多少收入不平等是公平的？纳什讨价还价解及其应用

这是一个重要的结果，因为它证明了所有药物在经济结果（即有效效用）方面都得到了平等的对待。这证明了理想的自由市场具有结果公平性。我们还证明了这种分布是社会最优的。社会最优分布是指整个人口的有效效用（即社会总有效效用H）最大化的分布。这是杰里米·边沁（JeremyBentham）和约翰·斯图亚特·密尔（JohnStuartMill）等功利主义者所期望的结果。最大总效用（H*) 由H给出*=nXi=1Nih*i=NXj=1h*j=Nh*（17） （自h起*i=h*j=h*平衡时），受约束nXi=1NiSi=M（18）nXi=1Ni=N（19）。请注意，指数i涵盖N个不同的工资水平Si，而j涵盖N个员工。M是总工资预算，N是公司员工总数。现在，我们已经完成了必要的背景工作，我们准备继续开发纳什谈判解决方案框架及其与最大熵的联系。为此，让我们首先提供最大熵原理的直观解释。熵作为公平的衡量标准：对s=-我们知道，熵在统计平衡时是最大的。我们还知道，统计平衡的等效定义标准是所有可访问相空间单元的相等，这实际上是统计力学的基本假设。换句话说，在任何给定的时间，给定的分子在任何一个可访问的相空间单元中都同样可能被发现。例如，考虑封闭在一个腔室中的大量相同气体分子。

如果说从长远来看，气体分子更可能出现在燃烧室的左半部分而不是右半部分，并赋予它更高的概率（例如，p（左）=0.6，p（右）=0.4），那么这将是一种有偏的概率分配，也是一种不公平的概率分配。本作业假定某些信息尚未提供。人们对分子或其周围空间了解多少，从而使人们更喜欢左室而不是右室？这种偏好没有依据。概率的不平等分配是如此罕见和毫无根据。因此，最公平的概率分配就是结果的平等，即。，p（左）=0.5，p（右）=0.5。让我们进一步阐述这个例子。让我们假设这个腔室被划分为n个等体积的假想分区，这样分子就可以自由地将一个物体从一个分区移动到另一个分区。如前所述，统计平衡的本质是所有可访问相空间单元的相等。但这与S=-Pni=1磅pi（不要与工资混淆）？从这个等式来看，这种联系并不明显。然而，与熵的真实本质以及纳什积的重要含义有着令人着迷的联系。现在，在我们的腔室示例中，平衡的标准isp=p=…=pn=p（20），其中Pi是在第i部分中找到给定分子的可能性。但我们如何在实践中认识和实施该标准？这很容易做到，例如，如果phasespace中只有几个部分，例如，两个部分，左侧和右侧，就像我们上面所做的那样。如果p（左）=0.6，p（右）=0.4，我们会立即认识到非平衡状态。

我们也同样容易地认识到平衡状态，p（左）=0.5，p（右）=0.5。但当在相空间中有大量的分区或单元时，这就变得更加棘手了。例如，如果有1000个分区，而不是只有两个，并且我们得到了以下两种情况来评估，该怎么办？p=0.0015，p=0.001，p=0.0009。，p=0.0011p=0.0011，p=0.0008，p=0.0012。，p=0.0009由于所有隔板的体积相等，在平衡状态下，p=p=…=p=0.001我们如何比较这两种配置并确定哪一种更接近平衡？一般来说，我们如何在数十亿的此类替代配置之间进行比较？我们如何执行这一平等标准？人们可以计算平方残差之和进行比较，或者采用其他类似的方法，但当分子的数量和构型的数量达到数十亿时，就像典型的不稳定力学一样，这将变得非常乏味和混乱。有没有一种更简单、更优雅的方法来完成这项任务？事实证明，有一种方法利用了一个关于一组正数的乘积的奇妙结果，这些正数之和等于一个整数。这是熵方程的核心，也是我们后面展示的纳什积。虽然我们通过最大熵准则来识别平衡状态，但在其数学形式中隐藏着等式（20）给出的所有可访问单元的相等准则。为了看到这一点，我们首先观察到-Pni=1磅pi与最大化相同- lnQni=1ppii. 这和最小化是一样的lnQni=1ppii, 这与最小化相同Qni=1ppii.现在，根据两个著名的结果（相关的），算术平均几何平均不等式定理（AM–GM定理）[17]，以及Jensen的线性性质，当且仅当p=p=…，该乘积最小。。。。

