多元套期保值价格上限的博弈推导

（2012）也讨论了这一点。4.2线性Black-Scholes方程的简化Romagnoli和Vargiolu（2000）指出，Black-Scholes-Barenblatt方程（24）简化为普通线性Black-Scholes方程t’u（s，t）=Trλλ>· s’u（s，t）, （25）如果最大λ不依赖于s或t。请注意，该偏微分方程与具有各向异性电导率的热方程具有相同的形式。当payo off函数是子模或超模且移动集χ是n=····=nd=2的乘积集（1）时，就会发生这种缩减。具体而言，取N→ ∞ 在定理3.1和3.2中，我们得到以下结果。提案4.1。假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}和F:R→ 持续差异化如果F是子模块，则PDE（22）减少到t’u（s，t）=Tr∑（eχ-) · s’u（s，t）.o 如果F是超模的，则PDE（22）减小为t’u（s，t）=Tr∑（eχ+）s’u（s，t）.o 如果F是子模块，则PDE（23）减少到tu（s，t）=Tr∑（eχ+）su（s，t）.o 如果F是超模的，则PDE（23）减小为tu（s，t）=Tr∑（eχ-) · su（s，t）.提案4.2。假设d≥ 3，χ={a（1），a（1）}×···×{a（d），a（d）}和F:Rd→ Ris两次连续可区分。定义eχLby（20）。o如果F是超模的，则PDE（22）减小为t’u（s，t）=Tr∑（eχL）·s’u（s，t）.o 如果F是子模块，则PDE（23）减少到tu（s，t）=Tr∑（eχL）·su（s，t）.线性Black-Scholes方程（25）通过高斯密度的卷积以闭合形式求解。具体而言，如果u（s）是光滑的，并且其第三和第四导数有界，tu=TrΣ · 苏初始条件u（s，t=0）=u（s）由u（s，t）=Zφ（s）给出- st∑）u（s）ds，其中φ（x；∑）是协方差为∑的高斯密度：φ（x；∑）=（2π）d/2∑1/2exp-x> ∑-1台.因此，u（0，1）=ZF（s）φ（s；∑）ds，这是F（s）的期望值，其中s具有分布N（0，∑）。在wewrite s下方~ N（0，∑）。

基于此，套期保值价格的上限和下限明确如下。定理4.2。假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}和F:R→ R是光滑的，其三阶和四阶导数有界。o如果F是子模，则limN→∞(R)Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ-)).o 如果F是超模，limN→∞(R)Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ+）。o如果F是子模，则limN→∞Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ+）。o如果F是超模，limN→∞Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ-)).定理4.3。假设d≥ 3，χ={a（1），a（1）}×···×{a（d），a（d）}和F:Rd→ R是光滑的，其三阶和四阶导数有界。定义eχLby（20）。o如果F是超模lmn→∞(R)Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχL））.o如果F是子模块limn→∞Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχL））。在定理4.2和4.3中，我们假设F是光滑的，并且其第三和第四导数有界。然而，定理4.2和4.3适用于非光滑Payoff函数，例如最大或最小选项，因为这些Payoff函数可以由光滑Payoff函数统一近似。5数值结果在本节中，我们通过数值实验验证了理论结果的有效性。为了计算上下对冲价格的渐近值，我们求解Black-Scholes-Barenblatt方程tu（s，t）=最大χ∈ΓTr∑（eχ）·su（s，t）通过有限差分法（Smith，1985），初始条件u（s，0）=u（s）。我们将在下面解释d=2的方法。允许s和t=1/K分别是空间和时间上的步长。这里，我们使用相同的值为简单起见，每个空间维度中的步长为s，K>0是一个整数。我们将s的域限制为矩形D=[-Ms、 M级s] ×[-Ms、 M级s] ，其中M>0是一个非常大的整数。

