随机波动率下的波动率掉期估值

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英文标题：
《Volatility swaps valuation under stochastic volatility with jumps and
  stochastic intensity》
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作者：
Ben-zhang Yang, Jia Yue, Ming-hui Wang, Nan-jing Huang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, a pricing formula for volatility swaps is delivered when the underlying asset follows the stochastic volatility model with jumps and stochastic intensity. By using Feynman-Kac theorem, a partial integral differential equation is obtained to derive the joint moment generating function of the previous model.   Moreover, discrete and continuous sampled volatility swap pricing formulas are given by employing transform techniques and the relationship between two pricing formulas is discussed. Finally, some numerical simulations are reported to support the results presented in this paper.
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中文摘要：
当标的资产遵循具有跳跃和随机强度的随机波动率模型时，给出了波动率掉期的定价公式。利用Feynman-Kac定理，得到了一个偏积分微分方程，导出了前一模型的联合力矩母函数。此外，利用变换技术给出了离散和连续采样波动率掉期定价公式，并讨论了两个定价公式之间的关系。最后，通过数值模拟验证了本文的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Volatility_swaps_valuation_under_stochastic_volatility_with_jumps_and_stochastic.pdf (228.81 KB)

2022-6-10 03:14:30 上传

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关键词：波动率 Quantitative relationship Differential derivatives

具有跳跃和随机强度的随机波动率下的波动率掉期估值*Ben zhang Yanga、Jia Yueb、Ming hui Wanga和Nan jing Huanga+a.四川大学数学系，中国四川成都610064。西南财经大学经济数学系，四川成都610074，中国文摘。当标的资产遵循具有跳跃和随机强度的随机波动率模型时，给出了波动率掉期的定价公式。利用Feynman-Kac定理，得到了一个偏积分微分方程，从而导出了前一模型的联合动量函数。此外，利用变换技术给出了离散和连续样本容量互换定价公式，并讨论了两个定价公式之间的关系。最后，通过数值模拟验证了本文的结果。关键词和短语：带跳跃的随机波动模型；随机强度；波动性衍生品；定价2010年AMS主题分类：91G20、91G80、60H10.1简介由于波动性一直被视为一项关键措施，金融市场的发展和增长在上个世纪改变了波动性的作用。波动率衍生工具通常是显示市场波动和管理投资者波动风险的重要工具。更准确地说，波动性衍生品的交易目的是在多头或空头头寸之间进行决策，在已实现和隐含波动性之间进行交易，以及对冲波动性风险。波动性衍生产品的最大优势在于，它们能够为资产波动性提供直接风险敞口，而无需承受持续增量对冲的麻烦。

文献中对波动率导数的各种理论结果、数值算法和应用进行了广泛研究（例如，参见[6、7、8、20、23、26、28、29、30]）。随着过去二十年来变量/波动率掉期交易的快速增长，该领域的研究人员试图构建更实用的模型，并找到更可行的方法来为变量/波动率掉期定价。Carr等人[8]和Huang等人[19]将跳跃效应纳入定价和对冲方差掉期模型，研究了许多小跳跃的存在，这些小跳跃无法通过使用有限活动复合泊松过程进行充分建模。Cont和Ko kholm【13】提出了关节动力学模型*这项工作得到了国家自然科学基金（11471230、11671282）的资助。+通讯作者。电子邮件地址：nanjinghuang@hotmail.comof一组远期方差掉期利率以及基础指数；他们使用列维过程作为构建块，并为方差掉期、VIX期货和普通看涨期权提供了交易定价框架。Zhu和Lian【29】使用偏微分方程方法，求解了赫斯顿的随机波动率模式l下的离散抽样风险掉期定价公式。最近，Yang等人[25]专注于金融市场中方差掉期的定价，其中随机利率率和股票的波动性分别由Cox-Ingerso-ll-Ross模型和Heston模型驱动，同时存在L’evy跳跃。然而，据我们所知，只有少数研究人员在理论上考虑波动性掉期的定价。

