多元套期保值价格上限的博弈推导

假设f是可分的（9），对于每个子集Ak，χ是移动集χ（k）的直积。然后，f的上套期保值价格与f的上套期保值价格之和···，fK：’Eχ（f）=KXk=1’Eχ（k）（fK）。（10） 证明。我们为单轮博弈提供了一个证明。通过将其应用于每一轮，得到了多步对策的证明。为了表示法的简单性，我们考虑了K=d和Ak={K}的情况，但没有本质上的一般性损失。然后，移动集χ是乘积集χ=χ×····×χ，payoff函数写为f（ξ）=dXk=1fk（（SN）k）。（11） 设p为χ上的任意风险中性测度，p、····、Pd为其边缘。然后，每个PKI都是χk的风险中性度量。通过采用（11）中的期望值，Ep（f）=dXk=1Epk（fk）。自Epk（fk）起≤(R)Eχk（fk），Ep（f）≤dXk=1？Eχk（fk）。因此，\'Eχ（f）=maxp∈P（χ）Ep（f）≤dXk=1？Eχk（fk）。（12） 相反，设p、···、pdbe分别是χ、···、χd上的任意风险中性测度。定义p=p×···×pd。那么，p是χ的风险中性度量，它满足dxk=1Epk（fk）=Ep（f）。自Ep（f）起≤(R)Eχ（f），dXk=1Epk（fk）≤(R)Eχ（f）。因此，dXk=1'Eχk（fk）=maxp，···，pddXk=1Epk（fk）≤(R)Eχ（f）。（13） 从（12）和（13）中，我们得到（10）。3子模块和超模块支付函数我们已经看到，上限对冲价格的计算减少到最大化的后向引导（4）。在本节中，我们将证明，如果Payoff函数满足称为亚模块性或超模块性的组合属性，则此最大化以闭合形式解决。作为特例，我们讨论了最大值或最小值上的选项。在本节中，我们假设移动集χ是n=····=nd=2的乘积集（1），即晶格二项模型。

注意a（k）<0<a（k），对于k=1，···，d，因为我们假设convχ在其内部包含theorigin。3.1子模和超模函数子模的概念是组合优化理论的基础（Fujishige，2005）。定义3.1.o设置函数f:2X→ 如果R满足F（U），则称其为子模∩ V）+f（U∪ 五）≤ f（U）+f（V），对于每个U，V 十、 o设置功能f:2X→ 如果R满足F（U），则称其为超模∩ V）+f（U∪ 五）≥ f（U）+f（V），对于每个U，V 十、 众所周知（Schrijver（2003）的定理44.1），在定义3.1中，我们只需要考虑U和V，使得| U\\V |=| V\\U |=1。（14） 我们可以将子模性和超模性的定义扩展到超立方体[0，1]和Rd上的函数。对于向量u，v∈ Rd，我们用u表示分量最小值和最大值的向量∧v∈ RDA和u∨ v∈ Rd，分别为：（u∧ v） i=最小值（ui，vi），（u∨ v） i=最大值（ui，vi）。然后，超立方体[0，1]上的子模和超模函数定义如下。定义3.2.oA函数^f：[0，1]d→ R或R→ 如果满足f（u），则称R为子模块∧ v） +华氏度（u∨ 五）≤^f（u）+^f（v），（15）对于每个u，v∈ 【0，1】多尔路oA函数^f:【0，1】d→ R或Rd→ 如果R满足f（u），则称为超模∧ v） +华氏度（u∨ 五）≥^f（u）+^f（v），对于每个u，v∈ [0，1]dor Rd.我们注意到，多元全正性（MTP2）的概念与子模块化密切相关（Karlin，1968；Fallat et al.，2017）。即，正函数isMTP2当且仅当其对数为超模。当^f：[0，1]d→ R或Rd→ R是两次连续可微的，^f的子模性和超模性以混合二阶导数的符号为特征，如下所示。引理3.1。