=Pn，其中0<pi<1，Pni=1pi=1（也可以使用拉格朗日乘数法来证明这一点，但我们认为，使用AM-GM定理或Jensen不等式，几何直觉更为透明）。当然，这种平等是政治平衡的基本标准。因此，当我们最大化熵时，我们真正做的是迫使这个等式约束埋藏在其中。这是一个巧妙的数学技巧，通过利用乘积和一组正数之和之间的重要关系来实现等式。因此，提高质量，进而实现公平，是实现产品最大化的数学诀窍的目标，Qni=1ppii, 这与s最小化相同Qni=1ppii. 在下一节中，我们将看到如何在Na-sh产品中使用同样聪明的数学方法，即最大化产品以测试和强制实现相等。我们现在可以清楚地看到熵最大化与EnforcingQuality之间的关系，这与强制公平对待平等的事物是一样的。直到第一位作者在2009-2010年的论文中讨论了熵的重要性，熵才在统计力学、信息理论或经济学文献中得到明确的认识，即熵确实是分布公平性的衡量标准。熵的概念是在热力学的背景下首次发现的，这是一个历史性的偶然，因此，它通常被认为是随机性或无序性的度量。然而，熵的真正本质是公平，它在不同的背景下以不同的面具出现（关于这一点的详细讨论，请参见[7]）。4、纳什谈判解决方案我们现在推导出问题的纳什谈判解决方案。

继纳什关于两人讨价还价问题的原始公式【8】之后，已有大量关于这一主题的文献，并将其推广到了使用合作和非合作方法与许多应用程序的nplayer案例（我们在这里引用了一些精选论文【18、19、20、21、22、23、9、24、25、26、27】）。我们考虑N个标记为j=1的玩家，N（使用j而不是i表示单个参与者的指数），我们只考虑涉及所有N层的大联盟，因为所有N个参与者都是公司成功所必需的。这个联盟产生的收益是非负的。一旦这支球队成立，比赛就停止了。假设玩家1，N，有互补的sk-ills，它们可以组合起来产生某个总效用的可分割饼图。只有当所有参与者就各自的份额（h，h，…，hN）达成协议时，才会产生馅饼，并在N个参与者之间进行分配，其中hj是第j个参与者的份额或效用。以下对国家统计局的描述改编自【21】：考虑N个参与者（例如，公司员工）的合作博弈。让每个玩家j都有一个实用函数hj（x）：x→ 其中X是n的一个凸的、闭的和有界的集。例如，在通信网络中，X表示spa ceof吞吐量。设hd=[hd，1，hd，2，…，hd，N]其中，对于某些xd，hd，j=hj（xd）∈ X表示所有玩家都同意作为游戏起点的分歧点。一般来说，hd可以被认为是用户希望实现的单个默认实用程序的向量，至少在他们进入游戏时是这样。它也被称为吃点。设[H，hd]表示具有初始分歧点hd的博弈定义，其中H表示集合X在H（·）下的图像，即H（X）=H。设F[·，hd]：H→ H是一种仲裁策略。

