无NFLVR的对数最优投资组合：存在，完整

另一方面，条件D（X，H）6= 相当于num'eraire投资组合的存在，我们用b^1表示（见[6、17、18]，其中的参考文献引用很少）。这意味着存在bД∈ L（X，H），使得E（bД·X）>0且E（Д·X）/E（bД·X）是任何∈ L（X，H）带1+Д十、≥ 特别是，过程m：=E（EД·X）E（bД·X）- 1，是一个SuperMartingale。由于ln（x）≤ x个- 1，我们得到- ln（E（bД·X））≤ - ln（E（EД·X））+E（EД·X）E（bД·X）- 1，（4.1）并推导出ln-（ET（bД·X））是可积的。结果，bθ：=bДE（bД·X）-∈ Θ（X，H），且以下保持体E[ln（ET（b·X））]=E[ln（1+（bθ·X）T]≤ E[ln（1+（Eθ·X）T）]=E[ln（ET（EД·X））]。（4.2）特别地，这意味着ln（ET（bх·X））是一个可积随机变量，或等效于ln（ET（eх·X）/ET（bх·X）=ln（ET（eх·X））- ln（ET（bД·X）是可积的。当使用Jensen不等式时，我们推导出e[ln（ET（e·X）/ET（b·X）]≤ ln（E[ET（EД·X）/ET（bД·X）]）≤ 0。这与（4.2）相结合意味着E[ln（ET（b·X））]=E[ln（ET（E·X））]。（4.3）这与（4.1）的结合导致E[ET（E·X）/ET（b·X）]=1，因此过程M+1实际上是一个马丁盖尔（一个具有常数期望的正上鞅是一个鞅）。很明显，f（x）：=x- ln（1+x），x>-1是一个仅在x=0时消失的非负严格凸函数。自E[f（MT）]<+∞, 我们得出结论，f（M）是一个满足0=E[f（M）]的非负次鞅≤ E【f（Mt）】≤ E[f（MT）]=0，其中最后一个等式来自于（4.3）与M是鞅这一事实的结合。因此，我们得出结论，M≡ 0，因此E（bД·X）≡ E（EД·X）。因此，过程Z：=1/E（EД·X）属于D（X，H）。

因此，断言（a）紧随此andE之后[- ln（ZT）]=E[ln（ET（Eν·X））]=E[1+（Eθ·X）T]<+∞,以及（d）的证明==> （a） 已完成。第3步。此步骤证明了含义（a）==> （b） 。因此，我们假设断言（a）适用于该证明的其余部分。根据定理B.2，它保证了（β，f，V）的存在，如β∈ L（Xc，H），f iseP（H）-可测量，正和P（f- 1) u ∈ A+loc，V是一个可预测且不递减的过程，并且对任何有界θ都成立∈ L（X，H）。EVT+（βtrcβ·A）T+Z（f（x）- 1.- ln（f（x）））f（dx）· 在≤ E类[- ln（ZT）]<+∞, (4.4)Z | f（x）θtrx- θtrh（x）| F（dx）· 在<+∞ P-a.s.和（4.5）θtrb+θtrcβ+Z[f（x）θtrx- θtrh（x）]F（dx）· A. 五、 （4.6）此证明的其余部分分为两个子步骤，并使用这些属性。第一个子步骤证明，我们将在下面定义的函数L达到其最小值，而第二个子步骤证明，该最小值满足（3.3）-（3.4）-（3.5）。第3步。a、 在其余的证明中，我们用L（ω，t）–P表示A-几乎所有（ω，t）∈ Ohm×[0, +∞)–由l（ω，t）（λ）给出的函数：=-λtrb（ω，t）+λtrc（ω，t）λ+Zλtrh（x）- ln（（1+λtrx）+）F（ω，t）（dx），（4.7）对于任何λ∈ Rd与约定ln（0+）=-∞. 这一子步骤证明了可预测过程eΒ的存在，从而P A-几乎所有（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞)eД（ω，t）∈ L（ω，t）（X，H）和L（ω，t）（eД（ω，t））=最小λ∈L（ω，t）（X，H）L（ω，t）（λ）。（4.8）为此，我们首先注意到，根据备注3.3的组合（这意味着该函数在(-∞, +∞]), 引理C.1和[12，命题1]（当存在极小值时，保证存在可预测的选择），这个证明归结为证明L（ω，t）实际上达到了所有（ω，t）的最小值∈ Ohm × [0, +∞). 这是本子步骤其余部分的目标。

