快速均值回复和粗糙分数的投资组合优化

将测量值的变化应用于方程（3.1），我们得到v=X1-γ1 - γhEe（1-γ2γ）RTλ（Y，Hs）ds+ρ（1-γγ）RTλ（Y，Hs）dWYsG智商。求解Xπ（0）的SDE，并将溶液插入Vπ（0），tbringVπ（0），=X1的定义中-γ1 - γEe-2γ+3γ-12γRTλ（Y，Hs）ds+（1-γγ）RTλ（Y，Hs）dWsF.类似地，在（3.24）中定义的价值过程遵循Y独立策略‘∏（0），由V‘∏（0）给出，=X1-γ1 - γEe（1-γγ）uσRTu（Y，Hs）ds-1.-γ2γuσRTσ（Y，Hs）ds+（1-γγ）uσRTσ（Y，Hs）dWsF.对最优策略近似质量的全面研究包括精确模拟分段OU过程Y、Ht和布朗运动W，以及在t中确定网格大小，以便与近似策略给出的值函数损失相比，数值误差可以忽略不计。这超出了本文的范围，因此，为了便于说明，我们只计算了几个“ωs”的值。模式l参数选择为：T=1，H=0.1，a=1，γ=0.4，ρ=-0.5，u（y）=0.1×λ（y）0.1+λ（y），λ（y）=Zy/σou-∞p（z/2）dz，其中p（z）表示标准正态密度。我们的选择λ满足本文的现有假设。此外，u（y）和σ（y）=u（y）/λ（y）对于y，H的平稳分布是可积的，u=0.08 7，σ=0.0176。注意，Fand Gare没有t平凡σ-代数。我们首先生成一条“历史”路径-Mand 0，然后通过平均500000条路径来评估每个条件期望。根据Y，Ht的短程依赖性，我们M=（T/t） 0.5（参见Bardet等人[2003]），并根据其粗糙度，我们选择了一个精确的网格尺寸t=10-4、然后，快速变化因子（Y，Ht）t∈[0，T]（2.10）使用欧拉模式生成。我们再次提到，表2中的数值结果仅用于说明上述原因。表2：值过程Vvs.Vπ（0），Vvs。

V'π（0），适用于电力公用工程情况#1#2#3V1.4645 1.4296 1.4075=1 V- Vπ（0），0.0021 0.0021 0.0021V- V'π（0），0.0538 0.0495 0.0509V1.4530 1.4328 1.4191=0.5 V- Vπ（0），0.0017 0.0018 0.0017V- V'π（0），0.0524 0.0475 0.0473V1.4442 1.4464 1.4465=0.1 V- Vπ（0），0.0010 0.0010 0.0010V- V'π（0），0.0423 0.0405 0.0400V1.4456 1.4503 1.4522=0.05 V- Vπ（0），0.0006 0.0007 0.0007V- V'π（0），0.0369 0.0366 0.0365V1.4507 1.4541 1.4563=0.01 V- Vπ（0），0.0002 0.0002 0.0003V- V'π（0），0.0224 0.0249 0.0254预计，两种近似策略的效用损失都会随着趋于零而减少。零阶策略π（0）表现良好，即使对于不太小的值也是如此。相对效用损失小于0.2%。同样，我们预计，“懒惰”策略'π（0）t会产生更大的效用损失，因此表现不如π（0），但在观察到（V- V′π（0），）/V低于4%。3.5与马尔可夫案例的比较在马尔可夫案例中，与Y、Ht（2.10）建模中的H=相关，Fouke等人[2015]严格推导了价值函数和最优投资组合的近似值，其形式为：V（t，Xt）=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） “1-√ρ1.- γγhλθ′i（T- t） #+O（），（3.25）π*（t，Xt，Y，Ht）=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+√ρ(1 - γ） γσ（Y，Ht）θ′（Y，Ht）#Xt+O（），其中θ（Y）解泊松方程θ′（Y）- ayθ′（y）=λ（y）-λ. 这些可以看作是限制→0英里↑我们当前设置的。然而，这两个极限显然不适用于最优控制，因为在订单上没有修正值√in（3.11）。问题值V的情况也是如此，即使是一阶修正（3.3）也是o阶修正√.

