美式看跌期权的最优行使边界分析

设Uδ（t，X）=Yδ（t，X）- P（T- δ、 X）。然后，我们推导出Uδ（t，X）满足变分不等式(-t型- 五十） Uδ（t，X）=Θδ（X），如果Uδ（t，X）>0，对于（t，X）∈ OhmT-δ;(-t型- 五十） Uδ（t，X）≥ Θδ（X），如果Uδ（t，X）=0，对于（t，X）∈ OhmT-δ;Uδ（T- δ、 X）=0，对于X∈ R+，（8）其中Θδ（·）是欧式期权的希腊θ：Θδ（X）=-tP（T）- δ、 X）。有趣的是，我们观察到上述变分不等式（8）也对应于一个辅助最优停止问题δ（t，Xt）=ess supτ∈RtE“Zτte-r（s）-t） Θδ（Xs）ds | Ft#。（9） 其最佳停止时间τ0，*在（6）中给出。进而，我们得到了交付滞后δ（t，Xt）=P（t）的美式看跌期权的分解公式-δ、 Xt）+Uδ（t，Xt），（10）备注3最佳停止公式（9）的一个优点是它没有最终支付，但只有运行支付，这将有助于我们分析相关的最佳运动边界。在本文的其余部分，我们将重点分析最优停止问题（9）及其相关的变分不等式（8）。要求解（8），请引入变换X=ln X- ln K，τ=T- δ -t、 u（τ，x）=uδ（t，x），θ（x）=Θδ（x）。（11） 因此，（8）减少到(τ-eL）u（t，x）=θ（x），如果u（τ，x）>0，则为（τ，x）∈ NT公司-δ;(τ-eL）u（t，x）≥ θ（x），如果u（τ，x）=0，则为r（τ，x）∈ NT公司-δ;u（0，x）=0，对于x∈ R、 （12）其中NT-δ=（0，T- δ]×R，andeL=σxx号+r- q-σx个- r、 此外，从位置2可以看出，u∈ W2,1p，loc（NT-δ) ∩ C（NT-δ） forp公司≥ 1和徐∈ C（NT-δ).对于后一种用途，我们给出了希腊式Θδ（X）的一些基本性质，其证明见附录A。命题4让θ（X）=Θδ（X），X=ln X- 那么，以下断言成立：（i）存在唯一的过零点X∈ R使得θ（X）=0。

此外，对于任何x<x的情况，θ（x）<0，对于任何x>x的情况，θ（x）>0，以及θ′（x）>0。（ii）对于任何x<x，θ（x）→ qKex公司- rK为δ→ 0+.3永续情形及其最优练习边界我们考虑最优停止问题（9）的永续版本，其解允许显式表达式（参见下文（1、9）和（20））。为了保持符号的简单性，我们抑制了uδ和θδ中的上标δ，并使用u和θ代替。同样的惯例适用于第4节中的最佳练习边界x（τ）。该问题也与第4节中的最佳练习边界的渐近分析密切相关。对于任何F-停止时间τ≥ t、 我们认为是（9）的永久版本，即Uδ∞（Xt）=ess supτ≥tE“ZτtE-r（s）-t） Θδ（Xs）ds | Ft#。（13） 使用第2节中类似的参数，我们得到了Uδ∞（十） =u∞（x） ，其中x=ln x-ln K和u∞（·）是静态变分不等式的唯一有界强解(-埃卢∞（x） =θ（x），如果u∞（x） >0，对于x∈ R-埃卢∞（十）≥ θ（x），如果u∞（x） =0，对于x∈ R、 （14）带u∞∈ Wp，p位置（R）≥ 1和（u∞)′∈ C（R）。从Pro位置4，我们知道{θ（x）≥ 0}={x≥ 十} 。在此领域，我们考虑以下PDE，-弱电∞（x） =θ（x）>0，x∈ （十）+∞) v∞（十） =0。（15） 上述PDE具有唯一的经典解v∈ C（X+∞) ∩ C[X+∞).强最大值原理（见[15]）意味着v>0 in（X+∞).此外，很明显，u∞满意度-埃卢∞（十）≥ θ（x），x∈ （十）+∞) u∞（十）≥ 使用比较原理（见[16]o或[23]）求PDEin（X）的强解+∞), 我们认为∞≥ v∞> 0英寸（X+∞). 因此，它遵循t{x>x} {u∞（x） >0}和{x≤ X} {u∞（x） =0}。（16） 然后，我们可以确定最佳运动边界X asX=inf{X∈ R：u∞（x） >0}。（17） u的连续性∞（·）表示u∞（x） =0表示x≤ 因此，玩家将在(-∞, 十] 。

