多少收入不平等是公平的？纳什讨价还价解及其应用

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英文标题：
《How much income inequality is fair? Nash bargaining solution and its
  connection to entropy》
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作者：
Venkat Venkatasubramanian and Yu Luo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The question about fair income inequality has been an important open question in economics and in political philosophy for over two centuries with only qualitative answers such as the ones suggested by Rawls, Nozick, and Dworkin. We provided a quantitative answer recently, for an ideal free-market society, by developing a game-theoretic framework that proved that the ideal inequality is a lognormal distribution of income at equilibrium. In this paper, we develop another approach, using the Nash Bargaining Solution (NBS) framework, which also leads to the same conclusion. Even though the conclusion is the same, the new approach, however, reveals the true nature of NBS, which has been of considerable interest for several decades. Economists have wondered about the economic meaning or purpose of the NBS. While some have alluded to its fairness property, we show more conclusively that it is all about fairness. Since the essence of entropy is also fairness, we see an interesting connection between the Nash product and entropy for a large population of rational economic agents.
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中文摘要：
两个多世纪以来，公平收入不平等问题一直是经济学和政治哲学中的一个重要开放问题，只有罗尔斯、诺齐克和德沃金提出的定性答案。最近，我们为理想的自由市场社会提供了一个定量答案，通过发展一个博弈论框架，证明理想的不平等是均衡收入的对数正态分布。在本文中，我们开发了另一种方法，使用纳什谈判解决方案（NBS）框架，这也得出了相同的结论。尽管结论是相同的，但新方法揭示了国家统计局的真实性质，这几十年来一直备受关注。经济学家对国家统计局的经济含义或目的感到疑惑。虽然有人提到了它的公平性，但我们更确切地表明，它是关于公平的。由于熵的本质也是公平的，我们看到了大量理性经济主体的纳什积和熵之间有趣的联系。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：收入不平等 讨价还价 不平等 Quantitative distribution

多少收入不平等是公平的？纳什谈判解决方案及其与entropyVenkat Venkatasubramaniana的联系，*, Yu Luobad纽约哥伦比亚大学化学工程系，纽约10027特拉华大学化学与生物分子工程系，特拉华大学，纽瓦克，DE 19716摘要关于收入不平等的问题在两个多世纪以来一直是经济学和政治哲学中一个重要的开放性问题，只有定性的答案，如罗尔斯、诺齐克、，还有德沃金。最近，我们为理想的自由市场社会提供了一个定量答案，通过发展一个博弈论框架，证明了理想的不平等是均衡收入的对数正态分布。在本文中，我们发展了另一种方法，使用纳什谈判解决方案（NBS）框架，这也得出了相同的结论。尽管结论是一样的，但新方法揭示了国家统计局的真实性质，这几十年来一直备受关注。经济学家们一直想知道国家统计局的经济意义或目的。虽然有人提到了它的公平性，但我们可以得出结论，这一切都是关于公平的。由于熵的重要性也是公平的，我们看到了大量理性经济主体的灰积和熵之间有趣的联系。*相应的authorEmail地址：venkat@columbia.edu（文卡特·文卡塔苏布拉曼尼亚），yuluo@udel.edu（于洛）提交给Physica A的预印本：统计力学及其应用2018年7月24日。引言极端经济不平等被广泛视为对稳定和充满活力的资本主义民主国家未来的严重关切。2015年，达沃斯世界经济论坛（World EconomicForum）将深化收入不平等视为我们这个时代的头号挑战。

正如许多政治观察家所言，极端经济不平等和繁荣分享不均的社会和政治后果似乎对2016年美国总统选举的结果起到了一定作用。美国的许多人认为，国家目前的经济不平等水平是不公平的，资本主义对90%的人口不起作用。然而，对于一个成功的资本主义社会来说，一些收入不平等是不可避免的，甚至是可取的和必要的。由于不同的人拥有不同的才能和技能，以及不同的工作能力，他们在社会中做出了不同的贡献，有的多，有的少。因此，贡献更多的人挣得更多才是公平的。但还有多少？换句话说，什么是最公平的收入不平等？这一关键问题是不平等辩论的核心。《道德宣言》与其说是关于不平等本身，不如说是关于公平。考虑一个简单的例子来说明这一点。约翰被聘为临时工，工作一小时，收入100美元。礼来也做同样的工作，质量也一样，但工作两个小时，收入200美元。他们的收入是否存在不平等？当然有。但这种不平等公平吗？当然是这样。莉莉挣得更多是因为她贡献了更多。他们的收入不平等，但公平。他们都是以相同的每小时工作率工作的，这是这里公平的基础。在这种简单的情况下，很容易确保公平，但总体而言，在一个由数百万不同程度的人才、技能和工作能力的工人组成的自由市场社会中，我们如何做到这一点？是否有一种公平的衡量标准可以指导我们实现这一目标？是否有确保公平的收入分配？考虑到问题的复杂性，人们可能会认为这两个问题的答案都是否定的。

