Kelly最优股票组合的再平衡频率考虑

这可以通过应用Jensen不等式得到1+rE[1+Xj（0）]来看出≤ E1+r1+Xj（0）.如果资产j相对而言比无风险资产i更具吸引力，那么上面的钻机高度和侧面基本上是1，我们得到1+rE[1+Xj（0）]≤ 从中可以看出[Xj（0）]≥ r、 因此，E[Xj（0）]≥ r是必要的，但不足以使风险资产j比无风险资产i更具吸引力。（v）读者不应混淆支配资产的定义和随机支配的定义。回想一下，随机优势仅涉及两个随机变量的边际分布，而主导资产定义涉及[1+Xj（0）]之间的相关性-1和1+Xi（0），这取决于Xj（0）和Xi（0）的联合分布。四、 主导资产理论下面的定理告诉我们，满足主导资产不平等会产生一个最优的投资组合，即将100%的可用资金投资于单一资产。换言之，如果一项资产是多米南t，那么就把“赌注”押在它身上。支配资产定理：给定m个资产的集合，如果资产j是支配资产，则对于所有n≥ 1，gn（K）被K最大化*n=ej，其中ej是第j坐标方向上的单位向量。此外，得到的最佳预期对数增长率由g给出*n=克*= E[对数（1+Xj（0））]。证明：为了证明K*n=ej，足以表明gn（K）≤ gn（ej）表示K∈ K、 为了便于记法，我们使用随机向量Xn+1用第i个分量Rn，i表示总收益。

出租1=[1 1···1]T∈ Rm，因为K的KT1=1∈ K、 因此，gn（K）=nE[对数（1+KTXn）]=nE[对数（KTRn）]。因此，通过将Jensen不等式应用于上述凹对数函数，我们可以得到一系列不等式gn（K）- gn（ej）=nElogKTRnRn，j≤nlog EKTRnRn，j=nlogmXi=1KiERn、iRn、j!=nlogmXi=1KiE“n-1Yk=01+Xi（k）1+Xj（k）#=nlogmXi=1KiE1+Xi（0）1+Xj（0）n≤nlog 1其中，最后一个不等式来自资产j的支配地位和K∈ K、 现在，由于log 1=0，它遵循thatgn（K）≤ gn（ej）和G*n=gn（ej）。为了完成证明，需要证明g*n=克*. 这很容易通过回顾Xi（k）ar e i.i.d.和观察*n=gn（ej）=nE[对数Rn，j]=nE日志号-1Yk=0（1+Xj（k））=nn型-1Xk=0E[对数（1+Xj（k））]=E日志1+Xj（0）= g（ej）=g*. 五、 股票市场数据的应用在导言中，我们的目标是说明使用历史数据研究资产支配时出现的一些实际问题。为此，我们将三种资产视为投资组合可以投资的资产。资产1为净流量（股票代码：NFLX），资产2为Facebook（股票代码：FB），资产3为无风险资产，每日利率为≥ 0、我们考虑在2013年1月24日开始的四年内重新平衡我们在这些资产中的头寸的问题。我们研究了这一时期调整后的每日损失价格，并论证了支配资产定理在实践中的应用。图2中两支股票的价格图从交易开始前的126天开始。该数据用作“培训集”，以初始化后续分析。0 200 400 600 800 1000 1200天数FacebookNetflixfig。

