系统性风险的网络敏感性

平均相对权益损失由以下公式得出：Eloss=PiE*我- Ei（0）PjEprej（5），其中损失是相对于初始预冲击值Eprei计算的。或者，对于动力学的给定步骤t，我们考虑权益的相对损失hi（t）和每家银行的银行间杠杆矩阵∧ij（t）：hi（t）=Ei（0）- Ei（t）Ei（0）（6）∧ij（t）=wi公司→j（0）Ei（0），如果银行j在时间（t）之前未违约- 1） 0否则（7），其中Ei（0）是i的初始权益。假设违约损失为100%，相对权益损失hi（t）的动态方程为：hi（t+1）=min1，hi（t）+NXj=1∧ij（t）[pDj（t+1）- pDj（t）]（8） 式中，pDj（t）=hj（t）eα[hj（t）-1] 是步骤t中银行j的违约概率。控制参数α∈ (0, ∞) 允许从线性债务等级（α=0，意味着违约概率与股权损失成正比）（Bardocia等人，2015）持续切换到最终算法（α→ ∞, i、 例如，只有当股本耗尽时，才会发生违约，否则银行不会传染）（Fur fine，2003）。冲击传播动力学t结束时的平均相对权益损失*is：Eloss=Xi[高（t*) - hi（1）]Ei（0）PjEj（0）（9），其中hi（1）是对i的初始冲击。因此，Eloss不考虑对系统的初始冲击，而只考虑网络对系统损失的影响。我们使用两种停止条件进行模拟：当差值k[h（t）时-h（t- 1） ]E（0）kbecomes小于公差tol=10-5，或当相互作用的数量等于maxiter=10.1031021010.10.20.30.40.50.50.60.60.80.40.520130.00.20.40.60.81.0ElossFigure 2:Eloss（使用线性DebtRank计算）作为链路密度和均匀冲击幅度的函数，对于使用公式（3）构建的2008年（左）和2013年（右）数据，φ=1。

颜色越深（越亮）表示债务级别越高（越小），对应的是更脆弱（弹性）的金融网络。3结果如前所述，我们的操作框架包括构建一个银行间网络集合（使用2008年和2013年的资产负债表数据），然后使用债务冲击传播动力学对每个网络进行压力测试。Elossis是基数为100的集合上过程的平均结果。我们开展的第一项也是最基本的工作重点是研究Cimini等人（2015）的标准能力配置模型，该模型是使用φ=1的公式（3）和变化的网络密度ρ生成的。就初始冲击而言，我们考虑通过将每家银行的权益减少其初始值的分数θ来实现统一冲击，这意味着hi（1）=θi、 图2显示了ρ在0到1之间，θ在0到0.6之间的练习结果。我们看到，Elossis随ρ单调增加。这意味着，当网络变得更加密集时，网络变得更加脆弱，这与Bardocia等人（2017）的发现一致。2008年，我们发现，对于非常小的θ，Elosso的值非常高：网络放大效应非常重要，当初始扰动最小时，它们也可以覆盖整个系统。相反，Eloss随θ减小的主要原因是，初始冲击未包含在Eloss计算中，实际上，该量的上限为1-θ. 最后，通过比较2008年的数据和2013年的数据，我们发现ρ和θ的每种组合的ELOSS都发生了实质性的变化：2013年的网络比2008年更加稳健，尤其是对于小冲击（即使在高密度状态下）（Cimini和Serri，2016）。注意，在本练习中，我们研究了线性债务等级的情况，它对应于等式（8）中的选择α=0。