但令人惊讶的是，在某些条件下，答案是肯定的。第一位作者在一系列论文【4、5、6】和一本书【7】中指出，我们所寻求的公平性衡量标准是熵，在理想的自由市场中，均衡时的公平收入分配是对数正态的。这些结果是通过从两个不同但相关的角度分析问题得出的：统计力学和潜在博弈论。在本文中，我们展示了另一种方法，即纳什谈判解决方案（NBS）形式主义[8，9]。我们认为这篇论文在两个方面很有价值。第一，这是第一次针对收入分配问题提出国家统计局的形式。尽管国家统计局的形式主义已广为人知近70年，并在许多公平分配问题中得到广泛应用（例如，见[9]），但我们发现，它没有被用来解决自由市场经济中收入公平分配的核心问题，这一点非常令人惊讶。因此，我们认为国家统计局对这一问题的表述是对经济文献的重要贡献。其次，虽然我们分析的最终结果本身并不新鲜，但这种新方法揭示了一些出乎意料的事情，即纳什乘积的真正含义及其与熵的关系。在国家统计局（NBS）的形式主义中，通过最大化效用的乘积，即纳什乘积（更多信息，请参见第4节）得出解决方案。多年来，经济学家一直想知道纳什产品的真正含义，即经济内容。

不同代理的效用之和具有经济意义，因为它为我们提供了系统的总效用，但为什么是效用的产物呢？它代表什么？正如特罗克尔（Trockel）[10]所观察到的：虽然所有其他的特征，通过公理或通过非合作博弈均衡的支持，似乎反映了这个解决方案的不同方面，并打开了新的解释方式，但其最简单的描述v是纳什积，似乎迄今为止还没有一个有意义的解释。然而，关于其直接解释，奥斯伯恩·鲁宾斯坦（Osborneand Rubinstein）[11]（1994年，第303页）的引用最能描述这种情况：“虽然效用产品的最大化是一个简单的数学运算，但它缺乏向前的解释；我们只将其视为一种技术手段。”大多数人把它当作一种方便的数学工具，但它到底是什么？有趣的是，势的意义（P*) 在博弈论中，波塞达也遇到了蒙德里尔和夏普利[12]指出的类似难题：这就提出了一个自然问题，即P的经济内容（或解释）*: 这些公司试图联合最大化什么？我们对这个问题没有答案。这再次与塞缪尔森（Samuelson）几十年前在其诺贝尔演讲中提出的一个类似的基本问题有关：亚当·斯密的“看不见的手”被支持最大化是什么？我们在早期的研究中表明，萨缪尔森、蒙德里尔和夏普利认为，我们对经济理论的理解中缺少了一些有趣而深刻的东西，这是正确的，缺少的是对公平概念如何与所有这些紧密联系的理解。

我们证明了势能和熵都代表着分布中的公平性概念，这就是“看不见的手”正在最大化的。基于这一观点，我们在本文中对灰分产品及其与熵和公平性的关系进行了全新的解释。我们展示了如何使用相同的数学工具来实现相同的目标。我们早期的工作通过熵的概念揭示了潜在博弈与统计力学之间的深层联系。在本文中，我们展示了这两个框架如何通过熵和纳什积之间的联系与NBS框架紧密联系。因此，这三个谜题“看不见的地带”、潜力和纳什积以一种深刻而有趣的方式相互关联，并与熵关联，所有这些都与相同的关键经济概念，即公平有关。潜在博弈论框架：总结过去的工作在继续之前，我们需要回顾早期工作的中心思想和结果[6，7]，因此，为了读者的利益，我们将其总结在这里。让我们首先回顾一下我们为公司中使用的理性代理的效用推导的表达式。我们是通过回答人们为什么要找工作这一基本问题而得出这一结论的。从最根本的生存层面来说，就是现在能够支付账单，这样他们就可以谋生，并希望目前的工作能带来更美好的未来。人们希望现在的工作能带来更好的下一份工作，根据当前工作的经验获得d，并在未来找到一系列更好的工作，从而过上更好的生活。因此，从工作中获得的效用由两个部分组成：谋生的即时收益（即“现在”效用）和对美好未来生活的展望（即“未来”效用）。

当然，也要考虑到工作或贡献的成本或重要性。因此，我们提出，工作的有效效用由以下三个主要因素决定：（i）工资效用，（ii）工作或贡献的非效用，以及（iii）未来前景的公平机会的效用。再见，我们的意思不仅仅是身体的力量，即使它是身体力量的一部分。因此，代理的有效效用由以下公式得出：hi（Si，Ni）=ui- vi+wi（1），其中HI是指通过支出拨款获得工资的员工的有效效用，同时与（Ni）竞争-1） 其他从事同一工作的代理人也将面临更美好的未来。u（·）是从工资中获得的效用，v（·）是从福利中获得的无用性，w（·）是从创造更美好未来的机会中获得的效用。每个代理都试图通过选择适当的工作类别i.2.1来最大化其有效效用。前两个要素很容易理解，但第三个要素需要一些讨论。考虑以下场景。一群刚毕业的法学院毕业生（共计Ni）刚刚被一家庞大的法律公司聘用为合伙人。他们被告知其中一人将在八年内晋升为合伙人，这取决于她或他的表现。让我们假设合伙企业价值Q美元。因此，任何合伙人进入梦寐以求的合伙企业的机会都是1/Ni，其中Ni是她所在的本地竞争对手peergroup i中的合伙人数量。因此，该奖项的预期值为Q/Ni，由于边际效用递减，由此得出的效用为ln（Q/Ni）。