o两次连续可微分函数f:[0，1]d→ R或D→ R是子模当且仅当^f硅sj公司≤ 0（16）对于每i 6=j.o一个两次连续可微函数^f:[0，1]d→ R或Rd→ R是超模的当且仅当^f硅sj公司≥ 0对于每个i 6=j.Proof。我们仅证明第一个陈述。考虑到第二个语句的证明是相似的-^f。假设^f是子模，并设ε>0和ε>0。设ei为单位向量，i坐标为1，其他坐标为零。替换u=s+εeiandv=s+εejito（15），^f（s）+^f（s+εei+εej）≤^f（s+εei）+^f（s+εej）。因此，^f（s+εei+εej）-^f（s+εej）ε≤^f（s+εei）-^f（s）ε。放置ε→ 0，我们获得^fsi（s+εej）≤^fsi（s）。因此，我们得到（16）。相反，假设（16）。为了证明^f的子模性，有必要考虑u和v仅在两个元素中不同的情况，如（14）所示。在不丧失一般性的情况下，设u=（a，b，c，···，cd）和v=（b，a，c，···，cd），a<b，a<b。然后，（f（u∨ 五）-^f（v））-（^f（u）-^f（u∧ v） ）=ZbaZba^fss（s、s、c、····、cd）DSD≤ 因此，^f是子模。3.2凸闭包和Lov'asz扩张在考虑最大化（4）时，凸闭包和Lov'asz扩张的概念是有用的。Dughmi（2009）简要介绍了这些主题。设X={X，···，xd}为有限集。对于X的子集a，其特征向量a∈ RDI定义为（1A）k=（1（xk∈ A） 0（xk6∈ A） 。在下面，我们通过双射A 7将2x标识为{0，1}d→ 1A。对于setfunction f：2X→ R、 a函数^f：[0，1]d→ R或Rd→ 如果满足^f（1A）=f（A），则称R为其延伸。定义3.3。

对于集合函数f:2X→ R、 其凸闭包f-: [0，1]d→ Rand凹闭合f+：[0，1]d→ R是定义asf的扩展-（s） =最大{g（s）| g（1A）≤ f（A），A. 十、 g：凸}，f+（s）=最小{g（s）| g（1A）≥ f（A），A. 十、 g：凹面}。从定义来看，f-和f+分别是凸的和凹的。引理3.2。对于集合函数f:2X→ R、 它的凸闭包和凹闭包由f给出-（s） =最小α（XAXαAf（A）XA公司XαAA=s，XAXαA=1，αA≥ 0），f+（s）=最大α（XAXαAf（A）XA公司XαAA=s，XAXαA=1，αA≥ 0). （17） 证明。见Dughmi（2009）第3.1.1节。Lov\'asz（1983）引入了另一种扩展，它在子模函数优化中起着重要作用（Fujishige，2005）。定义3.4。（Lov\'asz，1983）对于集合函数f:2X→ R、 其Lov'asz扩展FL:[0，1]d→ R定义为FL（s）=dXj=0pj（s）f（Aj（s）），其中p（s），p（s），···，pd（s）≥ 0和 = A（s） A（s） ···  Ad（s）=X是给定的Nbys=dXj=0pj（s）1Aj（s），dXj=0pj（s）=1，| Aj（s）|=j。请注意，Lov'asz扩展可以视为在（17）中取α的特殊值。Lov'asz（1983）表明，集函数f的子模性等价于其Lov'asz扩展fL的凸性。事实上，有一个更强的结果如下。引理3.3.o子模函数f的凸闭包等于f:f的theLov'asz扩张-= f.o超模函数f的凹闭包等于f的Lov'asz扩展：f+=fL.Proof。见Dughmi（2009）第3.1.3节。3.3上套期保值价格与凹closureLet g的关系：[0，1]d→ [a（1），a（1）]×···×[a（d），a（d）]是由g（s）=（（1- s） a（1）+sa（1），···，（1- sd）a（d）+sda（d））和g：{0，1}d→ χ是它对{0，1}d的限制。通过使用g，我们可以识别payoff函数f:χ→ 具有集合函数f=f的单轮博弈的Rog： {0，1}d→ R