设ui，j，kbe为u（i）的数值s、 js、 k级t） fori=-M-M+1，···，M-1，M，j=-M-M+1，···，M-1，M和k=0，1，···，k。从初始条件开始，我们设置ui，j，0=u（is、 js） 。为了迭代计算k=1，2，···，k的ui，j，kf，我们采用显式Euler格式，并按照Nakajima et al.（2012）ford=1的方法，通过比较Γ中的所有元素，在每个步骤选择eχ。具体地说，该方案编写为asui，j，k+1=ui，j，k+maxeχ∈ΓTr∑（eχ）·酒后驾车，j，kt、 （26）其中酒后驾车，j，k∈ R2×2是定义为酒后驾车，j，k=ui+1，j，k- 2ui、j、k+ui-1，j，k(s） ，则，酒后驾车，j，k=酒后驾车，j，k=ui+1，j+1，k- ui+1，j-1，k- 用户界面-1、j+1、k+ui-1，j-1，k4(s） ，则，酒后驾车，j，k=ui，j+1，k- 2ui，j，k+ui，j-1，k(s） 。对于k=0，1，···，k，我们迭代求解（26）-1具有Dirichlet边界条件ui，j，k=u（is、 js） 其中（is、 js）∈ D、 然后，我们采用u0，0，K≈ u（0，0，1）作为套期保值价格上限的近似值。为了避免数值不稳定，步长必须满足t型(s）≤,这被称为Crank-Nicolson条件（Smith，1985）。5.1两项资产中最大值或最小值的期权在此，我们计算两项资产中最大值或最小值的期权的上下对冲价格（Stulz，1982）。具体而言，两项资产中的最大值的期权定义为FM（ξ）=FM（SN）=（max（（SN），（SN））- K） +（27）且至少两项资产的期权定义为Fm（ξ）=Fm（SN）=（min（SN），（SN））- K） +。（28）在我们的实验中，我们取K=1。假设移动集为χ={（1，1），（1，-1), (-1, 1), (-1.-1)} = {-1, 1}×{-1, 1}.图2绘制了通过对每个N递归求解（5）计算出的上下对冲价格。计算出的价格几乎在N=5附近收敛。

在这种情况下，根据定理4.2，对冲价格的上限和下限以闭合形式获得。注意∑（eχ+）=1 11 1, ∑（eχ-) =1.-1.-1 1.因此，s~ N（0，∑（eχ+）表示s=s~ N（0，1）而s~ N（0，∑（eχ-)) 表示s=-s~ N（0，1）。因此，套期保值价格上限为'Eχ（fM）=Z∞-∞（| z）|-1） +φ（z）dz=2Z∞（z）-1） +φ（z）dz=2（φ（1）-Φ(-1） ）=0.1666，\'Eχ（fm）=Z∞-∞（z）- 1） +φ（z）dz=z∞（z）- 1） +φ（z）dz=φ（1）-Φ(-1） =0.0833，套期保值价格下限为eχ（fM）=Z∞-∞（z）- 1） +φ（z）dz=0.0833，Eχ（fm）=z∞-∞(-|z |- 1） +φ（z）dz=0。这些值在图2中以水平线显示。它们与收敛值非常一致。移动集χ对应于Boyle等人考虑的晶格二项式模型。(1989). 基于该模型，Boyle et al.（1989）通过指定两项资产之间的相关系数，提出了一种多变量未定权益定价方法。具体而言，如果给出了风险中性测度p下两项资产之间的相关系数ρ，则p是唯一确定的=1 1 1 11 1 -1.-11-1 1 -11-1.-1 1-1.ρ.（a） 0 5 10 15 20N00.050.10.150.2（b）0 5 10 15 20N00.020.040.060.080.10.12图2：带移动集χ的上下对冲价格。（a） 最大选项（27）。（b） 最小选项（28）。水平线表示LimitValue。在（b）中，为每个N计算的较低套期保值价格几乎为零。然后，我们可以使用Cox-Ross-Rubinstein公式（Cox et al.，1979）来计算价格。即，我们取关于p的期望：Ep（f）=Xξ∈χNpx···pxNf（ξ），ξ=x···xN。（29）请注意，该方法通常不提供套期保值价格的上限或下限。图3绘制了由（29）计算得出的ρ各值的价格，其中N=20。对于最大值（27）的选项，ρ=-1和ρ=1分别与套期保值价格的上限和下限一致。

