快速均值回复和粗糙分数的投资组合优化

Y的方差，Htstaysinvariant，这验证了（2.10）中K（t）的计算方法。内核K（t）在LwithR中∞K（u）du=σou，K（t）∈ 五十、 当H<。用λ表示关于fOU过程s N（0，σou）不变量分布的平均值：λ≡ZRλ（z）√2πσoue-z2σoudz那么，时间平均值和空间平均值之间的以下差异在推导中很重要：It≡Zt公司λ（Y，Hs）-λds，（2.13）φt≡ E“ZTtλ（Y，Hs）-λdsGt#。（2.14）根据Y，Ht的遍历性，这些差异很小，为1级-H、 se e引理A.1。关于Y，hT的更合适的TIES和估计也在其中陈述。此外，我们的快速因子Y满足模型假设，我们陈述如下。引理2.3。在模型假设下，（2.10）中定义的快速均值回复平稳分数Ornstein-Uhlenbeckprocess Y满足可积性假设（2.9）。证据这可以使用[Fouque和Hu，2017b，引理3.1]中的论点和A（T）的事实很容易检查≡RTK（s）ds为of或de r√. 因此，我们省略了这里的细节。3快速变化RFSEIn下的Merton问题在本节中，我们研究了当随机环境由Y建模，H限制为H<时，具有幂r效用的Merton问题（2.3）。根据Y，Ht的性质，这个非线性问题是非马尔可夫的。这立即排除了Hamilton n-Jacobi-Bellman PDE方法，该方法通常是分析和找到控制小参数问题的近似方法的有效工具。尽管如此，提案2.1仍然可用，我们将首先将其应用于我们的问题，然后在此基础上进行扩展。具体而言，我们将给出V表示的价值过程和相应的最优策略π的近似值*.

这是通过应用Yt=Y，Ht的提议n 2.1来实现的，然后根据第2.2节中提到的属性扩展表达式（3.1）。我们还表明，仅“leadingorder”策略就可以产生给定的Vt近似值。最后，我们将结果与马尔可夫案例进行了比较，并对考虑短期依赖的影响进行了评论。3.1价值过程的一阶近似值应为快速均值回复RFSE中风险资产的价格：dSt=Sthu（Y，Ht）dt+σ（Y，Ht）dWti，其中Y，Ht是H<，定义于（2.1 0）中的-s标度平稳fOU过程。因此，财富过程XπtbecomesdXπt=πtu（Y，Ht）dt+πtσ（Y，Ht）dWt，价值过程用Vt表示：Vt≡ ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]。我们将上标添加到问题值V和容许集A，以强调Y，ht对的依赖性。直接应用命题2.1，其中Yt=Y，Ht给出了Vt的以下表达式：Vt=X1-γt1-γheEe1级-γ2qγRTtλ（Y，Hs）ds燃气轮机智商。（3.1）定理3.1。在small的情况下，在模型假设下，对于固定的∈ [0，T），Vtta的形式为VT=QT（T，Xt）+o(√其中q（t，x）=v（0）（t，x）+√ρDv（1）（t，x），（3.3），其中v（0）和v（1）定义为asv（0）（t，x）≡x1-γ1 -γe1-γ2γλ（T-t） ，和v（1）（t，x）≡1.-γγ（T- t） x1-γe1-γ2γλ（T-t） ，以及比亚迪定义的系数≡Z∞ZZRλ（σouz）（λλ′）（σouz′）pCY（s）（z，z′）dz′K（s）ds。函数pC（z，z′）是具有均值零和协方差矩阵的二元正态分布的pdf1立方厘米1, （2.12）中给出了CY。通常，符号o(√）表示一个Ft自适应随机变量，其阶数高于√在Lpsense中，对于任何1≤ p<2（1- H） 。证据