我们现在进行一个类似的练习，但观察α的不同值。特别是，我们对DebtRank、Fur fine和两者之间的非线性违约概率感兴趣。为此，我们在图3中考虑值α=0、2、4、6.25、6.5、6.75、7，∞. 选择这组参数时，读者可以看到Elossbehavior中的清晰过渡，但同时曲线的数量很小，足以让绘图可读。关于2008年的网络，通常对于小α，我们看到Eloss随ρ增加，并向Eloss=1的最大值收敛-θ. 相比之下，对于网络造成的较大α股权损失，对于非常密集和非常稀疏的网络，α股权损失都非常小，对于中等密度值，α股权损失达到最大值。这两个区域之间的过渡出现在α=5的情况下，对应于高度非线性的违约概率。Moving1031021011000.00.10.20.30.40.50.6Eloss20081031021011002013=0.0=2.0=4.0=6.25=6.5=6.75=7.0=图3：对于2008年（左）和2013年（右）的数据构建的网络，使用φ=1的等式（3），Elossas是均匀初始冲击固定值θ=0.4的链路密度的函数。不同的曲线对应于方程式（8）中的Debtrank违约概率中不同程度的非线性。对于2013年的网络，在这种情况下，通常也会观察到Elosswithρ的增加行为，但是完全连接网络的ELoss确实取决于α的值。非线性违约概率机制显示出非常温和的损失，符合2013年银行间市场比2008年稳定得多的解释。α=∞ 这种情况是使用带有毛发的均质冲击的技术结果。

为了解决这一问题，除了统一的冲击之外，我们还研究了核心银行或外围银行违约的影响。在后一种情况下，我们将所有银行分为核心银行、中间银行和外围银行（每组约30家银行），根据它们的重建程度，即它们的风险敞口（由于重建过程中使用了安萨茨的能力）。然后，我们随机选择其中一个进行默认设置，并对一个给定组中100多个选项的结果进行平均。如图4所示，对于核心和外围冲击，Elossis的行为明显不同。后者的结果是，在α=0（线性情况）下，风险随密度的增加而增加，或在α>0时降低。另一方面，当冲击岩芯时，我们观察到小密度的风险增加，但在某一点上达到最大值，然后下降（非线性情况）或保持在相同水平（线性情况）。此外，图5显示了在最终情况下回收率如何影响这种依赖性。显然，损失随着R的增加而减少，但总体函数形式没有改变。虽然2008年和2013年在质量上非常相似，但2013年对所有分析的病例都更为稳健。到目前为止，我们已经考虑了使用φ=1的等式（3）生成的核心-外围银行间网络结构。我们现在考虑φ的其他值，直到φ=0的情况，对应于Erd¨os-R'enyi拓扑。图6显示，对于不同类型的初始冲击，网络损失是φ的函数。我们看到，均匀冲击会导致损失，损失随φ增加而增加，因此结构的核心-外围越多，系统就越脆弱。对于不同的网络密度值以及2008年和2013年，都可以观察到这种行为。

此外，正如我们在图2中所观察到的，2008年小型均匀冲击造成的相对损失比大型冲击更大，而2013年则相反。然而，应该注意的是，如果我们将相对损失和初始损失相加，那么对于较高的初始冲击，这样的总和总是较高的。此外，2013年更加稳健，即使φ=1.0和θ=0.3，ELOSS也不超过0.5。有趣的是，当我们考虑单一银行违约时，行为会发生变化。当网络更随机时（φ~ 0）两种类型的冲击都会导致类似的Eloss值。然而，正如区别101100ELOSS2008，Core=0.0=2.0=4.0=6.25=6.5=6.75=7.0=2013，Core102101100Density104103102101100Eloss2008，Periphery101100density2013，PeripheryFigure 4：对于使用φ=1的等式（3）构建的2008年（左）和2013年（右）数据的网络，Elossas是核心（上）或外围（下）中点初始冲击的链路密度的函数。不同的曲线对应于方程式（8）中默认概率中不同程度的非线性。1014×1026×1022×101Eloss2008，Core 2013，CoreR=0R=0.1R=0.2102101100Density104103102Eloss2008，Periphery102101100Density2013，PeripheryFigure 5：对于使用φ=1的等式（3）构建的2008年（左）和2013年（右）数据的网络，作为核心（上）或外围（下）中点初始冲击链接密度函数的Fur fine模型的ELOSS。不同的曲线对应于外源回收率R.0.20.40.60.8Eloss（=0.05）2008年至2013年的不同值单银行外围单银行核心统一=0.01Uniform=0.1统一=0.30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.8Eloss（=0.15）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0图6：Eloss（使用线性债务等级计算）作为公式（3）参数φ的函数调整2008年和2013年银行间网络的核心-外围结构。