然后，其凹面闭包与最大化（4）密切相关，如下所示。提案3.1。对于单轮博弈，套期保值价格上限由Eχ（f）=f+（g）给出-1(0)).证据引理3.2，f+（g-1（0））=最大α（XAXαAf（1A）XA公司XαAA=g-1（0），XAXαA=1，αA≥ 0).（18） 由于g是一个双射映射，因此（18）中α的第一个约束等价于toXAXαAg（1A）=0。（19） 这里，为了 十、 g（1A）的每个条目∈ Rdisg（1A）k=（a（k）（xk∈ A） ，A（k）（xk6∈ A） 。因此，（19）被重写为asXA十： xk公司∈AαAa（k）+XA十： xk6型∈AαAa（k）=0，（k=1，···，d）。因此，将满足（18）中约束条件的每个α=（αA）视为χ的风险中性度量。由于Eχ（f）是所有风险中性度量中的最大值，因此我们得到了Eχ（f）≥ f+（g-1(0)).相反，对于每个eχ={ai，···，aid}∈ 设α（A）=（peχj（g（1A）=aij）0（否则），其中peχ定义为（3）。然后，XAXαAg（1A）=dXj=0peχjaij，k=0，XAXαA=dXj=0peχj=1，和xaXαAf（A）=dXj=0peχjf=I（eχ，f）。因此，从（18），f+（g-1(0)) ≥ I（eχ，f）。由于eχ是任意的，通过命题2.1我们得到f+（g-1(0)) ≥ 最大χ∈ΓI（eχ，f）=eχ（f）。3.4两种资产情况假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}，其中a（1）<a（1），a（2）<a（2）。对于单轮博弈，（4）中的最大化涉及两个eχ的候选者。其中一个（eχ+）与另一个（eχ+）呈正相关-) 具有负相关。例如，在图1中，ABD和BCD具有正相关，而ABC和CD具有负相关。与第3.3节类似，Payoff函数f：χ→ 用集合函数f=f识别的Riso g： {0，1}→ R、 如果fis为子模或超模，则（4）中的最大值确定如下。提案3.2.o如果是fis子模，则（4）中的最大化子是负相关eχ的最大化子-:I（eχ-, f） =最大χ∈ΓI（eχ，f）。o如果fis为超模，则（4）中的最大化子是正相关的eχ+：I（eχ+，f）=maxeχ∈ΓI（eχ，f）。证据

根据Lov\'asz扩展的定义，fL（g-1（0））=I（eχ+，f）。当fis是子模时，我们有f-（g）-1（0））=fL（g-1（0））来自提案3.3。然后，从引理3.2，fL（g-1（0））=I（eχ+，f）≤ I（eχ-, f） （4）中的最大值是eχ-.当f是超模时，我们有f+（g-1（0））=fL（g-1（0））来自提案3.3。然后，从引理3.2，fL（g-1（0））=I（eχ+，f）≥ I（eχ-, f） （4）中的最大值是eχ+。现在，考虑N轮博弈，假设payoff函数是一个欧式选项f（ξ）=f（SN），其中ξ=x···xNand SN=x+···+xN。回想一下，f（ξn，n-n） 对于欧式期权，仅取决于Sn=x+····+x。Payoff函数的子模性或超模性在（5）的后导中保持如下。引理3.4.o假设F:R→ R是子模。那么，对于n=n- 1，···，0，f（ξn·，n）的复合函数-n-1） 和每ξn的gis子模∈ χn.o假设F:R→ R是超模的。那么，对于n=n-1，···，0，’f（ξn·，n）的复合函数- n- 1） 和每ξn的gis超模∈ χn.证明。我们通过归纳法证明了第一个陈述。第二个陈述的证明是相似的。案例n=n- 1从f（ξN，0）=f（SN），\'f（ξN）开始是平凡的-1·，0）=f（ξN-1·）=F（SN-1+·）和定义3.2。现在，假设f（ξn·，n）的复合函数- n- 1） 每ξn和gf∈ χnis子模作为集函数。自'f（ξn，n- n） 仅取决于Sn=x+····+xn，我们写出'f（ξn+1，n- n- 1） =(R)F（序号+1，N- n- 1). 然后，对于每ξn-1.∈ χn-1和A 十、 根据（5）和定理3.1，’f（ξn-1g（A），N- （n）- 1) - 1） =(R)f（ξn-1g（A），N- n） =最大χ∈ΓI（eχ，(R)f（ξn-1g（A）·，N- n- 1） ）=I（eχ-,\'f（ξn-1g（A）·，N- n- 1） ）=dXj=0peχ-j′f（ξn）-1g（A）aij，N- n- 1） =dXj=0peχ-j'F（序号-1+g（A）+aij，N- n- 1） ，其中eχ-= {ai，···，aid}。