此外，根据（16）和（17），X≤ 十、 下一个命题将变分不等式（14）与自由边界问题联系起来，这反过来又提供了u的显式表达式∞（·）和X。请注意，从X的定义来看，X可能=-∞. 然而，我们将在提案5中排除这种情况。命题5对于x>x，它认为u∞（x） >0。此外，（u∞（·），X）是自由边界问题的唯一有界解-埃卢∞（x） =θ（x），对于x>x；u∞（x） =0，对于x≤ 十、（u）∞)′（十） =0，（平滑粘贴条件），（18）和s在is fiESX>X>-∞.证据第1步。我们证明（u∞（·），X）满足自由边界问题（18）。为此，我们首先展示∞（x） >0表示x>x。自u起∞（x） >0 forx>x，我们只需要显示u∞> （X，X）上的0。如果没有t，则设X，X∈ [X，X]使X<X，u∞（x） =u∞（x） =0和u∞（x） >0表示任意x∈ （x，x）。利用变分不等式（14）和命题4，我们得到(-埃卢∞（x） =θ（x）≤ 0，对于x∈ （x，x）；u∞（x） =u∞（x） =0。然后，比较原则意味着u∞（十）≤ x为0∈ （x，x），这是一个矛盾。为了改善s平滑状态，我们观察到（u∞)′是连续的∞（x） =0表示x≤ 十、 因此，（u∞)′（X+0）=（u∞)′（十）- 0）=0，和（u）∞（·），X）实际上是自由边界问题（18）。第2步。我们证明（u∞（·），X）实际上是（18）的唯一解决方案。为此，我们首先表明，如果（u∞,1（·），X）是任何解（18），那么X<X是必要的。

如果没有t，则根据（18）和命题4，我们有(-埃卢∞,1（x）=θ（x）>0，对于x>x≥十、u∞,1（X）=（u∞,1） ′（X）=0。原则上的强比较（见[15]）意味着∞,1（x）>0，因为x>x。接下来我们比较u∞,1（x）带辅助功能W（x）=u∞,1（X+1）w（X；X，X+1）在区间（X，X+1）内，其中w（X；a，b）=eλ+（X-（a）- eλ-（十）-a）eλ+（b-（a）- eλ-（b）-a） ，带λ+和λ-分别为EL的正负特征根：∑λ+r- q-σλ - r=0。很明显，w（a；a，b）=0，w（b；a，b）=1，w′（a；a，b）>0，-eLw=0英寸（a，b）。反过来(-eLw（x）=0<-埃卢∞,1（x），对于x∈ （X，X+1）；u∞,1（X）=w（X），u∞,1（X+1）=w（X+1）。因此，比较原则意味着∞,1（x）≥ w（x）代表x∈ （X，X+1）。反过来，（u∞,1） ′（X）≥ w′（X）>0，这与平滑粘贴条件（u）相反∞,1） ′（X）=0。现在我们显示（u∞（·），X）是（18）的唯一解决方案。如果没有，让（u∞, 1，X）是自由边界问题（18）的另一个解。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设X<X<X。立即检查-埃卢∞, 1（x）=θ（x）≤ θ（x）I{x>x}=-埃卢∞（x） ，对于x∈ （十），∞);u∞, 1（X）=u∞（十） =0；（u）∞, 1） ′（X）=（u∞)′（十） =0，其中我们对任何X使用了θ（X）<0的事实≤ X<X。比较原则意味着u∞, 1（x）≤ u∞（x） 特别是，u∞, 1（x）≤u∞（x） =0表示x∈ [X，X]。另一方面，将泰勒展开应用于u∞,1（x）yieldsu∞,1（x）=u′\'∞,1（X+0）（X- 十） （1+o（1））=-θ（X）σ（X- 十） （1+o（1）），这进一步意味着∞,1（x）>0，如果x接近于x。因此，我们得到一个矛盾。第3步。我们证明X>X>- ∞.