最近，Zhu和Lian利用[29]中的离散抽样方差SWAP定价方法，在Heston随机波动率模型的框架下研究了波动率掉期的分析评估；他们获得了离散抽样资产互换的封闭式ex-act解决方案，已实现波动率定义为基础资产价格绝对百分比增量的平均值。众所周知，跳跃[14]和随机强度是金融资产定价衍生品的重要特征。贝茨（Bates）[4]提出了带有跳跃的广义模型，以强调跳跃对基础资产的影响。Lian和Zhu[29]扩展了标的资产价格过程，允许同时跳跃的股票波动率（SVSJ）模型，并指出这种模型比以前的模型更能描述真实市场。Santa Clata和Yan【23】在1996年初至2002年底对标准普尔500指数期权价格进行校准后，发现了跳跃强度风险的组成部分。Huang等人[19]研究了当资产在随机波动率和随机强度下遵循双指数跳跃过程时期权的估值，其中模型考虑了股票价格、波动率和随机强度。然而，正如Chang等人[11]所指出的那样，有必要进行额外的扩展工作，将不断变化的波动性和随机强度结合起来，以模拟金融市场中资产价格的特征。本文的主要目的是尝试提出一个新的具有跳跃和随机强度的随机波动率模型，并考虑该模型所描述的波动率掉期估值问题。本文件的其余部分分为五个部分。我们将从第2节模型的描述开始。

然后，第3节给出了离散和连续样本的波动率定价公式。第4节报告了一些数值例子。本文以第5.2节带跳跃和随机强度框架集的随机波动率模型的结论结尾(Ohm, F、 P）是风险中性概率P的概率空间。假设基础资产价格S=（St）t∈[0，T]瞬时平方波动率V=（Vt）T∈[0，T]和跳跃强度过程ssλ=（λT）T∈Possion进程NT0的[0，T]可由以下SDE系统管理：dSt=（r- d- λtm）Stdt+√VtStdWSt+（eJS- 1） StdNt，dVt=κV（θV- Vt）dt+σV√VtdWVt+JVdNt，dλt=κλ（θλ- λt）dt+σλ√λtdWλt，（1），其中WS=（WSt）t∈[0，T]和WV=（WVt）T∈[0，T]是具有常数相关系数的相关布朗运动，使得WS和WV之间的二次协变量满足d[WS，WV]T=ρdt或某个常数ρ∈ [-1、1]和Ntis独立，WS=（WSt）t∈[0，T]和WV=（WVt）T∈[0，T]；r和d分别表示无风险利率和固定股息收益率；js和JVdenote分别是价格和方差的跳跃大小，其中跳跃大小假设与WS、WVand和Nt无关。此外，我们假设m是价格的平均跳跃幅度，m=EQ[eJS- 1] ，平均回复速度参数κVandκλ为正常数，正常数σVandσ分别为vt和γt的长期波动率，长期均值θVandθγ为常数，使得2κVθV>σVand 2κλλθ>σλ，布朗运动Wλ=（Wλt）t∈[0，T]独立于WSV和WV。我们想指出的是，（1）作为特例包括了几个k-nown模型。事实上，如果sto惩罚度过程γ（t）是常数，那么系统（1）将减少到朱和廉（29）、郑和郭（28）所考虑的模式l。

此外，如果消除了跳跃扩散，则系统（1）将简化为Huang等人[19]考虑的模型，如果随机强度过程γ（t）为常数且不存在跳跃扩散，则系统（1）将简化为Carr等人[6]和Zhu等人[3 0]考虑的模型。下面的命题2.1完善了联合过程Xt、VT和λt的联合力矩母函数（简称GF）的特征，其中系统（1）通过使用它转换为正向对数系统。o引理和MGF可以通过在应用费曼-卡-柯定理后解部分微分方程获得。提案n 2.1。设Xt=ln Stbe为原木价格过程。然后，接合过程Xt、VT和λtca的MGF可定义如下：U（t，X，V，λ）：=等式[exp（ωXt+ДVT+ψλt+χ）| X（t）=X，V（t）=V，λ（t）=λ]，其中，Д、ψ和χ是常数参数。此外，ifEQ[exp（ωXT+ДVT+ψλT+χ）]<∞,然后U（τ，X，V，λ）在τ处的值：=T- t可以表示为u（τ，X，V，λ）=exp（ωX+C（τ；q）V+D（τ；q）λ+E（τ；q）），其中q=（ω，Д，ψ，χ）和C（τ；q），D（τ；q），E（τ；q）满足dC（τ；q）dτ=σVC（τ；q）+（ρσVω- κV）C（τ；q）+（ω- ω） dD（τ；q）dτ=σλd（τ；q）- κλD（ω，τ）+∧（τ；q）dE（τ；q）Dτ=（r- d） ω+κVθVC（τ；q）+κλθλd（τ；q）（2），初始条件sc（0；q）=Д，d（0；q）=ψ，E（0；q）=χ，（3），其中∧（τ；q）=-mω+等式exp（λJS+CJV）-1.. （4） 证明。从（1）中，我们得到以下关于X（t）、V（t）和λ（t）的随机微分方程：dXt=（r- d- λtm-Vt）dt+√VtdWSt+（eJS- 1） dNt，dVt=κV（θV- Vt）dt+σV√VtdWVt+JVdNt，dλt=κλ（θλ- λt）dt+σλ√λtdWλt.（5）因此，通过将It^o引理应用于U（t，Xt，Vt，rt），我们可以得到U（t，X，V，λ）的部分积分微分方程（PIDE），如下0=Ut+（r- d- λm-五）UX+[κV（θV- V）]UV+[κλ（θλ- λ)]Uλ+VUX+ρσVVU十、V+σVVUV+σλλUλ+λ等式U（X+JS，V+JV，λ，t）- U（X，V，λ，t）.