因此，’f（ξn-1g（A），N- （n）- 1) - 1） =dXj=0peχ-j'F（序号-1+aij+g（A），N- n- 1).对于每个j，函数A 7→\'\'F（序号-1+aij+g（A），N- n- 1） 是f（ξn）的组成-1aij·，N- n- 1） 所以它是假设的子模。然后，由于子模性在凸组合下保持不变，因此'f（ξn）的复合函数-1·，N- （n）- 1) - 1） gis也是子模块。将引理3.4与命题3.2相结合，将（5）中的每个最大化问题用封闭形式求解如下。定理3.1.o如果F：R→ R是子模，则每个步骤（5）中的最大化子是负相关eχ的最大化子-.o 如果F：R→ R为超模，则每一步（5）中的最大值为eχ+正相关的最大值。3.5资产较多的情况假设d≥ 3和χ={a（1），a（1）}×·············································。考虑一个单回合游戏。与第3.3节类似，Payoff函数f：χ→R由一个集合函数f=f确定o g： {0，1}d→ R、 如果fis是超模的，那么如命题3.2的第二部分所示，（4）中的最大化子确定如下。提案3.3。如果是超模，则（4）中的最大化子iseχL={g（1A（s）），g（1A（s）），····，g（1Ad（s））}，s=g-1（0），（20），其中 = A（s） A（s） ···  Ad（s）=X由s=dXj=0pjAj（s），dXj=0pj=1，| Aj（s）|=j给出。现在，考虑N轮博弈，并假设Payoff函数是一个欧式选项f（ξ）=f（SN），其中ξ=X··xNand SN=X+···+xN。引理3.4通过如下相同的证明推广到一般d。引理3.5。假设F:Rd→ R是超模的。那么，对于n=n- 1，···，0，’f（ξn·，n）的复合函数- n- 1） 和gis超模作为每ξn的集函数∈ χn.结合引理3.5和命题3.3，将（5）中的每一个最大化问题用封闭形式求解如下。定理3.2。

如果F：Rd→ R是超模的，那么每一步（5）中的最大值就是eχLin（20）。因此，当F是超模时，可以有效地计算出套期保值价格的上限。另一方面，当F是子模时，（4）中的最大值不能以闭合形式求解（Calinescu et al.，2007）。因为可能的eχ增长速度至少和2d一样快-2（见附录B），具有子模块支付函数的欧式期权的套期保值价格上限的计算在规模较大时变得很困难。3.6最大或最小期权多元未定权益的典型和现实例子是多个资产的最大或最小期权（Stulz，1982；Johnson，1987）。最大值上的期权是一种欧式期权，其支付函数FM（ξ）=FM（SN）=（maxi（SN）i- K） +，其中x+=最大值（x，0）。类似地，最小的期权是欧洲期权，其支付函数Fm（ξ）=Fm（SN）=（mini（SN）i- K） +。提案3.4.o功能FMis子模块。o函数Fmis超模。证据假设FM（s）≤ FM（t），不丧失一般性。然后FM（s∨ t） =自maxi（s）起的FM（t）∨ t） i=最大值。此外，FM（s∧ t）≤ 自maxi（s）起的FM（s）∧ t） 我≤ 马克西西。因此，我们获得FM（s∧ t） +FM（s）∨ t）≤ FM（s）+FM（t）。假设Fm（s）≤ Fm（t），不丧失一般性。然后Fm（s∧ t） =Fm（s）sincemini（s）∧t） i=minisi。此外，Fm（s∨t）≥ Fm（t）自mini（s）起∨t） 我≥ minisi。因此，我们获得Fm（s∧ t） +调频∨ t）≥ Fm（s）+Fm（t）。结合命题3.4、定理3.1和定理3.2，我们得到如下结果。推论3.1。假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}对于最大值选项，每个步骤（5）中的最大值是负相关eχ的最大值-.o 对于最小值的选项，每个步骤（5）中的最大值是具有正相关eχ+。推论3.2。假设d≥ 3和χ={a（1），a（1）}×····×{a（d），a（d）}。