由于我们已经在步骤2中证明了X<X，因此有必要证明X>-∞.事实上，利用自由边界公式（18），我们进一步得出其解必须具有∞（x） =CKeλ-x个- p（x），对于x>x，其中要确定常数C，λ-是特征方程foreL的负根，p（x）=p（T-δ、 x）是欧洲认沽期权的价格（参见（32），t=t- δ).为了确定常数C和最佳运动边界x，我们利用（18）中的边界和平滑粘贴条件，得到（CKeλ-X=p（X）=Ke公司-rδN(-d）- KeX公司-qδN(-d）;CKλ-eλ-X=p′（X）=-KeX公司-qδN(-d） ，其中，除x替换为x外，d与din（31）相同（符号见附录A）。因此，我们得到∞（x） =（p（x）eλ-（十）-X）- p（x），for x>x；x为0≤ 十、 （19）且Xis是代数方程l（X）=λ的过零点-e-rδN(-d） +（1- λ-)前任-qδN(-d） =0。（20） 接下来，我们证明了l（x）=0的过零点存在且唯一。很明显，当x→ -∞,d、 d→ -∞, N个(-d） ，N(-d）→ 1，l（x）→ λ-e-rδ+o（1）<0。因此，如果x足够小，l（x）为负。另一方面，通过（3 4）和（35），我们得到了d，d→ +∞, N个(-d） =N′(-d） d1+o（1）, N个(-d） =N′(-d） d1+o（1）,作为x→ +∞, 因此，l（x）erδN′(-d） =λ-d1+o（1）+1.- λ-d1+o（1）=d+λ-（d）- d） dd公司1+o（1）=d1+o（1）.因此，只要x足够大，l（x）就是正的。因此，我们推断至少存在一个l（x）=0的Zero交叉点。由于自由边界问题（18）解的唯一性，我们知道代数方程（20）的零点也是唯一的，由此我们得出结论X>-∞.4最优运动边界及其渐近分析在所有的准备工作中，我们准备好证明定理1（ii）和（iii）。

为了便于说明，我们首先通过下图1和图2演示了最佳练习边界。τxoXER CRx（τ）Xu=0 u>0图1：坐标（τ，x）下的最佳运动边界x（τ）。tXoT- δoTER CRXδ（t）oKeXoKeXUδ=0 Uδ>0图2：坐标（t，X）下的最佳运动边界Xδ（t）。图1在坐标（τ，x）下，图2在坐标（t，x）下，当eτ=t时- δ - t和x=ln x- lnk（参见变换（11））。图2说明了整个区域OhmT-δ被曲线Xδ（t）分为两部分。在左侧区域，投资者将行使期权（时滞δ），在右侧区域，投资者将持有期权。因此，Xδ（t）被称为最佳运动边界。如果我们用x（·）表示坐标（τ，x）下的最佳练习边界，如图1所示，那么我们就得到了hipxδ（t）=K exp{x（t- δ - t） }。（21）4.1定理1（ii）的证明由于备注3，我们将主要研究u（·，·）的变分不等式（12）。召回NT-δ=（0，T- δ]×R。确定exer-c-ise域ER和continuation域CR-asER={（τ，x）∈ NT公司-δ： u（τ，x）=0}；CR={（τ，x）∈ NT公司-δ： u（τ，x）>0}。引理6让X和X分别在命题4和（17）中给出。然后，它认为{x≤X} 急诊室 {x≤ X}和{X>X} CR公司 {x>x}。证据为了证明呃 {x≤ 十} ，我们比较u（·，·）和u∞（·），后者是变量不等式的解（14）。请注意(τ-eL）u∞（x） =θ（x），如果u∞（x） >0，for（τ，x）∈ NT公司-δ;(τ-eL）u∞（十）≥ θ（x），如果u∞（x） =0，for（τ，x）∈ NT公司-δ;u∞（十）≥ 0=u（0，x），对于x∈ R、 NT域上变分不等式（12）的比较原理-δ则意味着u（τ，x）≤ u∞（x） 。但是如果x≤ 十、 根据自由边界问题（18），u∞（x） =0。反过来，u（τ，x）=0。