给定V的表示（3.1），可通过首先展开ψt来获得展开结果（3.2）-（3.3≡eE公司e1级-γ2qγRTtλ（Y，Hs）-λds公司燃气轮机, （3.4），然后将泰勒公式应用于函数xq。利用Itis“small”这一事实和exin x的泰勒展开式，可以推断ψt=eE“1+1-γ2qγZTtλ（Y，Hs）-λds+R[t，t]Gt#=1+1- γqγeE“ZTtλ（Y，Hs）-λds公司Gt#+eER[t，t]| Gt, （3.5）式中，R[t，t]=eχh1-γ2qγRTtλ（Y，Hs）-λχ为有界拉格朗日余数的DSI。观察到eE【R【t，t】| Gt】p~R[t，t]pby条件H¨older不等式与λ和atrt的有界性λ（Y，Hs）-λds公司~ o(√在L中，我们声称R[t，t]| Gt订单高于√LP1中的≤ p<2（1- H） 。用bψt=eE“ZTG（Y，Hs）ds定义p鞅bψ及其鞅表示Gt#，G（y）=（λ（y）-λ） ，dbψt=bθtdfWYt。Bψtup到订单的扩展仍有待发现√. 为了在以下推导中压缩符号，我们还定义了ψt≡ E“ZTλ（Y，Hs）-λds公司Gt#，（3.6）t≡中兴通讯G′（Y，Hs）| GtK（s）- t） ds，（3.7）eψt≡eE“ZTλ（eY，Hs）-λds公司Gt#，（3.8）eθt≡ZTteE[G′（eY，Hs）| Gt]K（s- t） ds，（3.9）其中ψ是一个满足dψt=θtdWYt的P-鞅，详见引理a.1（i）。通过一个类似的论证，我们得到了p鞅ψt表示deψt=eθtdfWYt。

θ与θ秩序之间的差异在引理A.2（ii）中进行了讨论。通过以上准备，我们推断：bψt=eE“ZTG（Y，Hs）dsG#+ZtbθsdfWYs（泰勒展开G（y）在y=eY，Hs）=eE“ZTG（eY，Hs）dsG#+eE“ZTG”（eY，Hs）（Y，Hs）-eY，Hs）dsG#+eE“ZTG′（χs）（Y，Hs-eY，Hs）dsG#+ZtθsdfWYs+Zt（bθs- θs）dfWYs（Y，Hs）-eY，Hs~ O(√，bθs- θs~ O（）和WYandfWY）=eE“ZTG（eY，Hs）ds之间的关系G#+eE“ZTG′（eY，Hs）ZsK（s- u） ρ1.- γγλ（Y，Hu）du dsG#+ZtθsdWYs-Ztθsρ1.- γγλ（Y，Hs）ds+O（Y）（eY，Hs | GD=Y，Hs |和kt的定义）=E“ZTG（Y，Hs）dsG#+ZtθsdWYs+ρ1.- γγeE“ZTZTueE[G′（eY，Hs）| Gu]K（s- u） dsλ（Y，Hu）duG级#- ρ1.- γγ(√Dt+κt）+O（）（ψtandeθt和kκtk的表达~ o(√））=ψt+ρ1.- γγeE“ZTeθuλ（Y，Hu）duG级#- ρ1.- γγ√Dt+o(√）（θt-eθt~ O（））=ψt+ρ1.- γγeE“ZTθuλ（Y，Hu）duG级#- ρ1.- γγ√Dt+o(√）=ψt+ρ1.- γγ√D（T- t） +ρ1.- γγeE“ZTθuλ（Y，Hu）-√D duG#+o(√）（kκtk~ o(√））=ψt+ρ1.- γγ√D（T- t） +o(√).括号中逐行列出了所有理由，详细说明见附录A.1–A.3。从上述展开式的两侧减去rtg（Y，Hu）du，再加上（3.5）、（2.14）和（3.6），得出ψt=1+1- γqγφt+√ρ1.- γγD（T- t）+ o(√)= 1 +1 - γqγ√ρ1.- γγD（T- t） +o(√). （3.10）最后一步从φt开始~ O（1-H） （见引理A.1（ii））。

