随机波动率下的波动率掉期估值

对于每个时间间隔-1，ti]，我们有eq斯蒂斯蒂-1.- 1.=Z∞exp（Yti-1，ti）-1.p（Yti-1，ti）dYti-1，ti=Z+∞exp（Yti-1，ti）-1.p（Yti-1，ti）dYti-1，ti+Z-∞1.- exp（Yti-1，ti）p（Yti-1，ti）dYti-1，ti=-Z+∞p（Yti-1，ti）dYti-1，ti+er△tZ公司+∞q（Yti-1，ti）dYti-1，ti+Z-∞p（Yti-1，ti）dYti-1，ti+er△tZ公司-∞q（Yti-1，ti）dYti-1，ti=1- 2Z+∞p（Yti-1，ti）dYti-1，ti+er△t型Z+∞q（Yti-1，ti）dYti-1，ti- 1.=πZ∞重新U型(△t、 ωi+1，V，λ）-U型(△t、 ωi，V，λ）ωidω。这导致波动率掉期的最终定价公式如下所示：K=EQ[RV]=rπ2NTNXi=1EQSti公司- Sti公司-1Sti-1.×100=rπ2NTNXi=1Z∞重新U型(△t、 ωi+1，V，λ）-U型(△t、 ωi，V，λ）ωidω×100=rπ2NTZ∞NXi=1ReU型(△t、 ωi+1，V，λ）-U型(△t、 ωi，V，λ）ωidω×100。这就完成了公关。3.2定价模式的收敛为了理解已实现波动率的性质并得到连续抽样下的定价公式，我们需要回顾已实现方差e和二次方差之间的众所周知的联系。特别是在本研究中，我们进一步研究了一种更通用的总波动率测度。我们回顾了巴恩多夫-尼尔森（Barndorff-Nielsen）提出的对实际功率变化的定义。考虑到上述情况，我们在0到T的时间间隔内工作，并假设我们每个△t>0时间段。u阶变分过程（u>0）的表示式为{X}[u]（t）=p-lim公司△t型↓0(△t） 1个-u/2T型/△t型Xi=1 | Yti-1，ti | u. （9） 这里，对于任何实数a，一 表示大于或等于a的最大整数。请注意，归一化(△t） 1个-u/2在功率变化中至关重要。具体而言，归一化为1，因此当u=2时，归一化消失；当u>2时，归一化变为完整；当u<2时，归一化变为零△t型↓ 0 . 在允许的情况下，证明了随机波动率模型的功率变化的关键性质。引理3.3。

LetX（1）t=Zt（r- d- λs-Vs）ds+ZtpVsdWSs。然后{X（1）}[u]i（t）=urZtVrsds，其中ur=E | v | u=2u/2Γ（u+1）Γ（），对于u>0，v~ N（0，1）。证据这个证明类似于巴恩多夫·尼尔森（Barndorff-Nielsen）和谢泼德（Shephard）（[2]），所以我们在这里省略了它。接下来，我们将看到跳跃发生时功率变化是如何变化的。考虑我们模型中的对数价格Xt，使Xt=X（1）t+X（2）twithX（2）t=NtXi=1（eJSi- 1） ，（10）其中，N是一个有限的活动，简单的计数过程使得Nt<∞ 对于所有t≥ 然后通过下面的引理报告XT的功率变化。引理3.4。如果X（1）和X（2）皮重无关且0<u<2，则X的功率变化具有以下形式{X}[u]（t）=urZtVusds。证据设X（2）ti-1，ti=X（2）ti- X（2）ti-1和j（X（2）s）=X（2）s- X（2）秒-, （11） 分别为。在[27]的定理1中，取g（x）=xu（0<u<2），我们得到T型/△t型Xi=1 | X（2）ti-1，ti |以上→十、J（X（2）s）u： 0<s≤ t型像△t型→ 因此，从（10）和（11）得出J（X（2）s）u： 0<s≤ t型p→NtXi=1eJSi公司- 1.乌南德斯oT型/△t型Xi=1 | X（2）ti-1，ti |以上→NtXi=1eJSi公司- 1.u、 Sincepenti=1eJSi公司- 1.uis是一个常量，如△t型→ 0，一个有(△t） βT型/△t型Xi=1 | X（2）ti-1，ti |以上→ 0表示β>0。因此，X（2）的功率变化为零。此外，由于Xt=X（1）t+X（2）t，类似于文献[2]中定理4的证明，我们可以证明T型/△t型Xi=1 | Xti-1，ti | u=T型/△t型Xi=1 | X（1）ti-1，ti | u+Op（Nt），其中Op（·）是概率为1的当量。因此，引理3.3得出(△t） βT型/△t型Xi=1 | Xti-1，ti |以上→ urztVusdssforβ=1-u、 这通过定义{X}[u]（t）来提供所需的结果。备注3.2。注意，当0<u<2时，实现功率变化的概率极限不受跳跃的影响。特别是，如果波动过程V（t）是连续的（跳跃项JSisremoved），则V（t）=u-1r级{十} 【u】（t）t型1/u.3号提案。2.

