美式看跌期权的最优行使边界分析

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英文标题：
《Analysis of the optimal exercise boundary of American put options with
  delivery lags》
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作者：
Gechun Liang, Zhou Yang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  A make-your-mind-up option is an American derivative with delivery lags. We show that its put option can be decomposed as a European put and a new type of American-style derivative. The latter is an option for which the investor receives the Greek Theta of the corresponding European option as the running payoff, and decides an optimal stopping time to terminate the contract. Based on this decomposition and using free boundary techniques, we show that the associated optimal exercise boundary exists and is a strictly increasing and smooth curve, and analyze the asymptotic behavior of the value function and the optimal exercise boundary for both large maturity and small time lag.
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中文摘要：
一个让你下定决心的选择是一种交付滞后的美国衍生品。我们证明了其看跌期权可以分解为一种欧式看跌期权和一种新型的美式衍生工具。后者是一种期权，投资者获得相应欧洲期权的希腊θ作为运行回报，并决定终止合同的最佳停止时间。基于此分解，利用自由边界技术，我们证明了相关的最优执行边界存在，并且是一条严格递增的光滑曲线，并分析了值函数和最优执行边界在大成熟度和小时滞条件下的渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Analysis_of_the_optimal_exercise_boundary_of_American_put_options_with_delivery_lags.pdf (323.53 KB)

2022-6-10 02:12:29 上传

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关键词：看跌期权 Quantitative Optimization mathematics QUANTITATIV

具有交割滞后的美国看跌期权最优行权边界分析*梁格春+周扬+AbstractA make your mind up option是一款美国衍生产品，提供送货服务。我们证明了其看跌期权可以分解为一种欧式看跌期权和一种新型的美式衍生工具。后者是一种期权，投资者收到相应欧洲期权的希腊θ作为持续支付，并决定终止合同的最佳停止时间。基于此分解，利用自由边界技术，我们证明了相关的最优exerciseboundary存在，并且是一个严格递增的光滑曲线，并分析了值函数和最优exerciseboundary在大成熟度和小时滞条件下的渐近行为。关键词：下定决心选择；早期行权溢价分解；最佳运动边界；自由边界；渐近行为。数学学科分类（2010）：60G40、91A05、91G80、93E20.1简介除了少数例外，最佳停止时间问题模型假设玩家能够在决定停止后立即终止潜在的随机动态，或在决定投资后毫不延迟地将新项目上线。事实上，停止随机动力学和启动新项目都需要时间。在本文中，我们考虑了一类最优停止问题，其中在参与者的决策时间和支付时间之间存在时滞*我们感谢匿名裁判的意见和建议，他们的意见和建议显著改进了我们的论文，尤其是定理1.1（i）。我们感谢米哈伊尔·泽沃斯向我们介绍这个主题。

我们还感谢Tiziano De Angelis与我们分享了他对使用概率参数的自由边界的大时间行为的见解（和详细证明）。这项工作得到了中国国家自然科学基金会（批准号117711581091）和广东基础与应用基础研究基金会（批准号2019A1515011338）的支持。+英国考文垂华威大学统计系。；电子邮件：g。liang@warwick.ac.uk华南师范大学数学科学学院，广州510631；电子邮件：yangzhou@scnu.edu.cnis交付。特别是，我们研究了交割滞后的美式看跌期权。在实践中，期权持有人决定行使期权的时间与支付的时间之间可能存在时滞。此类交付延迟可能在财务合同中有所规定，其中必须在执行前做出执行决定。它们被称为“做决定的选项”（参见[18]第6章和[22]第9章）。例如，期权持有人必须在执行前给予一段通知期，而且她不能改变主意。另一方面，即使是标准的美国衍生品，当金融市场存在流动性约束时，期权持有人也可能无法立即行使期权。设W是完全概率空间上的一维布朗运动(Ohm, F、 P）。用F={Ft}t表示≥0由W产生的强化过滤。设一个常数T>0表示成熟度，另一个常数δ∈ [0，T）表示时滞。