现在，泰勒展开xqp得到了所需的结果tvt=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） （ψt）q=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） （1）+√ρ1.- γγD（T- t） ）+o(√），其中o(√）在Lpsense中，对于任何1≤ p<2（1- H） 。请注意，与Fouque和Hu【2018】研究的长程相关H>1/2的情况不同，其中一阶校正由两个ter-ms（一个随机分量φ和一个确定性函数in（t，Xt））以1阶组成-H、 此处，更正按顺序显示√且仅包含（t，Xt）的确定性函数。换言之，除了常数和λ外，快速因子Y、ht和Hurstindex H在前导项和一阶校正中均不可见。3.2最优策略的一阶展开最优投资组合π*如果不是最重要的数量，也是有趣的。在Y，Ht描述的RFSE下，使用建议n 2.1中的结果，最优策略（2.8）的形式为π*t=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+ρqξtγσ（Y，Ht）#Xt。（3.11）ξ一词是由p鞅Mt的鞅表示定义的，通常是未知的。当人们想要实现最优策略π时，这会带来额外的困难*以获得问题值。然而，至少在small区域，我们可以给出ξ和π的以下近似结果*.定理3.2。在模型假设下，我们对最优策略π有以下近似值*t： EZT公司π*t型- π（0）tpdt！1/p~ o(√), 1.≤ p<2（1- H） 式中，π（0）是前导顺序策略：π（0）t：=λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）Xt。（3.12）证明。这是通过从定义n（2.7）中获得ξt的展开式来实现的。我们通过比较（2.5）到（3.4）重写了Mt的ψtb，Mt=ψte1-γ2qγRtλ（Y，Hs）dse1-γ2qγλ（T-t） ，然后，我们使用ψt的近似值（3.10）。

已经证明，ψt=a（t）+R（t），其中a（t）=1+1-γqγ√ρ1.-γγD（T- t） 为有限变化，R（t）为o级(√）在Lp中，用于1≤ p<2（1- H） 。这确保了hR（·），W（·）it~ o(√）根据以下推理。使用Lrepresentation定理，对于每个t∈ [0，T]，存在一个适应过程β（·），使得ERtβ（u）du<∞ R（t）允许表示R（t）=E[R（t）]+Ztβ（u）dWu。自| E[R（t）]|≤ （E | R（t）| p）1/p~ o(√，我们推断Ztβ（u）dWup=E | R（t）- E[R（t）]| p≤ C（E | R（t）| p+Ep | R（t）|）~ o(√p），andE | hR，W it | p≤ EZt |β（u）| pdu≤ 总工程师Ztβ（u）dWup≤ o(√p）。现在，将It^o公式应用于上述Mt表达式，这三个术语中没有一个会对顺序中的差异部分作出贡献√，表示rtmuξudu~ o(√）在Lp中，对于每t∈ [0，T]。根据模型假设，Mtis有界，therefo reZtξudu~ o(√）在Lp中，t型∈ [0，T]。用kξkp表示：=ERT |ξt | pdt1/P Lp(Ohm ×[0，T]）范数，以及ξtinLemma 2.3的估计，即ξ|≤ C√对于任何t∈ [0，T]，我们得到了所需的近似值（3.12）：EZTπ*t型- π（0）tpdt！1/p=π*- π(0)p≤ C kξXkp=C kξkprkXkpq≤ C′kξkp(√）r-1.1/r，其中r+q=1，r，q>1~ o(√).在下一小节中，我们展示了（3.12）中定义的π（0）的辛最优性性质。也就是说，仅通过实现π（0），代理就能够获得最优值（3.1）的一阶近似值（3.3）。3.3与π（0）t=λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）Xt相关的财富过程a的π（0）t Xπ（0）的渐近最优性：dXπ（0）t=u（Y，Ht）π（0）tdt+σ（Y，Ht）π（0）tdWt=λ（Y，Ht）γXπ（0）tdt+λ（Y，Ht）γXπ（0）tdWt。（3.13）通过λ（·）的有界性，Xπ（0）thas是任何p的pth矩，这确保了π（0）的可容许性。为了系统地简化Pro位置3.3推导中的符号，我们引入了风险容限函数R（t，x）和微分算子Dk，如Fouque等人所述。