边际效用递减是一个众所周知的经济学概念，它指出，当一个人消耗越来越多的资源时，通过消耗额外单位的资源而获得的增量收益会减少。这一性质通常由对数函数建模。重要的是要认识到，利益（ln Q）在于未来，但其成本或无用性（ln（1/Ni））是在目前，在与同龄人的日常竞争中支付给合作伙伴的。这类似于买彩票。提货的成本（比如说1美元）在购买时立即产生，但赢得一大笔奖金的潜在好处在于未来。就目前而言，1美元是1美元——这一不可用性将立即得到说明。因此，在竞争环境中，为获得公平的职业发展机会而产生的无用性为：wi（Ni）=-γln Ni（2），其中γ是常数。该方程模拟了代理之间竞争互动的影响。考虑到整个社会，这一等式抓住了这样一个概念，即在一个公平的社会中，一个具有必要教育、经验和技能的合格代理人应该能够公平地获得增长机会，而不考虑她的种族、肤色、性别和其他此类因素，也就是说，这是一个公平的竞争环境。这是为了获得更好的生活、向上流动的机会或平等机会而产生的成本或效用。我的类别与她在社会中的资格类别相对应。这一类的其他代理商是她将与之竞争的增长机会。2.2. 为从sala ry导出的效用建模作业的非效用，我们再次使用常用的对数效用函数：ui（Si）=αln Si（3），其中α是另一个常量参数。

至于福利部分，每个工作都有与其相关的某些无用性。这种无用性取决于一系列因素，如使自己符合工作条件所需的教育投资、获得的经验、工作时间和时间表、工作质量、工作环境、公司文化、搬迁焦虑等。要对此进行建模，可以将u和v结合到ComputeNet=au- bv（a和b为正常数参数）（4）是在计算成本后从工作中获得的净效用（即净效用或收益）。通常，净效用会随着u的增加而增加（例如，因为工资增加）。然而，一般来说，在一个点之后，由于加班、失去与家人相处的优质时间、放弃爱好、工作压力导致身心健康不佳等个人的牺牲，成本增加了很多，达到最大值后，成本还会下降。这种常见的倒U型曲线的最简单模型是二次函数，如inunet=au- 日分。（5） 自，u~ ln（工资），我们得到方程（6）：vi（Si）=β（ln-Si）。(6)2.3. 工作的有效效用将这三者结合起来，我们有hi（Si，Ni）=αln Si- β（ln-Si）- γln Ni（7），其中α，β，γ>0。一般来说，α、β和γ可以根据代理的不同而变化，它们是代理分配给这三个元素的相对重要性的模型。然而，我们考察了所有年龄段的NT都有相同偏好的理想情况，因此将其视为常数。2.4. 均衡收入分配然后，我们使用势博弈论框架证明[6，7]，具有此效用函数的大量代理人将达到纳什均衡。在势博弈[14、15、16]中，存在一个称为势的标量值全局函数，它捕获有关实用程序的必要信息。电势的梯度就是效用。

对于这类博弈，当势能最大化时，就会达到纳什均衡。因此，使用势博弈形式，我们将员工的效用作为势φ（x）的梯度，即hi（x）≡φ（x）xi（8），其中xi=Ni/N表示i类种群的分数，x是种群向量。因此，通过积分（我们将偏导数替换为总导数，因为hi（x）可以将d减少为hi（xi），如（1）–（6）），φ（x）=nXi=1Zhi（x）dxi。（9） 我们观察到，使用（7），我们的对策是一个势函数φ（x）=φu+φv+φw+常数（10）的势对策，其中φu=αnXi=1xilin Si（11）φv=-βnXi=1xi（ln Si）（12）φw=γNlnN！Qni=1（Nxi）！（13） 我们在方程（13）中使用了斯特林近似。可以看出φ（x）是严格凹的：φ（x）xi=-γxi<0（14）因此，该博弈存在唯一的纳什均衡，其中φ（x）最大化，根据势games中的著名定理[15，p.60]。因此，自组织的自由市场动态，即员工跳槽，公司跳槽，以寻求更好的公用事业或福利，最终达到平衡状态，收入分配达到平衡。当电势φ（x）最大时，就会发生这种情况。均衡收入分配为以下对数正态分布：xi=SiDexp-ln Si公司-α+γ2βγ/β（15） 其中D=N expλ/γ - (α + γ)/4βγλ是在Pni=1xi=1的约束条件下，用于最大化φ（x）的拉格朗日乘数。我们还证明了有效效用h*, 式中，uilibrium由以下公式得出：h*= γln Z- γln N（16），其中Z=Pnj=1exp[αln Sj- β（ln-Sj）]/γ类似于统计力学中的配分函数（很容易证明λ=h*). 在均衡状态下，所有代理人享有相同的效用或有效福利，h*. 当然，每个人的薪水都不一样，但他们都享有同样的效用。