（6） 表示τ=T- t、 我们得到Uτ=（r- d- λm-五）UX+[κV（θV- V）]UV+[κλ（θλ- λ)]Uλ+VUX+ρσVVU十、V+σVVUV+σλλUλ+λ等式U（X+JS，V+JV，λ，τ）- U（X，V，λ，τ）. （7） 由于SVSJ模型中的有效结构，（7）允许以下形式的解析解：U（τ，X，V，λ）=exp（ωX+C（τ；q）V+D（τ；q）λ+E（τ；q））（8），初始条件为U（0，X，V，λ）=exp（ωX+ДV+ψλ+χ）。结合（8）和（7），我们知道C（τ；q），D（τ；q），E（τ；q）满足系统（2）的初始条件（3）。备注2.1。在某些特殊情况下，可以得到∧（τ；q）的一些精确表达式。事实上，（i）如果ju-mp尺寸js和jv具有独立的不对称双指数分布，密度函数sf（y）=pηe-η{y≥0}+qηe-η{y≤0}，η>1，η>0，f（y）=p，ηe-η{y≥0}+q，ηe-η{y≤0}，η>1，η>0，其中p，q，p′，q′≥ 0，其中p+q=1和p′+q′=1分别表示向上和向下jum ps的概率，那么公式（4）中∧（τ；q）的值具有以下形式∧（τ；q）=pηη- 1+qηη+1ωp、 ηη- 1+q，ηη+1C-pηη- 1+qηη+1- 1.ω - 1.（ii）如果合资公司~ exp（1/η）（参数率为1/η的指数分布）和jssatifiesjs | JV~ N（ν+ρJJV，δ），即具有平均ν+ρJJVand方差δ的高斯分布，则∧（τ；q）信息式（4）的值具有以下形式∧（τ；q）=expων +δω1.- （ρJω+C）η-eν+ρJJV1- ηρJ- 1.ω - 其中Re（（ρJω+C）η）<1。备注2.2。我们想提及的是，由于边际MGF的支付结构更简单，因此有必要使用边际MGF对sampledvanilla波动率掉期进行谨慎定价。一旦已知关节MGF，通过将关节MGF中的无关参数设置为零，可以轻松获得相应的边际MGF。例如，可以通过设置ω=ψ=χ=0来获得关于状态变量V的边际MGF。备注2。3.

值得注意的是，当随机强度过程为常数（κλ=θλ=σλ=0）时，在这种特殊情况下，可以在[28]中找到theMGF。当方差过程的跳跃扩散被移除时，在这种特殊条件下，可以在[19]中找到MGF。此外，如果随机强度过程是恒定的，并且方差过程的跳变差被消除，那么MGF可以在[30]中得到。3定价波动率掉期在本节中，我们从分析解决方案方法开始，以确定波动率掉期的公平价格，该价格由（1）建模。然后，我们通过定价方法给出了离散样本和连续样本之间的关系。3.1波动率掉期PSA波动率掉期是关于特定基础股本指数已实现历史波动率的远期合约。到期时支付的金额基于名义金额乘以实际波动率和隐含波动率之间的差值。更具体地说，假设当前时间为0，则到期时的避税掉期价值可以写为（RV- Kvol）×L，其中RV是合同有效期内的年化实现波动率，Kvol是波动率掉期的年化交割价格，该价格设置为使波动率掉期的价值等于初始签订合同时多头和空头头寸的z ero。在一定程度上，它反映了市场对未来实现波动的预期。值L是掉期的名义金额，单位为美元/年化波动率点平方d，且在一段时间内，始终对年化波动率进行离散采样。在本文中，我们采用了B Arndorff-Nielsen和Shephard（[1，2，3]）提出的已实现波动率公式。为了开始t，我们让t作为总的s采样周期。