【2015年】，作者：R（t，x）≡ -v（0）x（t，x）v（0）xx（t，x）=xγ，和Dk≡ R（t，x）kkx，k∈ N+。（3.14）那么，财富过程ss Xπ（0）t可以写成dxπ（0）t=λ（Y，Ht）R（t，Xπ（0）t）dt+λ（Y，Ht）R（t，Xπ（0）t）dWt。我们还引入了非线性算子Lt，x（λ）byLt，x（λ）≡ t＋λD＋λD，可以通过直线forwar D计算检验v（0）满足lt，x（λ）v（0）（t，x）=0。（3.15）用Vπ（0）表示，相应的值proce ssVπ（0），t：=EhUXπ（0）TFti。在下面的内容中，我们的目标是在small区域中找到Vπ（0）的近似值。这将通过“epsilo n-鞅分解”获得，最初引入Fouque等人【2000】以解决线性定价问题，后来在Fouque等人【2001】、Garnier和Solna【2017a，2016，2017b】、Fouque和Hu【2017b，2018】中发展。粗略地说，我们需要为Vπ（0）构造一个显式函数QT，即鞅加上一些小的东西（非鞅部分）的形式，它的终端条件为Vπ（0），t。然后，这个nsatz实际上是对Vπ（0）的近似，与非鞅部分的阶对应。详细解释见上述参考文献。提案3.3。在模型假设下，对于固定的∈ [0，T），观测值Xt，Vπ（0），tis近似为Vπ（0），T=QT（Xt）+o(√式中，Q在（3.3）中给出。结合定理3.1的ab-ove命题立即给出：π（0）在所有可容许的序结构内是渐近最优的√.这是因为Vπ（0），t-订单Vtis o(√），这表明π（0）talready基因对前导顺序项加上顺序修正进行评级√由（3.3）给出。命题3.3的证明。基于epsilo n-鞅分解方法，只需找到Qt的组合Mt+Rt，Mt为真鞅，Rt为o阶(√). 我们介绍了如何确定M和Rtare，实际证明推迟到附录A。

请注意，订单条款√在Mtso中包含了，Rtis pus he d to a higher order。将It^o公式应用于v（0）（t，Xπ（0）t）带来的dV（0）（t，Xπ（0）t）=Lt，X（λ（Y，Ht））v（0）（t，Xπ（0）t+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（0）X（t，Xπ（0）t）dWt=λ（Y，Ht）-λDv（0）（t，Xπ（0）t）dt+dM（1）t，（3.16），其中M（1）是由dM（1）t=σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（0）X（t，Xπ（0）t）dWt，（3.17）给出的鞅，以及关系式（3.15）和Dv（0）（t，X）=-已使用Dv（0）（t，x）。回想一下（2.14）和（3.6）中分别定义的φ和ψtde，那么，我们有dψt-dφt=λ（Y，Ht）-λ（3.16）中的第一项变成λ（Y，Ht）-λDv（0）（t，Xπ（0）t）dt=Dv（0）（t，Xπ（0）t）（dψt- dt）。进一步简化Dv（0）（t，Xπ（0）t）dφt，这对应于在o阶找到v（0）（t，Xπ（0）t）的校正器√，我们计算Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt的总微分（v（0）（t，Xπ（0）t）的参数将在下面系统地省略）：dDv（0）φt= Dv（0）dφt+φtLt，x（λ（Y，Ht））Dv（0）dt+φtσ（Y，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，Y，Ht）xDv（0）dWt+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）xDv（0）d hW，φit=Dv（0）dφt+φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+φtλ（Y，Ht）Dv（0）dWt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）dWY，ψ在推导过程中，我们使用了Dand R（t，x）（参见（3.14））、ndLt、x（λ）Dv（0）=DLt、x（λ）v（0）=0和d hW的定义，φit=ρdWY，ψt、 引理A.1（i）：d中的结果WY，ψt=θtdt，以及产生的ab ove衍生Dv（0）φt= -λ（Y，Ht）-λDv（0）dt+φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）θtdt+dM（2）t，（3.18）和dM（2）t=Dv（0）（t，Xπ（0）t）dψt+φtλ（Y，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t）dWt。（3.19）从引理A.1（ii）中，我们可以看到（3.18）中的第二项的阶数为1-H、 因此，仍然需要分析第三项ρλ（Y，Ht）Dv（0）θtdt。为此，我们重写v（1）的形式为o，v（0）byv（1）=Dv（0）（T-t） ，并观察其满足Lt，x（λ）v（1）=-Dv（0）。