对于最小值（28）的选项，ρ=1和ρ=-1分别与套期保值价格的上限和下限一致。这些可以从推论3.1中理解，因为ρ=1意味着当ρ=-1表示eχ-总是被拿走。当d≥ 3，风险中性度量不是通过指定相关系数唯一确定的，因为1+d+d（d- 1） /2<2d。虽然Boyle et al.（1989）通过考虑对称性选择了一种风险中性度量，但似乎没有理论支持这种选择。现在，假设移动集是χ={（1，0）(-1, 0), (0, 1), (0, -1)}. 图4绘出了通过递归求解（5）为每个N计算的套期保值价格上限和下限。我们还通过数值求解BlackScholes-Barenblatt方程（22）计算了套期保值价格上限和下限。在有限差分法中，我们将步长设置为s=1/10和t=1/300，满足Crank-Nicolson条件，并将s的域限制为D=[-7, 7] × [-7, 7]. 计算值为Eχ（fM）≈ 0.1105，Eχ（fM）≈ 0.0084，(R)Eχ（fm）≈ 0.0028，Eχ（fm）≈ 0。（30）这些值在图4中通过水平线显示。（a） -1-0.5 0 0.5 10.080.10.120.140.160.18（b）-1-0.5 0 0.5 100.020.040.060.080.1图3：根据Boyle et al.（1989）的方法计算ρ的每个值的价格。（a） 最大选项（27）。（b） 最小选项（28）。（a） 0 5 10 15 20N00.020.040.060.080.10.12（b）0 5 10 15 20N00.511.522.533.5410-3图4：移动集χ的上下对冲价格。（a） 最大选项（27）。（b） 最小选项（28）。水平线表示LimitValue。在（b）中，每N计算的较低对冲价格几乎为零5 10 15 20 N0.030.0350.040.0450.050.0550.060.0650.07图5：移动集χ={-1, 2} × {-2, 1} × {-1, 1}.

横线代表三种资产中的最小值5.2期权。在此，我们计算三种资产中的最小值期权的套期保值价格上限（Johnson，1987），定义为Fm（ξ）=Fm（SN）=（min（（SN），（SN），（SN））- K） +。（31）在我们的实验中，我们取K=1。假设移动集为χ={-1, 2} × {-2, 1} × {-1, 1}. 然后，eχLin（20）和∑（eχL）得到aseχL={(-1.-2.-1), (-1, 1, -1), (-1，1，1），（2，1，1）}，（32）∑（eχL）=2 1 11 2 11 1 1. （33）图5绘制了通过递归求解（5）计算出的套期保值价格上限。它几乎在N=5附近收敛。另一方面，根据定理4.3，\'Eχ（fm）=E[fm（s）]，其中s∈ N（0，∑（eχL））。我们用10个样本的蒙特卡罗方法计算了这个期望值，并得到了[Fm（s）]≈ 0.0374. （34）图5中的水平线显示了该值。与收敛值吻合较好。5.3奶油型期权最后，我们考虑以奶油差价期权为动机的欧洲期权。Nakajima et al.（2012）计算了当d=1时，黄油价格展布期权的上下对冲价格：f（ξ）=f（SN）=max（0，SN+0.5）- 最大2（0，序号- 0.5）+最大值（0，SN- 1.5).（a） 0 5 10 15 20N00.050.10.150.20.25（b）0 5 10 15 20N00.050.10.150.20.250.30.35图6：带有移动集（a）χ和（b）χ的欧式期权（35）的上下对冲价格。水平线表示极限值，我们考虑d=2且移动集为χ={-1, 1} × {-1，1}或χ={（1，0）(-1, 0), (0, 1), (0, -1)}.