然后，我们将周期平均分割为几个固定的相等时间间隔△t并获得N个不同的期限ti=i△t（i=1，··，N）。实现的波动率可定义如下：RV=rπ2NTNXi=1Sti公司- Sti公司-1Sti-1.× 100.正如Barndorff-Nielsen和Shephard[1，2，3]所指出的那样，这一定义是对已实现波动率更为稳健的衡量。他们研究了已实现波动率的理论性质，并在此公式下获得了一些定价波动率衍生品的闭式解。利用风险中性定价理论，可以通过k=EQ[RV]=rπ2NTNXi=1EQ轻松获得RV的价值Sti公司- Sti公司-1Sti-1.× 100.备注3.1。正如Windcliff等人[26]所提到的，实现的波动率至少有两种不同的衡量标准。已实现波动率也可定义如下（【26】）：RV*=vuutAFNNXi=1Sti公司- Sti公司-1Sti-1.× 100.可以找到那辆RV≤p2/πRV*利用柯西不等式。这表明pπ/2RVis是RV的下限*.我们想提及RV和RV*当它们用于测量实际波动率时，会略有不同。在fa c t中，RV的定义*基本上计算为平均实现方差的平方根，通过将已实现波动率计算为标准衍生掉期，将其用于期限波动率掉期合同【18，30】。然而，RV是已实现波动率的平均值，它被用来将该波动率掉期称为波动率平均掉期【18，30】。有关已实现波动率的更多工作，请读者参阅[1、2、3、5、9、10、24]及其参考文献。现在，我们来研究RV定义下波动率掉期的定价问题。为了获得波动率掉期的价值，我们首先展示了特征函数的衍生。

我们引入新的随机变量如下：Yti-1，ti=ln Sti- ln Sti公司-1=Xti- Xti公司-1、表示Yti的概率密度函数-1，tiby p（Yti-1，ti）。然后p（Yti-1，ti）可通过关于MGF的逆傅立叶变换轻松获得。事件Qi的概率：=P{Yti-1，ti>0}可通过以下公式计算得出：Qi=Z∞p（Yti-1，ti）dYti-1，ti=+πZ∞重新U型(△t、 ωi，V，λ）ωidω，其中△t=ti-ti公司-值得注意的是，特征函数U(△t、 ωi，V，λ）在每个周期中得到-1，ti]。对于每个间隔[ti-1，ti]，我们可以使用迭代方法计算U的值(△t、 ωi，V，λ）。引理3.1。Letq（Yti-1，ti）=exp（Yti-1，ti- r△t） p（Yti-1，ti）。然后q（Yti-1，ti）是随机变量Yti的概率密度函数-1，ti。证据显然，q（Yti-1，ti）≥ 0.SinceEQ[经验值](-△t） Sti/Sti-1] =1，我们有+∞-∞q（Yti-1，ti）dYti-1，ti=1。这表明q（Yti-1，ti）是随机变量Yti的概率密度函数-1，ti。引理3.2。LetfQi=Z∞q（Yti-1，ti）dYti-1，ti。ThenfQi=+πZ∞重新经验值(-r△t） U型(△t、 ωi+1，V，λ）ωidω。证据表示q（Yti）的相应特征函数-1，ti）byeU(△t、 ω，V，λ）。利用概率密度函数q（Yti）的四层变换-1，ti），我们有EU(△t、 ω，V，λ）=Fexp（Yti-1，ti- r△t） p（Yti-1，ti）= 经验值(-r△t） F级exp（Yti-1，ti）p（Yti-1，ti）= 经验值(-r△t） Z+∞-∞exp（iωYti-1，ti）exp（Yti-1，ti）p（Yti-1，ti）dYti-1，ti=exp(-r△t） U型(△t、 ωi+1，V，λ）。因此fqi=+πZ∞重新经验值(-r△t） U型(△t、 ωi+1，V，λ）ωidω。这就完成了公关。提案n 3。1、波动率掉期的公允执行价值如下k=rπ2NTZ∞NXi=1ReU型(△t、 ωi+1，V，λ）-U型(△t、 ωi，V，λ）ωidω×100。证据