如果n F满足以下四个公理，则称其为NBS。设ψ（h）=h′，其中h′j=ajhj+bj，对于j=1，2，N andaj>0，bj是任意常数。ThenF[ψ（H），ψ（hd）]=ψ（F[H，hd]）。（21）这表明策略空间中的操作点对于线性效用变换是不变的。解必须满足（F[H，hd]）j≥ hd，j（j=1，2，…，N）（22），而且不存在h∈ H使hj≥ （F【H，hd】）j对于所有j=1，2，N这就是解的帕累托最优的概念。3、设[H，hd]和[H，hd]是两个具有相同初始约定点的游戏，这样： H（23）F【H，hd】∈ H、 （24）则F[H，hd]=F[H，hd]。这被称为无关选择的独立性公理。这表明，如果仲裁点是小游戏的有效点，则具有更大策略集的agame的NBS与小游戏的NBS相同。额外的策略非常丰富。设H与a s ubs et J的re spec t对称 指数的{1，2，…，N}（即，设j，k∈ J和J<k），然后{h，h，…，hj-1，香港，hj+1，香港-1，hj，香港+1，hN}∈ H、 （25）如果hd，j=hd，k，那么（F[H，hd]）j=（F[H，hd]）k对于j，k∈ J、 这是对称公理，它指出，如果效用集是对称的，那么对于任何两个参与者，如果初始约定点对应于相等的性能，那么它们的ar比特值是相等的。Nash证明了满足四个公理的博弈的唯一解，即NBS，由表达式qnj=1（hj（x）最大化的点给出-hd，j），称为Nash产品。这可以写成asmaxNYj=1（hj（x）- hd，j）=maxNYj=1（hj- hd，j）（26），其中hj表示第j个玩家的效用函数及其效用。5.

收入分配博弈的NBS在本节中，我们定义了收入博弈的可行效用集，并证明它是一个凸集。通过最大化该集合上效用的乘积，我们得到了收入博弈的NBS，这与我们之前报告的纳什均衡解是相同的[6]。回顾（7）中定义的效用函数hi（Si，Ni）。假设n个SalaryLevel是预先确定的。那么，每个工资水平的代理人效用完全取决于其占有率，即ishi（Ni）=h0，i- γln Ni（27），其中h0，i≡ αln-Si- β（ln Si）是第i个工资级别的唯一常数。我们现在定义了人口NN的集合≡ {镍∈ Z+：nXi=1Ni≤ N}（28），其中代理的总数不超过N。很容易证明n是凸的。接下来，我们通过以下映射构造实用程序集H:H≡ {hi=h0，i- γln Ni:nXi=1Ni≤ N}。（29）为了证明H也是凸的，设H=H-γln和h=h-γln nbe H中任意两个效用向量。它们对应于两个职业向量n∈ N和N∈ N、 定义了h：h的凸组合≡ th+（1- t） h=h- γ[t ln N+（1- t） ln N]=小时- γln N（30），其中0≤ t型≤ 1是凸组合与N的比率≡ et ln N+（1-t） ln N.我们有nXi=1Ni，3=nXi=1et ln Ni，1+（1-t） ln Ni，2≤nXi=1teln Ni，1+（1- t） eln Ni，2=nXi=1[tNi，1+（1- t） Ni，2]=tnXi=1Ni，1+（1- t） nXi=1Ni，2≤ tN+（1- t） N=N（31），其中Ni，jis是矢量Nj的第i个分量。第一个不等式et ln Ni，1+（1-t） ln Ni，2≤ teln Ni，1+（1- t） eln Ni，2（32）遵循J ensen不等式，其中ftx+（1- t） x个≤ tf（x）+（1- t） f（x）（33），如果函数f（x）是凸x；第二个是N的定义。

Hitherefore也在H中，因为N中的Nis。回想一下，NBS是通过最大化（26）中的Nash乘积获得的。通过将具有相同效用的参与者分组在一起（即，他们处于相同的收入水平），我们将原来的NBS问题转化为以下问题：maxx∈XNYj=1（hj（x）- hd，j）=最大值∈HnYi=1hNii（34），其中我们设置了第j个玩家的分歧点或威胁点，jto be ze ro（即，玩家同意进入游戏，只要其有效效用大于零）。请注意，第一个产品覆盖所有玩家（N），而第二个产品覆盖所有级别（N）。因此，（34）相当于求解max g（N）=nXi=1Niln his。t、 l（N）=nXi=1Ni- N≤ 0（35），因为对数是连续且单调的。（35）的Karush–K uhn–Tucker（KKT）必要条件如下：g（N*) = ul（N*) （36）l（N*) ≤ 0 (37)u ≥ 0（38）ul（N*) = 0（39），其中u是KKT乘数。扩展（36），我们有*我-γh*i=u（i=1，…，n）。（40）存在（40）的唯一解决方案，其中h*i=h*= γ/W（γe-u）和Wdenotes L ambert-W（产品日志）功能。因为W（x）随x单调增加≥ 0增加，h*u>0时最大化。根据（39）中的互补松弛度，我们得到了l（N*) = 从（27）中，我们得到了*= αln-Si- β（ln-Si）- γln N*i、 （42）因此，收入游戏的国家统计局要求*i=NSiDexp-ln Si公司-α+γ2βγ/β（43）其中D=exph类*/γ - (α + γ)/4βγ. 方程（43）与纳什均衡解（15）相同，因为λ=h*. 这对应于所有享受相同效用的代理*在方程式（16）给出的平衡状态下。总结与结论我们为理想自由市场经济中的公平收入分配问题提出了一个纳什谈判解决方案。

