约束随机线性二次模型的最优控制

时间t的总财富表示为x（t），投资组合决策向量表示为u（t）：=u（t），···，un（t）,这表示财富在n项风险资产中的分配。财富水平x（t）根据以下SDE演变（例如，见Zhou等人【24】），dx（t）=r（t）x（t）+b（t）u（t）dt+u（t）σ（t）dW（t），t∈ [0，T]，x（0）=x>0，（35），其中b（T）：=b（t），···，bn（t）=u（t）-r（t），···，un（t）-r（t）是excessreturn速率向量。我们还假设以下条件成立。假设5存在一些i*∈ {1，···，n}这样bi*（t） >0。假设5表示，一些风险资产的回报率应该高于无风险资产的回报率，这在现实市场中是合理的。基于实际投资中的限制，我们考虑投资组合决策向量H（t）u（t）的以下约束≥ 0，t∈ [0，T]，（36），其中H（T）∈ Rk×nis t的确定性矩阵∈ [0，T]。上述约束称为凸锥约束，其中包括各种投资组合约束作为其特例，例如无卖空约束（[16]）。在下面的部分中，我们使用Var[x]：=E[（x- E[x]]表示某个随机变量x的方差。投资者采用以下动态MVportfolio决策模型来指导其投资，（MV）：min{u（t）}| Tt=0Var[x（t）]+中兴通讯[u（t）R（t）u（t）]dt（s.t.）E[x（t）]=d{x（t），u（t）}满意度（35）和（36），其中d是预期的最终财富水平。通常，我们设定d>xeRTr（s）ds，即目标预期终端财富应大于通过将所有资产投资到无风险账户获得的财富。在模型（MV）中，惩罚项u（t）R（t）u（t）用于控制风险资产中的风险敞口。

值得一提的是，我们的模型比当前文献中研究的模型更一般，例如，工作[16]只涉及无卖空约束，而[13]没有考虑模型中的惩罚项u（t）R（t）u（t）。为了解决问题（MV），我们首先将其重新表述为LQ控制问题（PTLQ）的特例。我们利用了Li等人介绍的嵌入技术。[15] 克服动态规划意义上方差项不可分离的困难。我们在[16]中考虑了以下辅助问题（dMV（λ）），需要一些额外的假设，例如，对于所有i=1，···，n，他们假设ui（t）>r（t）。这个假设对于获得他们的结果至关重要。然而，在我们的模型中，我们可以将这种假设放宽到假设5。通过引入拉格朗日乘子λ∈ 对于约束E[x（T）]=d，（dMV（λ））：min{u（T）}| Tt=0E[（x（T）- λ） ]+中兴通讯[u（t）R（t）u（t）]dt- (λ - d） （s.t.）{x（t），u（t）}满意度（35）和（36）。我们将贴现系数定义为ρ（t）：=e-RTtr（s）DST∈ [0，T]并将新的状态变量z（T）构造为z（T）：=x（T）- λρ（t）。替换（dMV（λ））中的状态变量会产生以下问题，（MV（λ））：min{u（t）}| Tt=0E[z（t）]+ZTE[u（t）R（t）u（t）]dt（s.t.）dz（t）=r（t）z（t）+b（t）u（t）dt+u（t）σ（t）dW（t）。显然，通过设置a（t）=r（t），B（t）=B（t），C（t）=0n×1，D（t）=σ（t），q（t）=0，S（t）=0n×1，这个问题是问题（PTLQ）的特例∈ [0，T）和qT=1。因此，与方程（9）和（10）类似，我们为两个未知函数^Gmv（·）引入以下两个常微分方程：R→ R和？Gmv（·）：R→ R、 ˙^Gmv（t）=-2^Gmv（t）r（t）- 水貂：H（t）K≥0^fmv（t，K，^Gmv（t）），˙Gmv（t）=-2’Gmv（t）r（t）- 水貂：H（t）K≥0'fmv（t，K，'Gmv（t）），其中^Gmv（t）=Gmv（t）=1，且^fmv（t，K，G）=2Gb（t）K+KGσ（t）σ（t）+R（t）K、 （37）(R)fmv（t，K，G）=-2Gb（t）K+KGσ（t）σ（t）+R（t）K