可通过以下公式k=EQ[RV]给出合理的连续波动率罢工=√πTZTZ∞1.- E【E】-sVt]s3/2dsdt×100。证据我们将公平连续波动率罢工定义为合同在时间零点的现值等于零。这对应于求解方程eq[e-rT（RV- K） ]=0。（12） 注意，连续样本下的已实现挥发性可以表示为（引理3.4中的r=1）asRV=limN→∞rπ2NTNXi=1Sti公司- Sti公司-1Sti-1.×100=TZTpVtdt×100。从[22]可以看出√X个=√πZ∞1.- e-sXs3/2ds。取两边的期望值，利用Fubini定理，我们得到[√X]=√πZ∞1.- 等式[e-sX]s3/2ds，式中等式[e-sX]是随机变量X的特征函数。选择已实现波动率上方的X，我们就得到了波动率执行价格的解公式。没有公式（12）并使用上述拉普拉斯变换，我们得到的执行价格是由k=EQ[RV]给出的=√πTZTZ∞1.- 等式[e-sVt]s3/2dsdt×100。这就完成了公关。此处，VT的特征函数可参考定理2.1，并可通过备注2.2获得。因此，我们需要使用数值积分技术来求解上述积分，从而得出波动性strike价格。该公式与无跳跃情况下的履约价格公式非常相似【30】，但重要的是要记住，随机s系统的特征是不同的。4个数字示例我们现在调查以前的建模假设和合同设计对波动率掉期公允价值的影响。我们首先采用关于随机过程的替代假设的影响，然后是基础资产的价格、波动过程和Possionprocess的跳跃强度过程。

特别地，我们给出了双指数跳变扩散模型下的一些数值结果。4.1基线参数值我们数值分析的主要目的是弄清楚跳跃和强度如何影响PricingVolability掉期。为了进行可靠的分析，除非另有说明，否则我们采用以下基线参数值：r=0.05，d=0.005，V=0.04，ρ=-0.6 4，λ=0.02，σV=0.6，κV=10，θV=0.05。【15】和【30】中通过估计实际市场数据也采用了这些参数。我们在图1-5和表1-2中显示了所有数值结果。（1）c中的随机过程可以通过[21]第8.2节中研究的蒙特卡罗方法进行离散，因此我们可以使用蒙特卡罗方法来预测波动率掉期。我们还使用定价公式3.1和3.2获得波动率掉期价值。因此，在【5、9、24、30】中报告了不同模型下的me定价结果，我们在图1中显示了这些结果。如图1所示，不同定价公式下的波动率交换价格是不同的。我们可以看到，蒙特卡罗方法（1）的结果收敛到我们的定价公式，这证明我们的定价公式立即有用。值得注意的是，Zhu和Lian[30]的定价公式以及我们的定价公式都是在RV的定义下，由于跳跃r isk的存在，我们定价公式中的波动率掉期值s高于[30]，而[30]采用了赫斯顿模型。Swishchuk【24】定价公式的结果给出了连续抽样下的波动率掉期价值，这比Zhu和Lian【30】的价格以及我们的定价公式都要便宜。这可能是由绝对值算子在定义V时的性质引起的。此外，Form Carr&Lee[9]和Broadie&J ain[5]的定价公式都是在定义RV的框架下从SVSJmodel研究的*.

通过比较各种定价公式的结果，我们发现这些值高于RV定义下的值，这与备注3.1的结果一致。我们还发现，在两种定义下，从离散样本到连续样本的收敛是不同的。RV下的离散样本波动率掉期价格相对于连续样本价格递减，而RV下的价格收敛*与RV相对。样本频率0 20 40 60 100 120 140 160 180 200 14.214.414.614.815.215.4来自我们定价公式的值来自蒙特卡罗模拟的值来自朱&连定价公式的值来自卡尔&李定价公式的值来自Swishchuk定价公式的值来自Broadie&Jain定价公式的值图1：波动性掉期的执行价格，具有【5、9、24、30】4.2中的不同定价公式跳跃值的影响p0.50.8 p’0.60.40.215.215.414.414.814.6图2：具有不同p值和p’值的波动性掉期的执行价格首先，我们探讨了在两个独立的双主动跳跃差异模型下，跳跃对波动性掉期定价的影响。