将它的公式再次应用于v（1）给出，dv（1）（t，Xπ（0）t）=Lt，X（λ（Y，Ht））v（1）（t，Xπ（0）t）dt+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（1）X（t，Xπ（0）t）dWt=（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）v（1）（t，Xπ（0）t）dt- Dv（0）（t，Xπ（0）t）dt+dM（3）t，（3.20），其中M（3）是由dM（3）t=σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（1）X（t，Xπ（0）t）dWt定义的鞅。（3.21）确定数量eqtbyeQt（x）=v（0）（t，x）+Dv（0）（t，x）φt+√ρDv（1）（t，x），组合方程（3.16）、（3.18）和（3.20）yieldsdeQt（xπ（0）t）=dv（0）（t，Xπ（0）t）+Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt+√ρDv（1）（t，Xπ（0）t）= φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+ρλ（Y，Ht）θt-√DDv（0）dt+√ρD（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）v（1）（t，Xπ（0）t）dt+dM（1）t+dM（2）t+√ρD dM（3）t。用R（j）t，t，j=1，2，3表示上述表达式中的前三项R（1）t，t：=ZTtφs（λ（Y，Hs）-λ） （D+2D）Dv（0）（s，Xπ（0）s）ds，（3.22）R（2）t，t：=ZTtρλ（Y，Hs）θs-√DDv（0）（s，Xπ（0）s）ds，R（3）t，t：=ZTt√ρD（λ（Y，Hs）- λ） （D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s）ds。（3.23）引理A.5证明它们是o(√）L中的术语：lim→0-1/2ER（j）t，t= 0, j=1、2、3。引理A.4还表明M（j）t，j=1，2，3确实是真P-鞅。因此，用Mt分别定义鞅和非鞅参数：=ZtdM（1）s+dM（2）s+√ρD dM（3）s，RT- Rt：=R（1）t，t+R（2）t，t+R（3）t，t，并观察等式Rt（x）=v（0）（t，x）=U（x）（因为定义φt=v（1）（t，x）=0）和Dv（0）（t，xπ（0）t）φ(√在L中（通过引理A.1（ii）和Dv（0）的可积性），我们得到了期望的结果vπ（0），t=EheQt（Xπ（0）t）Fti=等式t（Xπ（0）t）+E[Mt- Mt | Ft）+E[Rt- Rt | Ft]=Qt（Xπ（0）t）+Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt+E[R（1）t，t+R（2）t，t+R（3）t，t+R（4）t，t | Ft]=Qt（Xπ（0）t）+o(√).备注3.4。Vπ（0），的展开结果可以推广到具有一般效用函数的情况，如【Fouque和Hu，2017b，2018，第4节】。

这是利用Fouke和Hu【2017a】中研究的风险容忍函数R（t，x）的性质来实现的。3.4数值实现数值实现π（0）需要跟踪Y，Ht。由于Y，Ht的高振荡特性，这通常需要高频数据和处理微观结构问题。这对于长期投资来说是不现实的，代理通常不愿意解决这个问题。相反，他们将研究不依赖于因子Y，Ht的策略。如Fouq-ue和Hu[2 018]所示，这种策略在Black-Schole设置下采用经典的Merton最优策略，漂移λ和波动率σ：=phσi：(R)π（0）t=μγσXt。为了测量使用“π（0）t”的效用服务水平，我们定义了相关的问题值V“π（0），tV”π（0），t=E[U（X”π（0）t）| Ft]。（3.24）利用Y，Ht的遍历性：ZTtu（Y，Hs）-uds公司~ o（1）和ZTTσ（Y，Hs）-σds公司~ o（1），可以推导出最佳的前导阶termX1-γt1- γe1-γ2γuσ（T-t） 。这可以解释为夏普比u/σ的最佳值。然后，通过将上述术语与（3.2）-（3.3）中Vtgiven的前导项进行比较，量化了使用∏（0）的效用损失的主要术语：X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） ，并由Cauchy-Schwarz间隙λ测量=uσ≥uhσi≥uσ，如Fouque等人【2015】中的马尔可夫设置，以及Fo uque和Hu【2018】中的长记忆分数设置。接下来，我们用数值方法说明π（0）的渐近最优性和‘（0）t的次最优性。为此，我们用数值方法计算了Vt、Vπ（0）、Vt和V‘（0）的时间t=0，并比较了它们的差异。