（38）此外，函数^Gmv（·）和'Gmv（·）具有以下特性。任何t的引理1∈ [0，T]，下列不等式成立，^Gmv（T）ρ（T）≤ 1，（39）(R)Gmv（t）ρ（t）<1。（40）证明。我们首先考虑^Gmv（t）。由于K（t）=0是^fmv（t，K（t），^Gmv（t））的可行解，我们得到，minK（t）：H（t）K（t）≥0^fmv（t，K（t），^Gmv（t））≤^fmv（t，0，^Gmv（t））=0。因此，它有˙Gmv（t）≥-2^Gmv（t）r（t）导致以下不等式，ZTt^Gmv（t）d^Gmv（t）≥ -ZTt2r（s）ds=> 1.-^Gmv（t）e-2RTtr（s）ds≥ 0，同样，我们可以证明1-(R)Gmv（t）ρ（t）≥ 0。现在，我们显示1-(R)Gmv（t）ρ（t）6=0。如果1-\'Gmv（t）ρ（t）=0，它有，minH（t）K（t）≥0'fmv（t，K（t），'Gmv（t））=0，这与事实minh（t）K（t）相矛盾≥根据表达式（38）和假设5，0’fmv（t，K（t），’Gmv（t））<0。2注意，在引理1中，严格不等式只适用于（40）。这一结果在接下来的部分中起着重要作用。以下结果描述了问题（MV）的解决方案。定理4问题（MV）的相关最优投资组合策略由u给出*（t） =（^Kmv（t）（x（t）- λ*ρ（t））如果x（t）- λ*ρ（t）≥ 0,-(R)Kmv（t）（x（t）- λ*ρ（t））如果x（t）- λ*ρ（t）<0，（41），其中^Kmv（t）=arg minK:H（t）K≥0^fmv（t，K，^Gmv（t）），（42）Kmv（t）=arg貂：H（t）K≥0'fmv（t，K，'Gmv（t））。（43）此外，最优拉格朗日乘子λ*is，λ*=d- x？Gmv（0）ρ（0）1-(R)Gmv（0）ρ（0）。（44）证明。应用定理2，我们得到了任意fixλ，u的问题的最优策略（MV（λ））*（t） =（^Kmv（t）z（t）如果z（t）≥ 0,-如果z（t）<0，Kmv（t）z（t）。（45）剩下的任务是确定最佳拉格朗日乘子λ*. 从定理2，不难得出任意fixλas，v（MV（λ））的问题（MV（λ））的最优值=^Gmv（0）（x- λρ(0))- (λ - d） 如果x（0）- λρ(0) ≥ 0，’Gmv（0）（x- λρ(0))- (λ - d） 如果x（0）- λρ（0）<0，则最佳拉格朗日乘子λ*可通过最大化λ来识别*= 最大λ∈Rnv（MV（λ））。