这证明了{x≤ X}呃。重复上述参数以比较u和v∞在域{x中≥ X}，其中v∞是PDE（15）的经典解，我们得到了u≥ v∞> 在域{x>x}中为0，则{x>x} CR.直觉上，当θ（x）为正（即x>x）时，（9）中的持续收益也是正的，因此投资者将持有期权。相反，当θ（x）为非正时（即x≤十） ，有人可能会认为投资者会行使选择权来阻止她的损失。然而，a-bove引理表明，对于x≤ 十、 投资者可能仍持有该期权，并等待稍后的持续支付重新弥补之前的服务水平。接下来，我们确定最佳运动边界x（τ）asx（τ）=inf{x∈ R:u（τ，x）>0}，（22）对于任何τ∈ （0，T- δ]. 引理6得出x（τ）∈ [X，X]，通过u（·，·）的连续性，X的u（τ，X）=0≤ x（τ）。τ引理7∈ （0，T- δ] ，letx（τ）=sup{x∈ R:u（τ，x）=0}。那么，x（τ）=x（τ）。因此，x（τ）是分离NT的唯一曲线-δ使得x的u（τ，x）=0≤ x的x（τ）和u（τ，x）>0≥ x（τ）。证据x（τ）的定义意味着x（τ）≤ x（τ）和u（τ，x）>0 forx≥ x（τ）。此外，引理6得出x（τ）∈ [X，X]。假设x（τ*) < x（τ*) 对于某些τ*∈ （0，T-δ]. u的连续性意味着u（τ*, x（τ*)) = u（τ*, x（τ*)) = 0、设x*是u（τ）的最大点*, ·) 区间[x（τ*), x（τ*)]. 假设u（τ*, x个*) > 0; 否则u（τ*, x）≡ 0在区间[x（τ*), x（τ*)], 这与x的定义相矛盾*(τ). 自Ceu（τ*, x个*) > 0, xu（τ*, x个*) = 0和xxu（τ*, x个*) ≤ 0，我们有-eLu（τ*, x个*) = -σxxu（τ*, x个*) -r- q-σxu（τ*, x个*) + ru（τ*, x个*) > 另一方面，根据u的连续性，存在（τ）的邻域*, x个*) 使得u>0，所以τu-eLu=θ。

反过来-eLu（τ*, x个*) = θ（x*) - τu（τ*, x个*).自从τu（τ，x）=-tUδ（t，X）=-tVδ（t，X）≥ 0，（23）在前两个等式中，我们对变换（1）和分解（10）进行了计算，（7）在第一个不等式中，我们进一步得到-eLu（τ*, x个*) ≤ θ（x*) < 这是一个矛盾。因此，我们必须有x（τ*) = x（τ*).根据上述引理，我们得出运动区和连续区等价于r={（τ，x）∈ NT公司-δ： x个≤ x（τ）}；CR={（τ，x）∈ NT公司-δ： x>x（τ）}。我们回到Theo rem 1（ii）的证明。请注意，它相当于以下关于x（·）的命题。命题8设x（τ）为（22）中给出的最佳运动边界。然后，以下断言成立：（i）单调性：x（τ）在τ中严格递减；（ii）位置：x（τ）与起点x（0）=limτ→0+x（τ）=x；（三）规律性：x（·）∈ C∞（0，T- δ]和u（·，·）∈ C∞（{x≥ x（τ）：τ∈（0，T- δ ]}).证据（i） 我们首先表明x（τ）是非累加的。对于任何0≤ τ< τ≤T- δ、 然后我们得到0=u（τ，x（τ））≥ u（τ，x（τ））≥ 因此，u（τ，x（τ））=u（τ，x（τ））=0，结合引理7，我们推断x（τ）≥ x（τ），即x（τ）是非递增的。如果x（τ）不是严格的去折痕，则存在x∈ [X，X]和0≤ τ<τ≤ T- δ使得x（τ）=xf对于任何τ∈ [τ, τ]. 参见下面的图3。请注意xu（τ，x）=0，此外，τ对于任何τ，xu（τ，x）=0∈ [τ, τ].另一方面，我们观察到在域[τ，τ]×（x，x+1）中，u（·，·）满足((τ-eL）u（τ，x）=θ（x），对于（τ，x）∈ [τ，τ]×（x，x+1）；u（τ，x）=0，对于τ∈ [τ, τ].反过来τu（·，·）满足((τ-eL）τu（τ，x）=τθ（x）=0，对于（τ，x）∈ [τ，τ]×（x，x+1）；τu（τ，x）=0，对于τ∈ [τ, τ].最近，[11]提供了一个新的概率论证来证明自由边界是严格单调的。