正式地，让H↑在方程（3.3）中，我们得到v（t，Xt）=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） “1+√ρ1.- γγD′（T- t） #+o(√）其中D′是H接近时D的极限，D′=limH↑D=Z∞ZZRλ（σouz）（λλ′）（σouz′）~pCY（s）（z，z′）e-asdsand▄pCY（s）（z，z′）是具有均值零和方差矩阵的二元正态密度1 e-ase公司-像. 这与方程（3.25）中的常数hλθ′i不同。虽然两种情况的扩展（H=vs.H∈ （0，））令人惊讶地分享了m的相同点（A领先订单条款加上订单的一阶修正√），系数不相同。这是因为我们在定理3.1和3.2中的推导只对H有效∈ （0，），且s奇异摄动在H=处为“奇异”。因此，极限H的顺序r↑和→ 0是不可互换的，这会导致不同的扩展结果。我们还注意到，与H>情况不同，在H>情况下，赫斯特指数影响第一次修正的顺序（1-H） ，在这里√无论H取什么值（0，）。4结论在本文中，我们研究了投资者效用为幂型的单因素随机环境下的投资组合优化问题。为了适应最近的实证研究，我们使用一个由分数布朗运动驱动的快速均值回复过程对该因子进行建模，Hurst指数H<。因此，它的路径比标准的Bm更为粗糙，并且具有短期依赖性。在这种设置下，借助鞅畸变变换（MDT），可以显式表示值过程，这使我们能够执行渐近展开并获得以下形式的近似值：前导有序项加上有序项的校正项√. 令人惊讶的是，校正顺序与赫斯特指数H无关，快速因子Y，Ht在这两个术语中都没有出现，这与我们之前的工作Fouke和Hu【2017b，2018】中研究的情况不同。

对最优策略的近似值也进行了分析，结果表明，在阶数上没有对应关系√. 尽管如此，我们仍然能够证明，在第3.2节中推导出的前导阶策略能够重新生成有序的问题值√因此，它在所有容许策略内都是渐近最优的。我们注意到，这仅在电力公司的情况下得到证明，与一般情况一样，MDT不适用于一般公司或多因素模型，也不适用于全部问题值的扩展。然而，我们可以在一个较小的可容许策略类中工作，并且可以很容易地扩展第3.3节中的“ε鞅分解”参数，以获得π（0）的较弱最优性。对于一般公用事业案例，这一论点与我们之前的工作非常相似【Fouque和Hu，2017b，2018，第4节】，我们在这里没有包括它。多因素案例涉及更多技术，将在另一篇论文《准备工作》Hu【2018a】中介绍。一个技术引理在这一节中，我们介绍了在第3节中使用的几个引理。请注意，所有引理中的常数K，K′都不依赖于，并且可能因行而异，我们表示函数G（y）a sG（y）=（λ（y）-λ） ，和kXkp：=（EXp）1/pas X.引理A.1的Lp范数。（i） （3.6）中定义的鞅ψtde：ψt=E“ZTG（Y，Hs）dsGt#，满足ψt=θtdWYt，θt：=中兴通讯G′（Y，Hs）| GtK（s）- t） ds。此外，对于所有t∈ [0，T]我们有[λ（Y，Ht）T]=√D+eDt，其中D是确定性常数，Dt的阶数高于√：sup∈[0,1]支持∈[0，T]-1/2eDt< ∞, 和t型∈ [0，T），lim→0-1/2eDt= 定义随机过程κtbyκt=Zt（θsλ（Y，Hs）-√D）ds。

（A.1）其等级高于√in Lsense在t中均匀分布∈ [0，T]：lim→0-1/2中断∈[0，T]kκtk=0。（ii）（2.14）中定义的随机分量φt的形式为φt=E“ZTtG（Y，Hs）dsGt#。它是一个平均值为零、标准偏差为1阶的随机变量-饥饿的t∈ 【0，T】：sup∈[0,1]支持∈[0，T]1-Hkφtk<∞.（iii）（2.13）中定义的随机过程It=Ztλ（Y，Hs）-λds，满意度→0支持∈[0，T]E[（IT）]≤ K1-H、 证明。所有结果都是[Garnier和Solna，2017b，附录A]中引理的不同版本或直接推广，因此我们省略了这里的细节。引理A.2。（i） 表示byeY，HttheeP平稳分数Ornstein–Ulenbeck过程，其移动平均表示形式为Ey，Ht：=Zt-∞K（t- s） dfWYs。然后，支持∈[0，T]eY，Ht- Y，Ht≤ K√.（ii）回顾（3.7）中定义的随机过程，以及（3.9）中定义的随机过程：t：=ZTtE[G′（Y，Hs）| Gt]K（s）- t） ds，eθt：=ZTteE[G′（eY，Hs）| Gt]K（s- t） ds。然后，支持∈[0，T]eθt- θt≤ K。证据这两个都是通过使用[Fouke and Hu，2018，引理A.3]中的论点和事实K（t）来证明的∈五十、 为了简单起见，我们省略了细节。引理A.3。回想一下（3.8）bψt=eE“ZTG（Y，Hs）ds | Gt#中定义的p鞅bψt。用dbψt=bθt=btdfWYt表示它的主要形式。然后，过程bθtsatis支持∈[0，T]θt-bθt≤ K。证据我们首先声明∈ [0，T]ZTteDtY，Hsds公司≤ K√，（A.2），其中表示关于tofW的Malliavin导数。