根据（39）和（40），我们发现v（MV（λ））是关于λ的分段凹函数。因此，最佳拉格朗日乘子λ*可导出为（44）。通过将（45）中的z（t）替换为x（t）来实现最优投资组合决策（41）。2通常，投资者对中等效率前沿感兴趣，即预期最终财富d的平行预测集和相关的最小方差Var【x（T）】。替换λ*返回到v（dMV（λ）），得到MV有效前沿的半解析表达式，如下所示，Var[x*（T）]=v（dMV（λ*) -中兴通讯[（u*（t） ）R（t）u*（t） ]dt=(R)Gmvρ（0）1-(R)Gmvρ（0）E[x*（T）]- xρ（0）-中兴通讯[（u*（t） ）R（t）u*（t） ]dt，带E[x*（T）]≥ xρ（0）-1、注意，第二项可以在计算完所有的“Kmv（t）和^Kmv（t）后，通过Monte Carlo模拟方法进行评估。6说明性示例在本节中，我们提供了示例来说明前面章节中针对问题（PTLQ），（P∞LQ）和（MV）。例1我们考虑问题（PTLQ）的一个例子，其参数设置与[7]中给出的参数相同，即系统参数为，A（t）=0.2，我们将系统矩阵归一化为0.1。B（t）=(-5.-10、20）、C（t）=(-0.84, -3.78、0.849）和D（t）=6.85 11.22 -1.98-8.78 13.24 -5.440.68 14.53 -2.32,对于t∈ [0，T]。成本矩阵areR（t）=3.0 0 00 5.0 00 0 4.0, S（t）=0.10.40.5对于t，q（t）=10∈ [0，T），qT=0。控制范围为T=0.1。我们考虑以下上界和下界控制约束，d（T）| x（T）|≤ u（t）≤\'d（t）| x（t）|，其中d（t）=[-0.2, -0.2, -0.2]和'd（t）=[0.5，0.5，0.5]表示t∈ [0，T]。利用定理2，我们可以得到问题的最优控制（PTLQ）asu*（t） =^K*（t） x（t）1{x（t）≥0}-\'\'K*（t） x（t）1{x（t）<0}，其中^K*（t） 和“K”*（t） 如图1所示。

此外，时间t的值函数是v（t，x（t））=^G（t）x（t）{x（t）≥0}+’G（t）x（t）{x（t）<0}，其中^G（t）和‘G（t）如图2所示。然后，我们将控制范围扩展到T=∞ 考虑控制问题（P∞LQ）。根据定理3和算法1，我们可以识别^G*=0.7191和'G*= 1.2032. 相关的平稳最优控制为u∞（t） =^K*x（t）1{x（t）≥0}+(R)K*x（t）1{x（t）<0}，对于所有t∈ [0, ∞), 其中^K*和“K”*由，^K给出*=0.38150.2032-0.2000和“K”*=-0.2000-0.20000.1689.注意，方程（22）和（23）是否允许解取决于系统参数和约束。图3分别绘制了（33）和（34）中定义的函数^F（^G）和'F（'G），例如1。基于上述参数，我们发现方程^F（^G）=0和'F（'G）=0允许解，^G*= 0.7191和¨G*= 1.2032.（例如，用圆圈标记的线）但是，如果我们将t的约束更改为d（t）=[0.2，0.2，0.2]和d（t）=[0.8，0.8，0.8]∈ [0，T]，函数^F（^G）和'F（'G）都不接受解，由'绘制*’ 如图3所示。例2我们考虑第5节中研究的MV投资组合选择模型的一个示例。我们使用了美国六个工业部门的财务指数0.02 0.04 0.06 0.08 0.1time-0.200.20.40 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1time-0.200.2Fig。1、反馈增益^K*（t） 和“K”*（t） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1时间00.20.40.60.8图。2.

将^G（t）和^G（t）股票市场作为风险资产的解决方案，即玩具和娱乐、通信、造船、煤炭、黄金和工业采矿等部门。根据2008年1月至2013年12月的月度回报历史数据，我们可以估计平均回报率和波动率的参数，例如，这些行业指数的详细说明和历史数据是否可以从http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/Data_Library/det_48_ind_port.html.00.5 1 1.5 2-20-1001020溶液存在无溶液0.5 1 1.5 2-20-1001020溶液存在无溶液图。3、函数^F（^G）和'F（'G）为所有t设置u（t）=u和σ（t）=σ∈ [0，T]带u=0.0321 0.0123 0.0217 0.0217 0.0282 0.0146和‘∑=0.0845 0.0062 0.0166 0.0069 0.0087 0.00680.0062 0.0327 0.0148 0.0124 0.0067 0.00540.0166 0.0148 0.0589 0.0271 0.0204 0.00880.0069 0.0124 0.0271 0.1015 0.0215 0.05010.0087 0.0067 0.0204 0.0215 0.0609 0.01200.0068 0.0054 0.0088 0.0501 0.0120 0.1313与[16]中研究的MV投资组合模型不同，在该模型中，所有风险资产都施加了无卖空约束，我们的模型允许仅对部分资产施加无卖空约束，即我们将无卖空约束设置为，u（t）≥ 0，u（t）≥ 0，u（t）≥ 0和u（t）≥ t为0∈ [0，T]。剩余资产没有约束，即u（t）和u（t）没有约束。这些约束可以很容易地用矩阵公式h（t）u（t）表示≤ 0，即通过将H（t）的对角线元素设置为-1除第一个和第五个元素外，并将所有其他元素设置为0。我们还认为有一种无风险资产，月回报率为0.25%。投资者以初始财富x=100进入市场，并希望在T=12个月的投资期限内达到预期的最终财富水平d=130。