2： Facebook和Net flix的股价鉴于从业者应该正确地将股票收益率的托卡斯蒂克过程模型（Xi（k））视为非平稳的，在测试相对牵引性不平等的满意度时，我们使用了一个滑动窗口，其中包括最近的N个交易日。因此，在第k天，我们使用了一个经验估计值，该值是关于第i个和第j个资产的吸引力比的期望值，由ij（k）给出=NN型-1台l=01+Xi（k- l)1+Xj（k- l).接下来的模拟使用N=126的窗口大小，对应于六个月后的ab。从使用训练集建立的初始条件Rij（0）开始，我们生成感兴趣期间的Rij（k）。鉴于收益的非平稳性，如下面的模拟所示，Rij（k）是时变的。因此，在某个时间点占主导地位的资产在以后可能不再占主导地位。考虑到上述因素，我们从r=0开始分析，并考虑以下两个估计。问题1：在零利率环境下，在什么时间段内，净利率是主导资产？在此期间，根据该定理，交易者在净流量中不分散整个投资组合。问题2：在k阶段，利率r必须多大才能使无风险资产占主导地位？也就是说，当利率适当高时，我们的理论表明交易者有一个100%固定收入且在净利率和Facebo ok中没有头寸的Portfo lio。为了回答第一个问题，我们提供了R（k）的曲线图max{R（k），R（k）}与图3中的k，并且，与定理一致，wedeem Net flix在时间周期的子集上占主导地位，其中R（k）≤ 1、在R（k）>1的周期内，有各种附加场景可以用给定的数据进行研究。

例如，有时没有优势资产，有时Facebook或无风险资产占主导地位。0 200 400 600 800 1000 1200天数0.9920.9940.9960.9981.0021.0041.006图。3： 净流量的相对属性图为了回答第二个问题，我们从以下观察结果开始：定理告诉我们，资产3，即无风险资产集，当且仅当ifmax{E[X（0）]，E[X（0）]}时占主导地位≤ r、 再次考虑到数据的非平稳性，我们让r*（k） 根据最近的N天窗口，计算上述左手尺寸的估计值。也就是说，我们*（k） =Nmax（N-1台l=0X（k- l),N-1台l=0X（k- l)).在图4中，我们可以看到市场表现良好的时间段，需要非常高的利率才能进行股票投资。六、 结论和未来的工作在本文中，我们表明，如果一项资产是无价值的，最不理想的交易策略是将所有可用资金投入其中。在这种情况下，再平衡变得毫无意义，而交易绩效，即g*n、 是一个常量。也值得200 400 600 800 1000 1200天-2-3图。4： 无风险资产主导利率，这表明本文中提出的范式对于与杠杆投资相关的可容许反馈增益集K的多种其他选择仍然有效，其中so me成分Ki>1。例如，在[16]中，这是通过施加“生存”约束来实现的，该约束不允许任何可能导致V（k）<0的交易。关于进一步的研究，一个明显的延续将是研究Ki<0的情况。如第二节所述，这与短期销售相对应。在这种情况下，我们设想对主导资产的定义和结果与此处给出的定义和结果类似。

进一步研究的第二个方向是，如果没有占主导地位的资产评估师，g*n> g级*? 我们认为，对这个问题的肯定回答将非常重要。它会告诉我们，一个低频交易者，比如买入持仓者，可能会严格超过高频交易者。最后，重要的是，开发基于Kelly的交易的新结果，这些结果不依赖于retu rns Xi（k）的完美随机模型的知识。对于模型部分已知或完全未知的情况，我们计划研究本文中的理论可以扩展的程度。我们沿着这些思路进行的初步工作表明，主导资产定理可能有一个更一般的版本，即使用协合分析来建立ic h，以获得不太大的性能保证。参考文献【1】J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第35.4卷，第917-9261956页。[2] H.A.Latan\'e，“风险企业的选择标准”，《政治经济学杂志》，第67卷，第144-1551959页。[3] L.Breiman，“有利游戏的最佳赌博系统”《第四届伯克利数学统计与概率研讨会论文集》，第1卷，第63-681961页。[4] N.H.Hakanson，“关于有无序列相关性的最佳近视投资组合政策”，《商业杂志》，第44卷，第324-3341972页。[5]E.O.Thorp，“有利游戏的最佳赌博系统”，《国际统计研究所评论》，第37卷，第273-2931969页。[6] P.H.Algoet和T.M.Cover，“对数最优投资的渐近最优性和渐近均分性”，《可能性年鉴》，第16卷，第876-8981988页。[7] T.M.Cover和J.A.Thomas，《信息论要素》，JohnWiley和Sons，2012年。[8] D.G。

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