit库使用并行计算来加速该过程。我们注意到，对于完整的数据集，迭代●●●●●●●●●●●●●●●●2009 2010 2011 2012-4.574-4.573-4.572-4.571-4.570OeNB\\u 800：muTimemu的演变（a）OeNB 800●●●●●●●●●●●●●●●●2009 2010 2011 2012-4.53-4.52-4.51-4.50-4.49-4.48-4.47-4.46OeNB\\u 100：muTimemu的演变（b）OeNB 100图4.1。全样本（a）和仅包含100个最相关银行（b）的样本的后验平均值ut的演变，95%可信区间。在具有16核的Debian机器上，平均需要大约0.75秒。该代码可根据要求从作者处获得。4结果首先，我们研究了银行的多元化，这转化为网络同质性的变化。漂移参数ut（如图4.1所示）在两个数据集均呈上升趋势。这一趋势在2011年主权债务危机爆发期间更加明显。

此外，我们观察到在此期间OeNB 100的急剧增加。这表明，与其他时期相比，规模更大、具有系统相关性的银行对此次危机的反应尤为强烈。有趣的是，我们在2008年危机期间没有观察到类似的行为。在之前进行的探索性分析中，我们看到2008年风险敞口总体规模大幅下降，2011年几乎没有这种影响。自相矛盾的是，2011年是我们观察到独立性大幅上升的时候，而2008年同样的影响充其量也有限。由此得出的一个结论是，奥地利银行认为主权危机的威胁比2008年美国房地产市场引发的危机更大。此外，这种影响的相对大小在OeNB100样本中更为明显。这暗示了这样一个事实，即大型银行在面对不利条件时往往会通过提高其多元化水平做出更强烈的反应，而相关性较低的银行则倾向于减少其风险敞口的多元化。除了系统中多元化的总体发展外，我们还研究了样本中银行的局部互动。这可以通过观察表征其个体多样性的参数θi来实现。首先，我们分析这些参数的点估计：图4.2显示了θ的后验均值分布。对于OeNB 800和asOeNB 100，其分布似乎都是厚尾分布。这意味着大多数银行的多元化程度较低，但仍有相当多的银行倾向于更加多元化。事实上，图4.3突出表明，相关程度越高的银行往往会有更明确的多元化，而小型银行则没有那么多的多元化。

这一观察结果进一步证实了我们关于一个程式化金融网络的想法，即ENB\\u 800：θ后指频率0.00 0.02 0.04 0.060 100 200 300 400 500（a）OeNB 800OeNB\\u 100：θ后指频率-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.40 5 10 15 20（b）OeNB 100图4.2。全样本（a）和仅包含100个最相关银行（b）的样本的θ后验分布。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-10-8.-6.-4.-2 0 2 40.00 0.02 0.04 0.06OeNB\\u 800：θvs relevancelog-相关性（a）OeNB 800●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-1 0 1 2 3-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4OeNB\\u 100：θvs relevancelog-相关图A（b）OeNB 100图4.3。在这两个数据集中，具有较高聚合相关性的银行往往也具有较高的风险分散性。解构行为很常见。关于吸引力参数γ，可以观察到类似的重尾分布（点估计的分布见图4.4，其中重右尾很明显）。