如上所述，这是国家统计局首次针对这一问题提出形式主义，尽管形式主义本身已经广为人知了大约70年，公平不平等问题已经存在了两个多世纪。此外，由于国家统计局的结果是对数正态分布，我们在早期的工作中已经证明这是最公平的结果，因此我们看到了国家统计局和公平性之间的联系。通过最大化纳什积，我们将公平指数化。我们还表明，最大化熵本质上就是通过最大化乘积的数学装置来提高所有可访问单元的质量，从而最大化概率分布的公平性-lnQni=1ppii，即通过利用算术平均数-几何平均数不等式定理或Jensen不等式来最小化Qni=1ppii。以类似的方式，在NBS中，人们再次调用了使产品最大化的数学装置，这次是纳什产品。这两种技术都实现了相同的预期结果——平等的实施。在最大熵的情况下，我们实现了所有可访问相空间单元的概率质量-p=p=…=请注意。也就是说，我们在均衡状态下实现公平最大化。同样，对于国家统计局，我们实现了allagents有效效用的相等-h=h=…=hN=h*. 也就是说，我们实现了最大限度的公平和平衡。因此，纳什乘积最大化的真正经济目标是公平地对待所有受帕累托最优约束的代理人。由于公平性目标深深地埋藏在乘积最大化的数学装置中，就像它埋藏在最大熵原理的公式中一样，即使你探索它，公平性属性也不明显。因此，当人们在最终结果中发现公平结果时，自然会感到惊讶。

这就是为什么我们的经济学家有些困惑，提出诸如“纳什产品似乎到目前为止还没有得到一个有意义的解释”，“虽然公用事业产品的最大化是一个简单的数学运算，但它缺乏一个明确的解释；我们认为它只是一种技术手段”，以及如前所述的“纳什福利最大化的不合理公平性”[28]。因此，我们的工作揭示了Nas产品、熵和公平性之间的深刻而令人信服的联系。实现最大公平性是最大熵原理以及最大纳什福利函数的目的。在给定的约束条件下，实现平等，从而实现公平，是埋藏在最大化乘积的数学装置中的目标。我们在熵和纳什乘积中看到了这一点。致谢哥伦比亚大学系统风险管理中心（CMSR）部分支持这项工作。作者感谢Resmi Suresh在本手稿准备过程中提供的有益建议和帮助。参考文献[1]T.Piketty，A.Goldhammer，《二十一世纪的资本》，BelknapPress，2014年。[2] J.E.Stiglitz，《大鸿沟：不平等的社会和我们可以对其采取的措施》，W.W.Norton&Company，2015年。[3] R.B.Reich，《拯救资本主义：为多数人而非少数人》，Knopf，2015年。[4] V.Venkatasubramanian，高管的公平薪酬是什么？《工资分布信息论分析》，熵11（4）（2009）766–781。[5] V.Venkatasubramanian，《公平是劳动力自由市场的新兴自组织属性》，熵12（6）（2010）1514–1531。[6] V.Venkatasubramanian，Y.Luo，J.Sethuraman，收入中有多少不平等是公平的？《微观经济博弈论》，P Physica a：统计力学及其应用435（2015）120–138。[7] 第五条。