在通过有限差分法数值解Black-ScholesBarenblatt方程（22）时，我们将步长设置为s=1/10和t=1/300，满足Crank-Nicolson条件，并将s的域限制为D=[-7, 7] × [-7, 7].5.3.1不可分离情况考虑欧洲期权定义的asf（ξ）=F（SN）=0（（SN）<-0.5+|（SN）|）（SN）- (-0.5+|（SN）|）(-0.5+|（SN）|≤ （SN）<0.5）（1.5）- |（序号）|）- （SN）（0.5≤ （SN）<1.5- |（SN）|）0（1.5- |（SN）|≤ （序号））。（35）当（SN）固定时，该支付函数的行为类似于（SN）函数的黄油摊铺选项。图6绘制了通过递归求解（5）为每个N计算的套期保值价格的上限和下限。另一方面，通过数值求解Black-Scholes-Barenblatt方程（22）计算的极限值为'Eχ（f）≈ 0.1786，Eχ（f）≈ 0.0028，Eχ（f）≈ 0.3315，Eχ（f）≈ 0.0470.图6中的水平线显示了这些值。它们与收敛值非常一致。5.3.2可分离情况考虑欧洲期权定义的asf（ξ）=F（SN）=g（（SN））+g（（SN）），（36），其中g（s）=最大值（0，s+0.5）- 最大2（0，s- 0.5）+最大值（0，s- 1.5）（37）（a）0 5 10 15 20N0.540.560.580.60.620.640.660.680.7（b）0 5 10 15 20N0.50.60.70.80.911.11.2图7：带有移动集（a）χ和（b）χ的欧洲期权（36）的上下对冲价格。水平线表示极限值。在（a）中，上下对冲价格与Nakajima et al.（2012）中使用的黄油差价期权一致。此选项是可分离的。图7绘制了通过递归求解（5）为每个N计算的套期保值价格的上限和下限。另一方面，通过数值求解Black-Scholes-Barenblatt方程（22）计算的极限值为'Eχ（f）≈ 0.6609，Eχ（f）≈ 0.6609，Eχ（f）≈ 1.0938，Eχ（f）≈ 0.5640.这些值在图7中以水平线显示。它们与收敛值非常一致。

注意，χ的上下对冲价格一致，这说明了命题2.4.6结论我们从博弈论概率的角度研究了多元未定权益的上对冲价格。将定价问题归结为单纯形上的一个反向归纳优化问题。对于具有次模或超模支付函数的欧式期权，例如多个资产的最大值或最小值上的期权，该优化通过使用theLov'asz扩展以闭合形式求解。随着博弈轮次的增加，欧式期权的上hedgengprice收敛于Black-Scholes-Barenblatte方程的解。对于具有子模或超模Payoff函数的欧式期权，Black-Scholes-Barenblatt方程简化为线性Black-Scholes方程，并以闭合形式求解。数值实验表明了理论结果的有效性。我们主要将注意力限制在欧洲选项上。扩展路径相关支付函数（包括美式期权）是一个重要的未来问题。对于这种支付函数，子模块化或超模块化的定义似乎并不微不足道。此外，我们主要假设移动集是乘积集（1）。特别是，我们关于子模和超模Payoff函数的结果基于Lattice二项式模型。对一般移动集的扩展是另一个有趣的未来问题。Black-Scholes-Barenblatt方程是依赖时间的微分方程的特例（Hundsdorfer和Verwer，2003）。虽然我们使用了一种简单的有限差分方法进行数值求解，但研究更有效的数值方法将是一件有趣的事情。致谢我们感谢Naoki Marumo和Kengo Nakamura的有益评论。这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号16K12399和17H06569的支持。参考Black，F.&Scholes，M。

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