对于最小选项，每个步骤（5）中的最大值为eχLin（20）。4欧式期权上限套期保值价格的限制行为在本节中，我们表明，随着博弈轮次数的增加，欧式期权的上限套期保值价格收敛于Black-Scholes-Barenblatt方程的解。我们还表明，当Payoff函数为次模或超模时，Black-Scholes-Barenblatt方程退化为线性Black-Scholesequation，并以闭合形式求解。4.1 Black-Scholes-Barenblatt方程的推导考虑具有欧式期权F（ξN）=F的N轮多项式对策序号√N, SN=x+···+xN。（21）回忆Γ={eχ χ| | eχ|=d+1，0∈ conv eχ，dim conv eχ=d}。对于每个χ={al，···，ald}∈ Γ，将风险中性度量peχ=（peχ，···，peχd）定义为线性方程（3）的解。设∑（eχ）∈ Rd×dbe peχ的协方差矩阵：∑（eχ））ij=dXk=0peχkalk，ialk，j（i，j=1，··，d）。对于两次连续可微F，我们表示其Hessian矩阵sF（s）∈ Rd×dassF（s）ij公司=硅sjF（s）（i，j=1，···，d）然后，通过扩展Nakajima et al.（2012）的定理4.1，我们得到以下结果。定理4.1。考虑一个具有欧式期权（21）的N轮多项式博弈，其中F有一个紧支集，并且两次连续可微。

假设0 6∈ χ.o 欧式期权套期保值价格上限（21）islimN→∞\'Eχ（f）=\'u（0，1），其中\'u:Rd×[0，1]→ R是偏微分方程的解t'u（s，t）=最大χ∈ΓTr∑（eχ）·s’u（s，t）, （22）初始条件“u（s，0）=F（s）。o欧式期权（21）套期保值价格下限为→∞Eχ（f）=u（0，1），其中u:Rd×[0，1]→ R是偏微分方程的解tu（s，t）=矿山χ∈ΓTr∑（eχ）·su（s，t）, （23）初始条件u（s，0）=F（s）。根据Pham（2009）的定理4.6.9，在定理4.1的假设下，存在（22）和（23）的光滑解。如果0，则需要粘度解的概念∈ χ或F仅连续。如Shafer和Vovk（2001）第6.3节所述，该定理的结果可以推广到F的三阶和四阶导数有界的情况。PDE（22）是BlackScholes-Barenblatt方程（Romagnoli和Vargiolu，2000）的加和形式。当d=1时，（22）中的最大值仅取决于u的二阶导数的符号，并且（22）减少到Nakajima et al.（2012）中的方程式（13）。Peng（2007年）和Romagnoli和Vargiolu（2000年）第5节也讨论了该案件。然而，当d≥ 2，（22）中的最大化变得更加复杂。Romagnoli和Vargiolu（2000）第4节从优化理论的角度讨论了这种最大化。Romagnoli和Vargiolu（2000）中的Black-Scholes-Barenblatt方程是t'u（s，t）=最大λ∈∧Trλλ>· s’u（s，t）, （24）初始条件为“u（s，0）=F（s）。这里，∧是n×n实矩阵空间中的闭有界集。PDE（22）被视为PDE（24）的特例，其中∧是一个有限集。换句话说，PDE（24）是PDE（22）的推广，以建立预测游戏。Nakajima等人。