这是通过在【Fouke和Hu，2017b，引理3.1】中应用导数和RTK（s）ds以K为界的事实获得的√.然后，bθtis c计算为：bθt=eE“ZTG′（Y，Hs）eDtY，HsdsGt#=ZTteEG′（Y，Hs）| GtK（s）- t） ds+eE“ZTtG’（Y，Hs）ZstK（s- u） ρ1.- γγλ′（Y，Hu）eDtY，Hudu dsGt#=eθt+R=eθt+（eθt- θt）+R，R定义为：R：=ZTteEhG′（χs）（Y，Hs-eY，Hs）GtiK（s- t） ds+eE“ZTtG’（Y，Hs）ZstK（s- u） ρ1.- γγλ′（Y，Hu）eDtY，Hudu dsGt#，χ是泰勒展开式的主要形式。给出引理A.2（ii），仍需证明R受K约束。R中的第一项由引理A.2（i）和K（t）保证∈ 五十、 而第二项是λ及其导数K（t）的有界性∈ 土地（A.2）。引理A.4。（3.17）、（3.19）和（3.2 1）中定义的过程M（j）t，j=1，2，3是真P-鞅。证据通过伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式，可以证明M（j）1/2Ti<∞, 对于j=1、2、3。对于j=1的情况，我们计算dm（1）Et=λ（Y，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t）dt公司≤ KXπ（0）t2.-2γdt，由λ的边界决定。那么，因为Xπ（0）是t中任意p的pth矩∈ [0，T]，我们得到DM（1）E1/2T≤“EZTK（Xπ（0）t）2-2γdt#1/2≤ K支持∈[0，T]E[（Xπ（0）t）2-2γ]1/2< ∞.M（3）的鞅性也是这样得到的；而对于M（2）t，额外的性质，如θ和的有界性（δ一致）是us e d.引理A.5。（3.22）-（3.2 3）R（1）t，t：=ZTtφs中定义的随机变量R（j）t，t，j=1，2，3（λ（Y，Hs）-λ） （D+2D）Dv（0）（s，Xπ（0）s）ds，R（2）t，t：=ZTtρλ（Y，Hs）θs-√DDv（0）（s，Xπ（0）s）ds，R（3）t，t：=ZTt√ρD（λ（Y，Hs）- λ） （D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s）ds的阶数为o(√）：lim→0-1/2ER（j）t，t= 0, j=1、2、3。（A.3）证明。

这里的证明类似于[加尼尔和瑟尔纳，201 7b，建议4.1]中的证明。对于j=1的情况，使用v（0）和Dk的定义，属性φt~ O（1-H） 在L（参见引理A.1（ii）），以及λ的有界性中，我们推导出R（1）t，t≤ KE公司ZTtφsXπ（0）s1.-γds≤ K支持∈[0，T]kφtkEZTtXπ（0）s2.-2γds！1/2.由于Xπ（0）thas是任意p的pthmoment，因此，上界期望的阶数为1-H、 因此（A.3）满足j=1。为了用j=2证明（A.3），我们表示tk=t+（t-t） k/N，Z（2）s=Dv（0）（s，Xπ（0）s）=k（Xπ（0）s）1-γAndrealκtde定义于（A.1），因此R（2）t，t可以写成R（2）t，t=N- 1Xk=0Ztk+1tkZ（2）sdκsdsds=N- 1Xk=0Ztk+1tkZ（2）tkdκSDS+N- 1Xk=0Ztk+1tk（Z（2）s- Z（2）tk）dκsdsds=N- 1Xk=0Z（2）tk（κtk+1- κtk）+N- 1Xk=0Ztk+1tk（Z（2）s- Z（2）tk）dκsdsds：=R（2，a）t，t+R（2，b）t，t。然后我们声明Z（2）t的两个性质：（a）它在和s中均匀地具有有限的二阶矩∈ [0，T]，即sup∈[0,1]支持∈[0，T]E[（Z（2）T）]<∞;（b）其增量为L:E[（Z（2）u）中的Lipschitz- Z（2）v）]≤ K | u- v |。（A.4）这些由λ（·）的有界性和Xπ（0）的公式（3.13）在powerutility的情况下保证。总的来说（效用），在适当的假设下，关于Z（2）皮重的两个性质也满足要求，更多详情参见【Fouque和Hu，2018，引理A.6】。现在我们继续分析R（2，a）t和R（2，b）t，t:ER（2，a）t，t≤√N- 1Xk=0Z（2）tk[E（κtk）+E（κtk+1）]1/2≤ 2N sups∈[t，t]Z（2）ssups公司∈kκskand的顺序是o(√）对于引理A.1（i）固定的任何N。对于第二项，使用（A.4）和Dκs为（或高于）O级的事实(√），一个计算机R（2，b）t，t≤ K√N- 1Xk=0Ztk+1tkZ（2）s- Z（2）tkds公司≤ K√N- 1Xk=0Ztk+1tk（s- tk）1/2ds=K√√N、 和索赔→0-1/2ER（1，b）t，t≤K√N表示任何N。