更准确地说，跳跃s和JV具有独立的不对称双指数分布，密度函数为SF（y）=pηe-η{y≥0}+qηe-η{y≤0}，η>1，η>0，f（y）=p，ηe-η{y≥0}+q，ηe-η{y≤0}，η>1，η>0，其中p，q，p′，q′≥ p+q=1的0和p′+q′=1分别表示向上和向下跳跃的概率。表1：具有不同η值和η值的波动率s WAP的履约价格2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.01.2 15.0652 15.0661 1 5.0664 15.0674 15.0670 15.0766 15.11522.2 15.0646 15.0658 1 5.0665 15.0670 15.0697 15.0763 15.11523.2 15.0638 15.0652 1 5.0663 15.0694 15.0760 15.11494.2 15.0634 15.0641 1 5.0659 15.0663 15.0691 15.0756 15.11455.2 15.0640 15.0634 1 5.0647 15.0665 15.0687 15.075015.11506.2 15.0632 15.0639 1 5.0635 15.0656 15.0675 15.0742 15.11547.2 15.0614 15.0612 1 5.0630 15.0637 15.0664 15.0727 15.1160表2：具有不同η和η值的波动率s WAP的执行价格2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.01.2 15.1544 15.1545 1 5 15.1538 15.1511 15.1489 15.1425 15.11222 15.2 15.1542 15.1542 15 4 1 5.1544 15.1523 15.1493 15.1430 15.11223.2 15.1545 15.1542 1 5.1544 15.1538 15.1497 15.1437图e 2中的15.11234.2 15.1560 15.1551 1 5.1543 15.1545 15.1507 15.1447 15.11245.2 15.1576 15.1571 1 5.1560 15.1543 15.1535 15.1459 15.11276.2 15.1601 15.1592 1 5.1581 15.1571 15.1542 15.1479 15.11347.2 15.1614 15.1624 1 5.1626 15.1614 15.1578 15.1510 15.1145。，我们注意到，随着p值或p′值的增加，圆盘网挥发度Swaps的值逐渐减小。从表1和表2中，我们可以观察到，当上升和下降跳跃的概率发生变化时，波动率掉期的价值也会发生变化。这意味着参数η、η、η和η对波动率掉期的价值有影响。最后，我们可以看到，当泵的不确定性增加时，波动率掉期的价值也相应增加。

这意味着跳跃差异会影响和改变波动率掉期的价值，忽视跳跃的影响会导致定价失误。制定离散抽样波动率掉期的分析定价公式可以帮助更准确地定价波动率掉期。4.3κλ1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 315.0115.0215.0315.0415.0515.0615.0715.0815.0915.1我们模型的随机强度值Zhu和Lian模型θλ2.5 3 3.5 415.04040415.040615.04815.04115.041215.041415.041615.041815.042我们的模型Zhu和Lian模型值σ0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 214.9614.9714.9814.9915.0115.0215.0315.0415.05我们的模型Zhu和Lian模型图3：具有不同参数的波动性掉期的执行价格我们还测试了随机强度对波动性掉期执行价格的敏感影响。图3显示了以下事实：（i）当κλ增加时，波动率掉期的价值增加；（ii）波动率掉期的价值随着θλ的增加而增加；（iii）当σλ增加时，波动率掉期的价值减少；（iv）波动率掉期的价格变化对θλ和σλ更为敏感。图3还显示，我们的数值结果与朱和廉的数值结果有很大不同【30】。综上所述，我们发现强度过程的波动性会影响和改变波动性掉期的价值，忽视强度的影响会导致定价失误。

此外，值得注意的是，波动性掉期的履约价格对κλ、θλ和σλ的敏感性差异很大。因此，考虑强度的影响对于波动率掉期定价非常重要。5结论本文的主要目的是提出一个新的具有跳跃性和随机性的随机波动率模型，并研究该模型所描述的波动率的waps估值问题。通过使用Feynma n-Kactheorem，我们通过部分积分微分方程给出了该模型的关节力矩母函数。此外，我们还利用变换技术推导了离散和连续采样波动率掉期定价公式，并给出了两种定价公式之间的关系。本文的贡献可以总结如下：（1）首次提出了带跳跃的随机波动率和随机强度模型；（ii）使用Duffee【16】介绍的Affee结构方法和Yang等人【25】给出的结果，推导出该模型的关节力矩母函数；（iii）分别给出离散样本和连续样本的定价公式；（iv）说明了跳跃和随机强度对波动性掉期的公平执行价格的影响。虽然本文的重点是在具有跳跃和随机强度的随机波动率模型下对波动率掉期进行定价，但该分析方法可以应用于其他一些基础资产价格模型。因此，本文开发的方法可以扩展到与其他随机波动率的利维过程相关的其他定价问题，例如具有GARCH波动性的VG过程。我们把这些问题留给我们今后的工作。参考文献【1】O.E.Barndo r ff-Nielsen，N.Shephard，《实现的功率变化和随机波动模型》，伯努利9（2）（2003），243-265。[2] O.E。

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