我们感谢裁判指出。对于任意x>x，自（τ，x）∈ CR，u（τ，x）>0，u（0，x）=0。因此，存在τ∈ （0，τ）使得τu（τ，x）>0。然而，请注意τu≥ 0（参见（23）），因此，强大的最大pr原理（参见[15]）意味着CR.Tog乙醚中的τu>0对于任何τ，τu（τ，x）=0∈ [τ，τ]，我们推断x个使用Hopf引理，τu（τ，x）>0（见[15]）。但这与τ对于任何τ，xu（τ，x）=0∈ [τ, τ].（ii）很明显x（0）≤引理6中的X，因此证明X（0）是有效的≥ 十、 如果不是，则在域中（0，T- δ] ×（x（0），x） CR，我们认为((τ-eL）u（τ，x）=θ（x）<0，对于（τ，x）∈ （0，T- δ] ×（x（0），x）；u（0，x）=0，对于x∈ （x（0），x）。然后τu（0，x）=eLu（0，x）+θ（x）=θ（x）<0，这与τu≥ 0英寸（23）。（iii）我们首先证明x（τ）是连续的。

如果没有，则存在tsτ∈（0，T- δ） 和X≤ x<x≤ X使得X（τ+0）=X和X（τ- 0）=x。见图3。在域中（τ，T- δ] ×（x，x） CR，我们认为((τ-eL）u（τ，x）=θ（x）<0，对于（τ，x）∈ [τ，T- δ] ×（x，x）；u（τ，x）=0，对于x∈ （x，x）。然后τu（τ，x）=eLu（τ，x）+θ（x）=θ（x）<0，这与τu≥ 0英寸（23）。最后，自τu≥ 0时，最佳运动边界x（τ）和值函数u（·，·）在延拓区域中的平滑度遵循[17]中使用的类似参数。τxoxoxoxoxoτoτERu=0CRu>0x（τ）图3：非严格递减和不连续自由边界x（τ）。4.2定理1（iii）的证明：大成熟度的渐近行为我们研究了最优运动边界y x（τ）和值函数u（τ，x）作为τ的渐近行为→ ∞, 在turn中证明了定理1（iii），当t→ ∞.为此，我们考虑了受r，U扰动的辅助最优停止时间问题∞（Xt）=ess supτ≥tE“ZτtE-r（s）-t） （Θ（Xs）- r）ds | Ft#，（24）对于任何F-停止时间τ≥ t和任意≥ 这将有助于我们获得最佳练习边界x（τ）的下界，从而得到最佳练习边界x（τ）的渐近行为。按照第3节中使用的类似论点，我们得出U∞（x） =U∞（十） ，其中X=ln X-lnk，u（·）是平稳变分不等式的唯一强解(-埃卢∞（x） =θ（x）- r，如果u∞（x） >0，对于x∈ R-埃卢∞（十）≥ θ（x）- r，如果u∞（x） =0，对于x∈ R、 （25）带u∞∈ Wp，p位置（R）≥ 1和（u）∞)′∈ C（R）。与变分不等式（14）相比，如何将变分不等式（25）化为自由边界问题并获得其显式解还不清楚。