因此，通过让N→ ∞.j=3的（A.3）证明是通过将与前一种情况相同的参数重复到Z（3）s=（D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s），这也满足了Z（3）s=K的两个性质Xπ（0）s1.-γ、 和至√ρD（λ（Y，Hs）- λ） 这很有秩序√.参考文献J-M、 Bardet、G.Lang、G.Oppenheim、A.Philippe、A和M.S.Taqqu。长期依赖进程的生成器：一项调查。《长程依赖的理论与应用》，第579–6232003页。F、 Biagini、Y.Hu、B.Oksendal和T.Zhang。分数布朗运动的随机微积分及其应用。施普林格科学与商业媒体，2008年。P、 Cheridito、H.Kawaguchi和M.Maejima。分数ornstein-uhlenbeck过程。《概率电子期刊》，8（3）：1–142003。五十、 库丁。分数布朗运动的随机微积分导论。S’emin airede Probabilit’S XL，第3-65页。Springer，2007年。J、 -P.Fouque和R.Hu。缓慢变化随机环境下投资组合优化的渐近最优策略。《控制与优化杂志》，5（3），2017a。J、 -P.Foukue a和R.Hu。分数随机环境下的最优投资组合。arXiv预印本XIV:1703.069692017b。J、 -P.Foukue a和R.Hu。快速均值回复分数随机环境下的最优投资组合。《暹罗金融数学杂志》，2018年。显示。J、 -P.Fouque、G.Papanicolaou和R.Sircar。具有随机波动性的金融市场中的衍生品。剑桥大学校长，2000年。J、 -P.Fouque、G.Papanicola ou和R.Sircar。随机波动率与ε鞅分解。《数学趋势》，Birkhauser《数学金融研讨会论文集》，第152-161页。斯普林格，2001年。J、 -P.Fouke、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。标普500指数波动的短期尺度。

《计算金融杂志》，6（4）：1-242003年。J、 -P.Fouke、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动性。剑桥大学预科，2011年。J、 -P.Fouke、R.Sircar和T.Zariphopoulou。投资组合优化&随机波动渐近。数学金融，2015年。C、 Frei和M.Schweizer。具有随机相关性的两种布朗环境中的指数效用差异估值。《应用概率的进展》，40（2）：401–4232008。J、 Garnier和K.Solna。快变长记忆随机波动下的期权定价。arXiv预印本arXiv:1604.001052016。J、 Garnier和K.Solna。分数随机波动对black-scholes公式的修正。《金融数学杂志》，8（1），2017a。J、 Garnie r和K.Solna。快速var和粗糙随机波动下的期权定价。arXiv预印本XIV:1707.006102017b。J、 Gatheral、T.Ja isson、a和M.Rosenbaum。波动率为roug h.arXiv预印本arXiv:1410.33942014。R、 胡。快速均值回复随机环境中的渐近最优投资组合。arXiv预印本XIV:1803.077202018a。R、 胡。多尺度随机环境中投资组合优化问题的渐近方法，2018b。正在准备中。T、 Kaarakka和P.Salminen。关于分数ornstein-uhlenbeck过程。《随机分析通讯》，5（1）：121–133，2011年。B、 B.Mandelbrot和J.W.Van Ness。分数布朗运动，分数噪声及其应用。《暹罗评论》，10（4）：422–437，1968年。R、 C.默顿。不确定条件下的生命周期por tfolio选择：连续时间情况。《经济学与统计学评论》，51:247–2571969。R、 C.默顿。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。《经济理论杂志》，3（4）：373-4131971。M、 德黑兰。

不完全市场中一些效用最大化问题的显式解。随机过程及其应用，114（1）：109–1252004。T、 扎里波普劳。具有非线性股票动态的最优投资和消费模型。运筹学的数学方法，50（2）：271–2961999。