玩家的目标是选择最佳停止时间τ0，*∈ Rtin为了最大化贴现预期收益δt=ess supτ∈RTHE公司-r（τ+δ-t） （K）- Xτ+δ）+{τ+δ<T}+e-r（T-t） （K）- XT）+{τ+δ≥T}| Fti，T∈ [0，T]，（1）其中，Yδ表示价值过程，F-适应过程X建模股票价格，常数K>0表示执行价格，rt：={τ：Ohm → [t，t]和{τ≤ s}∈ Fsfor任何s∈ [t，t]}。请注意，δ=0对应于美国期权的一类最优停止问题（例如，参见[13]和[21]），因此本文主要关注δ>0的情况下的问题。对于δ>0，如果玩家决定在某个停止时间τ停止，那么支付将在τ+δ而不是τ交付，因此支付的交付存在时滞。我们还注意到，问题（1）对于t来说是微不足道的∈ （T- δ、 因为，在这种情况下，预期收益与τ的选择无关，玩家可以简单地选择最佳停止时间作为到期时间T。因此，我们将重点放在案例上∈ [0，T- δ] 整个报纸。尽管文献中对这类具有交付滞后s的最优停止问题进行了充分的研究（见[1]和[19]，其中有更多参考文献），但对于小时滞δ和大成熟度T对应的最优运动边界及其症状行为知之甚少。直观地说，当δ↓ 0，当T↑ ∞.

本文的目的是利用free边界技术证明上述行为是一种交感行为。更具体地说，在几何布朗运动设置下，我们证明了以下结果。定理1假设s股票价格X跟随DXS/Xs=（r- q） ds+σdWs，Xt=X，其中利率r>0，股息率q∈ [0，r]和波动率σ>0都是常数。然后，以下断言成立：（i）值Yδt=Vδ（t，Xt）相对于δ减小，而且V（t，X）≥ Vδ（t，X）≥ V（t，X）-K1.- e-rδ, t型∈ [0，T- δ] ，（2）式中，Vδ（·，·）和V（·，·）分别表示有和无交付滞后的美式看跌期权的价值函数。此外，Vδ（t，X）相对于t减小。（ii）存在最佳运动边界Xδ（t）∈ C∞[0，T- δ） 分离练习区和延续区（参见（21）和（22）））。此外，它在t中急剧增加，终点xδ（t- δ） =限制→（T-δ)-Xδ（t）=KeX，其中X在命题4中给出。（iii）最佳运动边界Xδ（t）→ 凯克斯T→ ∞ 对于X givenin（17），so KeXis是最佳运动边界Xδ（t）的渐近线。此外，Xδ（t）→ X（t）表示任何t∈ [0，T）asδ→ 0，其中X（t）表示相应的美式看跌期权的最佳行使边界，无交付滞后。为了证明定理1，我们需要首先解决最优停止问题m（1）。一个基本的想法是引入一个新的障碍（支付）过程，即原始预期支付的投影（条件预期）。要塞∈ [0，T- δ] ，定义为δt=Ee-rδ（K- Xt+δ）+英尺, （3） 这是相应的欧洲看跌期权的时间t值，成熟度为t+δ。用P（·，·）表示到期日为T的欧洲看跌期权的价值函数。

那么，（3）的时间均匀性意味着^Yδt=P（t-δ、 Xt），条件预期的塔特性进一步屈服δt=Vδ（t，Xt）=ess supτ∈RTHE公司-r（（τ∧（T-δ))-t） P（t- δ、 Xτ∧（T-δ） ）| Fti（4）带x∧ y=最小值（x，y）和t∈ [0，T- δ]. 因此，我们将原问题（1）转化为一个标准的最优停止问题（无交付），以欧式期权价格作为新的障碍过程。因此，本文的其余部分将在第2节中重点讨论（4）a及其相应的变分不等式（5）。q≤ r是一个技术假设，它确保命题4中的结论（i）。关于交付滞后的最优储蓄的现有文献（例如，见[1]和[19]）通常假设收益是基础资产X的线性函数，这当然排除了美国的收益。这种简化假设的结果是，新的o障碍^Yδ在X中也是线性的，这是根据条件期望的线性得出的，因此变量不等式中的障碍函数也是线性函数。因此，有无交付滞后的最优停止问题的处理在其模型中本质上是相同的。在我们的案例中，由于美式支付只是标的资产X的分段线性函数（在K处有一个扭结点），该扭结点通过条件预期传播，导致非线性障碍函数P（T-δ, ·).这使我们的问题不同于交付滞后的现有最优停止问题，并使相应的最优执行边界的分析更具挑战性。我们首先为交付滞后的美国看跌期权开发了一个早期行权溢价分解公式（见（10））。这有助于我们克服将欧式期权价格作为修改后的支付进行处理的困难。