我们还包括R（t）=10的投资组合惩罚矩阵-所有t的2I∈ [0，T]。根据定理4，我们可以计算最佳拉格朗日乘子as024681012-4-20246810024681012-0.200.20.40.60.811.2Fig。4、^Kmv（t）和'Kmv（t）λ的输出*= 189.78，最优投资组合政策为，u*（t）=^Kmv（t）x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）如果x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）≥ 0,-(R)Kmv（t）x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）如果x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）<0。其中，图4中绘制了t的^Kmv（t）和'Kmv（t）∈ [0，T]。我们使用买入并持有投资组合政策作为基准，即我们将总T=12个月视为一期静态MV投资组合选择模型。所有约束和参数的设置都与我们的动态MV portfolioselection模型（MV）相同。解决这一问题为我们提供了买入并持有投资组合的政策。图5描绘了我们的模型（MV）生成的财富过程的实现情况以及价格过程相同样本路径的静态基准。图5显示，我们的模型的性能优于staticbenchmark模型。为了比较这两个模型的性能，我们在图6中绘制了两个模型的最终财富x（T）的平均方差系数前沿。有效前沿描述了Mean02468101280901001101020130我们的动态MVClassic静态MVRisk free returnFig的Parato最优集。5、已实现财富过程0 5 10 15 20 25 30105110115120125130135图。6、财富的有效边界和标准差。图6显示，对于相同的预期终端财富水平，我们的动态MV投资组合政策实现的风险水平低于静态MV投资组合政策。7结论本文给出了连续时间约束随机LQ控制问题的显式解。

我们的模型包括控制变量和状态变量的一般线性约束，它能够建模各种控制约束，例如正约束和负约束、约束和状态相关的上限和下限约束。这类问题的结构性质有助于我们发展控制策略的状态分离结果，这在本例中起着关键作用，有效边界按以下方式绘制。我们改变预期的终端财富水平d，并计算相应的最优投资组合。一旦我们有了投资组合，我们就可以计算最终财富的标准差。显式控制策略。我们还将我们的结果扩展到了具有内部控制水平的问题。在一定条件下，可以实现平稳最优控制策略。这些结果已应用于动态约束均值方差投资组合选择问题。未来一个可能的研究是将我们的结果推广到以部分矩为目标函数的随机控制问题，该问题在投资组合管理中有着广泛的应用，如平均下行风险投资组合优化模型。参考文献【1】B.D.O.Anderson和J.B.Moore。最优控制：线性二次法。多佛出版公司，纽约Mineola。[2] A.Bemporad、M.Morari、V.Dua和E.N.Pistikopoulos。约束系统的显式线性二次型调节器。《自动化》，38（1）：2002年3月20日。[3] D.Bernardini和A.Bemporad。随机约束线性系统的镇定模型预测控制。IEEE Trans。自动复制。《控制》，57（6）：1468–14802012年。[4] J.M.铋。具有随机系数的线性二次型最优随机控制。暹罗J.控制优化。，14(3):419–444, 1976.[5] S.Boyd和L.Vandenberghe。凸优化。剑桥大学出版社，2004年。[6] S.L.坎贝尔。

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