我们考虑了密度ρ=0.05（左）和ρ=0.15（右）的固定值，以及不同的初始冲击：对于所有银行来说是一致的，或者由单一初始违约（核心或外围）组成。0.2 0.4 0.6 0.8 1.01031021011000.2 0.4 0.6 0.8 1.00.050.100.150.200.250.300.350.400.2 0.4平均权益损失0.35 0.40 0.45平均权益损失图7：ELOS（使用线性债务秩计算）分别作为模块组合（左）和非组合（右）拓扑结构的统一初始冲击θ和模型参数λ和β的函数。在这两种情况下，φ=1和ρ=0.1，银行间网络指的是2008年。核心和外围之间出现并变得更加显著，这是它们中任何一个发生变化的结果。如图6的四个面板所示，冲击外围几乎等同于小型均匀冲击场景。事实上，外围国家单一银行违约所对应的平均初始冲击约为整个初始股本的0.1%。另一方面，核心银行违约造成的损失不是φ的递增函数。对于密度较大的网络，ρ=0.15时，它在近随机区域减小，然后保持不变。在ρ=0.05的情况下，ELOSR最小，然后随φ增大。从核心违约的角度来看，最优φ的存在是监管角度的一个重要观察结果。请注意，与acore bank违约相对应的平均初始损失超过整个系统权益的4%。最后，我们通过改变结构参数λ和β来考虑模块化分类拓扑和非分类拓扑，但固定φ=1。

图7显示了一项练习的结果，在该练习中，我们统一冲击第一个模块的气缸组，并测量第二个模块的ELOSS。我们观察到，如果不同的区块几乎没有连接，那么组合结构可以相当有弹性。另一方面，在给定的λ值以上，在没有砌块的情况下，结构变得几乎一样脆弱（λ=1）。关于分离结构，当我们离开纯二部结构时，系统风险降低。然而，差异相对较小，没有观察到与分类结构类似的跳跃。对于恒定密度，这可能是当我们增加β时，两组之间的连接数减少的结果。这样，损失就不会像纯粹的两方情况那样迅速地传递给另一方。2013年的数据也得到了类似的定性结果。4讨论在这项工作中，我们研究了银行间网络的不同结构，并展示了它们如何影响系统性风险。此外，我们还使用了各种冲击类型，并改变了它们在网络中传播的方式。这些结果进一步证明了银行间体系的复杂性以及决定其弹性的变量数量。在具有核心-外围结构的单块网络的最简单情况下，系统风险随密度单调增加，但在2008年和2013年观察到的行为之间存在着数量上的差异：危机（以及随后的监管干预）塑造了银行余额，之后即使在高密度制度下，银行间市场对小规模冲击也变得更加稳健。对银行违约概率不同形态的分析进一步显示了危机前后的差异。