我们证明，具有交割滞后的美式看跌期权可以分解为欧式看跌期权，而另一种美式衍生品可以分解为辅助最优停止问题（见（9））。后者是一种期权，投资者接受相应欧洲期权的希腊θ作为RunningPayoff，并决定终止合同的最佳停止时间。分解公式（10）也可以被视为标准美式期权早期行使溢价的对应形式，对于分析相关的最优行使边界至关重要。然后，我们使用自由边界技术详细分析了相关的最佳运动边界。这里的一个基本问题是价值函数和股票价格支付之间的差异的非单调性（类似现象也出现在【10】中）。因此，事先甚至不清楚是否存在最佳运动边界。这与标准的美式期权形成对比，美式期权的价值函数（受支付函数的约束）相对于股价是单调的，因此可以很容易地将停止区域和继续区域分开。借助于辅助最优停止问题（9）及其相关的变分不等式（8），我们证明了最优执行边界存在，并且是一条严格递增的光滑曲线，其终点与相应欧式期权的gree k和ta的过零点密切相关。直觉上，当θ为正时，新的美国式衍生品的持续收益也为正，因此投资者将持有继续获得正θ的期权。相反，当θ为负值时，人们可能会认为投资者会行使期权来止损。

然而，我们表明，当θ为负值但不太大时，投资者可能仍然持有期权，等待θ稍后反弹，以弥补之前的损失。我们通过确定最佳运动边界的渐近线，进一步量化了θ的负值，结果证明这是相应问题的最佳运动边界。本文的组织结构如下。在第2节中，我们证明了定理1（i），并介绍了公式的早期消费税溢价分解。然后，我们在第3节中考虑了相应的永续问题，在第4节中，我们证明了定理1（ii）和（iii）。附录中提供了有关Gr e ekTheta性能的一些技术证明。2变分不等式特征我们首先通过相关的变分不等式解决最优停止问题（4）(-t型- 五十） Vδ（t，X）=0，如果Vδ（t，X）>P（t- δ、 X），对于（t，X）∈ OhmT-δ;(-t型- 五十） Vδ（t，X）≥ 0，如果Vδ（t，X）=P（t- δ、 X），对于（t，X）∈ OhmT-δ;Vδ（T- δ、 X）=P（T- δ、 X），对于X∈ R+，（5）带OhmT-δ=[0，T- δ）×R+，由Black-Scholesdi微分算子给出的算子L=σXXX+（r- q） X个十、- r、 注意，如果δ=0，P（T- δ、 X）=（K- 十） +，变分不等式（5）简化为美式看跌期权的标准变分不等式。另一方面，由于变分不等式（5）具有光滑系数和障碍，其（强）解Vδ（·，·）表征了最优停止表m（4）的值函数和最优停止规则。命题2最优停止问题（4）的值函数Vδ（·，·）是变分不等式（5）的唯一有界强解，最优停止规则由τ0给出，*= inf{s∈ [t，t- δ] ：Vδ（s，Xs）=P（T- δ、 Xs）}∧ T

（6） 此外，Vδ∈ W2,1p，位置(OhmT-δ) ∩ C类(OhmT-δ） 对于任何p≥ 1，和xVδ∈ C类(OhmT-δ).此处为W2,1p，loc(OhmT-δ） 是其对任何紧子集的限制的所有函数的集合Ohm*T-δ OhmT-δ属于W2,1p(Ohm*T-δ） ，其中W2,1p(Ohm*T-δ） 是C的完成∞(Ohm*T-δ） 在规范| | Vδ| | W2,1p下(Ohm*T-δ） =“ZOhm*T-δ（| Vδ| p+|tVδ| p+|xVδ| p+|xxVδ| p）dxdt#p。pr oof遵循[16]第1章或最近的[24]中使用的类似参数，因此省略。2.1定理1（i）的证明在本小节中，我们证明定理1（i）。请注意，下面的论点不依赖于X上的几何布朗运动假设，只要其折扣价格e-（r）-q） txt是一个鞅。我们首先证明了Vδ（·，·）相对于δ的单调性。修复0≤ δ< δ. 对于任意τ∈ Rt，ta keτ=（τ+（δ-δ)) ∧ T由于δ，δ，T a重构体，我们知道τ∈ 此外，很容易检查{τ+δ≥T}={τ+δ≥ T}安德-r（τ+δ-t） （K）-Xτ+δ）+{τ+δ<T}=e-r（τ+δ-t） （K）-Xτ+δ）+{τ+δ<T}。因此，从（1）中，我们知道Yδt≥ Yδ和Vδ（·，·）与δ相关。对于（2）中的第二个不等式，对于任何τ∈ Rt，ta ke bτ=（τ+δ）∧T注意bτ∈ FτandeXt=e-（r）-q） txt是一个鞅。因此，Ee-rbτ（K- Xbτ）+英尺= Ee-rbτK- e（r-q） bτeXbτ+英尺≥ Ee-rbτK- e（r-q） bτeXτ+英尺≥ Ee-rbτK- e-qτeXτ+英尺,其中，第一个不平等源自以下事实：-rbτK- e（r-q） bτx+对于x是凸的，对于Fτ是可测的，因此我们可以对Fτ取条件期望，并应用Jense-n不等式。对于第二个不等式，我们使用了q≥ 0和bτ≥ τ.

反过来，Ee-rτ（K- Xτ）+英尺= Ee-rbτK- e-qτeXτ++e-rτ（K- Xτ）+-e-rbτK- e-rτXτ+英尺≤ Ee-rbτ（K- Xbτ）+英尺+ KE公司e-rτ- e-rbτ英尺≤ Ee-r（（τ+δ）∧T）K- X（τ+δ）∧T+英尺+ K1.- e-rδ,我们使用了上述结论和事实that（x+y）+-x个+≤ 第一行质量为y+，τ≥ 0和bτ- τ ≤ 第二个不等式中的δ。直到我们感谢裁判为我们概述了当前的概率证据。请注意，the proof不需要标的资产的几何布朗运动模型，这比我们基于PDE参数的原始证明更一般。现在，我们已经证明了对于任何τ∈ Rt，Ehe-r（τ-t） （K）- Xτ）+{τ<T}+e-r（T-t） （K）- XT）+{τ≥T}| Fti≤ Ehe公司-r（τ+δ-t） （K）- Xτ+δ）+{τ+δ<T}+e-r（T-t） （K）- XT）+{τ+δ≥T}| Fti+K1.- e-rδ.因此，从（1）中，我们得到了（2）中的第二个不等式。最后，我们证明了以下不等式（7），这对于以后分析最优运动边界的性质很重要。tVδ≤ 0 a.e.英寸OhmT-δ. （7） 根据马尔可夫性质和时间均匀性，可以清楚地看出tVδ（t，x）=ess supτ∈热河-r（（τ+δ）∧（T-t） ）（K- X0，x（τ+δ）∧（T-t） ）+| Fti（t，x）∈ OhmT-δ、 其中，no tation X0，X表示状态进程X从初始时间0开始，位置xLet 0≤ t<t≤ T- δ. 对于任意τ∈ R、 取τ=τ∧ （T- δ - t） 。不难检查τ∈ Rand（τ+δ）∧ （T- t） =（τ+δ）∧ （T- t） 。因此，我们推断Vδ（t，x）≥ Vδ（t，x）和Vδ相对于t不增加，这进一步意味着（7）。2.2早期行权溢价分解公式我们推导了带交割的美式看跌期权的分解公式。这种分解公式对于第3节和第4节中的最佳练习边界的分析至关重要。