2008年，基本上存在两种冲击传播机制，这取决于网络密度和参数α，这也可以被视为市场参与者对对手从股权损失中恢复能力的信心。事实上，如果对系统的信任度不够高，系统性损失就会普遍存在，否则损失就会很小。另一方面，在2013年，即使对于低信任水平，增加密度也不会导致与线性情况下观察到的损失相等的总体损失（对应于对方的最低信任水平）。请注意，这些结果是在所有银行都受到一致冲击的情况下获得的。如Mastromatteo等人（2012）所示，如果我们将单个银行的违约视为初始冲击，我们预计增加密度可以帮助系统抵御冲击。事实上，当资产和负债具有厚尾分布时，核心-外围结构自然由等式（1）所述的网络（重新）构建方法生成。在这种情况下，唯一可以调整的拓扑参数是networkdensity，它允许从具有少量大额合约的网络切换到具有许多小额合约的网络。然而，通过在等式（3）中引入参数φ，我们也能够不断地将网络结构从随机结构（φ=0）更改为核心-外围结构（φ=1）。然后我们发现，核心-外围结构的弹性较低，至少对于均匀冲击而言。这证实了众所周知的观察结果，即强连接节点增强了冲击传播（H¨user，2015）。对于研究中的数据集，默认传染算法，即α的Fur fine或DebtRank→∞, 不会对统一冲击产生任何股权损失，即除非银行实际违约，否则不会发生传播。

另一方面，危机蔓延算法（DebtRank for fiteα）也在违约发生之前区分了不同机构的脆弱性。在初始银行违约的情况下，传播取决于违约是在核心还是在外围。随着结构变得更加核心-外围而非随机，外围显然更加脆弱。重要的是，核心非常坚固，尤其是在两个极端结构之间。在这种情况下，违约和危机蔓延算法都会显示股权损失。在分析的最后一步中，我们查看了网络的块结构。特别是，一个分类模块化结构可以很好地代表几个国家的市场，其中国内和国外的联系是不同的（前者通常要大得多）。另一方面，在金融网络中经常观察到分离模块情况，尤其是在低数据聚合规模下，银行要么是贷款人，要么是借款人，而不是两者兼而有之（Barucca&Lillo，2016）。在这两种情况下，我们展示了起源于一个区块的冲击如何传播到另一个区块。对于分类案例，我们观察到系统性风险在区块之间连接的某些给定度以上显著跳跃。另一方面，解构结构没有显示任何类似的不连续性。尽管如此，从纯粹的二分体情况出发，慢慢降低系统性风险。总体而言，我们表明，系统性事件的结果在很大程度上取决于基础网络和冲击传播的细节。

我们认为，这一观察结果也适用于更一般的框架，如多层金融网络（Bargigli、di Iasio、Infante、Lillo和Pierobon，2015；Battiston和Mart'nez Jaramillo，2018；Poledna、Molina Borboa、Mart'nezJaramillo、van der Leij和Thurner，2015）和投资组合持股网络（Caccioli、Shrestha、Moore和Farmer，2014年；Cont和Wagalath，2016年；Greenwood、Landier和Thesmar，2015年；Gualdi、Cimini、Primicerio、Clemente和Challet，2016年；Pichler、Poledna和Thurner，2018年）。因此，我们的研究结果可以为更深入的分析提供灵感，并可能为试图塑造更具弹性的金融体系的监管机构提供有用的见解。在后一种情况下，了解改变银行间网络密度或重塑其结构的系统性后果，将是支持或反对给定解决方案的有价值的论据。此外，研究不同冲击传播类型造成的影响，有助于预测不同压力情景的结果。致谢这项工作是2018年5月7日至11日在卢卡IMT学校举行的第一次复杂性72小时研讨会的成果。https://complexity72h.weebly.com/ReferencesAcemoglu，D.、Ozdaglar，A.，&Tahbaz Salehi，A.（2015）。金融网络中的系统性风险和稳定性。《美国经济评论》，105（2），564–608。内政部：10.1257/aer。20130456Acharya，V.V.，Pedersen，L.H.，Philippon，T.，和Richardson，M.（2017）。衡量系统风险。《金融研究回顾》，30（1），2–47。内政部：10.1093/rfs/hhw088Allen，F.，&Gale，D.（2007）。系统性风险和监管。《金融机构的风险》（第341-376页）。芝加哥大学出版社。Allen，F.、Hryckiewicz，A.、Kowalewski，O.、T¨umer Alkan，G.（2014）。贷款和存款市场中金融冲击的传导：银行间借贷和市场监测的作用。《金融稳定杂志》，第15112-126页。