为了简单起见，在本证明的其余部分，我们用L表示L（ω，t）（·）。为了证明L达到它的最小值，我们首先证明函数L是凸的、适当的和闭的。首先，让我们回顾一下凸分析中的一些定义。考虑一个凸函数f。f的有效域由dom（f）表示，是所有x的集合∈ rdf（x）<+∞. f函数被认为是适当的，如果，对于任何x∈ Rd，f（x）>-∞ 如果其有效域dom（f）不为空。对于凸分析中所有未定义或未解释的概念，我们请读者参考Rockafellar【28】。设θ是L（X，H）的有界元，due到ln（1+（θtrx）+）≤ （θtrx）+≤ |θ| x | andR（| x |>1）| x | F（dx）<+∞ （因为X是σ-特殊的），我们得到P A-A.e.Z（| x |>1）ln（1+（θtrx）+）F（dx）≤Z（| x |>1）（θtrx）+F（dx）≤ |θ| Z（| x |>1）| x | F（dx）<+∞. （4.9）然后将其与Z结合λtrh（x）- ln（1+λtrx）F（dx）≥ -Z（| x |>1）ln（1+（λtrx）+）F（dx）>-∞,L（0）=0<+∞ （即0∈ dom（L） L（X，H）），我们推导出L是一个凸的真函数。现在我们证明了L是闭的或等价的L是s的下半连续。让θnbe是一个收敛到θ的序列，使得L（θn）收敛。很明显，θtrnb+θtrncβ收敛到θtrb+θtrcβandR（| x |>1）ln（1+（θtrnx）+）F（dx）收敛到toR（| x |>1）ln（1+（θtrx）+）F（dx）。后者是ln（1+（θtrnx）+）的组合≤ （θtrnx）+≤ （supn |θn |）| x |，（4.9），和支配收敛定理。现在考虑假设θ∈ L（X，H）和其他存在n，对于所有n≥ nθn∈ L（X，H）。（4.10）在（4.10）下，结合Fatou引理和上述备注，我们得到L（θ）=-θtrb+θtrcθ+Zθtrh（x）- ln（1+θtrx）F（dx）=-θtrb+θtrcθ-Z | x |>1ln（1+（θtrx）+）F（dx）-Z | x |>1ln（1- （θtrx）-)F（dx）+Z | x|≤1（θtrx- ln（1+θtrx））F（dx）≤ 画-→+∞L（θn）。这一方面证明L在（4.10）下关闭。

另一方面，很明显，当违反（4.10）时，存在一个子序列（θk（n））nsuchθk（n）6∈ L（X，H）表示所有n≥ 因此，由于L（θn）收敛，我们得出结论：L（θ）≤ 画-→+∞L（θn）=limn-→+∞L（θk（n））=+∞.这证明了L是闭的、凸的和真的。因此，我们可以应用[28，定理27.1（b）]，该定理指出，为了使L达到其最小值，有必要证明包含在L为常数的方向集中的Lis的回归集。为了检查最后一个条件，我们计算了L的接收函数。对于λ∈ dom（L）和y∈ Rd，L的衰退函数定义为0+（y）：=limα-→+∞L（λ+αy）- L（λ）α。考虑以下集合Γ+（λ）：={x∈ 研发部λtrx>0}，Γ-（λ） ：={x∈ 研发部λtrx<0}，并说明我们有（λ+αy）- L（λ）α=-ytrb+αytrcy+ytrcλ+Zytrh（x）-αln（1+αytrx1+λtrx）F（dx）=-ytrb+αytrcy+ytrcλ+ZΓ+（y）ytrh（x）-αln（1+αytrx1+λtrx）F（dx）+ZΓ-（y）ytrh（x）-αln（1+αytrx1+λtrx）F（dx）。然后，一方面，我们计算衰退函数L0+（y），如下所示。L0+（y）=+∞ 如果F（Γ-（y） ）>0或ytrcy>0，-ytrb+RΓ+（y）ytrh（x）F（dx）另一方面，我们有α{y∈ Rd：cy=0和F（Γ-（y） ）=0} L（X，H）表示任意α∈ (0, +∞),-α{y∈ Rd：cy=0，F（Γ+（y））=0} L（X，H）表示任意α∈ (0, +∞).因此，通过将这些与（4.6）相结合，我们可以推断-ytrb+ZΓ+（y）ytrh（x）F（dx）>0如果F（Γ-（y） ）=0<F（Γ+（y）），cy=0，ytrb-ZΓ-（y） 如果F（Γ+（y））=0<F（Γ），则ytrh（x）F（dx）>0-（y） ），cy=0。因此，由于这些备注，L的衰退锥和L为常数的方向集（分别为RC和CD）定义和计算如下：∈ 研发部L0+（y）≤ 0}={y∈ 研发部cy=ytrb=F（Γ-（y） ）=F（Γ+（y））=0}CD：={y∈ 研发部L0+（y）≤ 0，L0+(-y）≤ 0}={y∈ 研发部ytrb=cy=F（Γ-（y） ）=F（Γ+（y））=0}。这证明了两个集合（RC和CD）的th相等。

因此，由于[28，定理27.1（b）]，我们得出结论，L（ω，t）在Д（ω，t）处达到其最小值，满足1+xtrД（ω，t）>0 F（ω，t）（dx）a.e.自L（ω，t）（Д（ω，t））≤ L（ω，t）（0）=0<+∞. 这就结束了第三步的第一部分。第3步。b、 本子步骤证明，在上一子步骤中证明的L的最小值eД完全符合断言（b）的条件（即属性（3.3）-（3.4）-（3.5））。自L（eД）起≤ L（Д）表示任何Д∈ L（X，H）。Let^1∈ L（X，H）和α∈ （0，1），然后使用如上所述的类似计算，我们得到L（eν）- L（eИ+α（Д- eх））α=（х）- e^1）trb-α(φ - eД）trc（Д）- e^1）- (φ - eИ）trc eИ++Zαln（1+α（ν- eх）trx1+eхtrx）- (φ - eх）trh（x）F（dx）。很明显，作为α的函数，α-1ln（1+α（Д- eх）trx1+eхtrx）正在减少，henceln（1+хtrx）- ln（1+eИtrx）≤αln（1+α（ν- eх）trx1+eхtrx）≤(φ - eх）trx1+eхtrx。因此，结合收敛单调定理，我们推导出th atZαln（1+α（ν- eх）trx1+eхtrx）- (φ - eх）trh（x）F（dx）收敛于toR[（ν）- eх）trx1+eхtrx- (φ - eД）trh（x）]F（dx），当α变为零时，h ence（3.5）得到批准。通过使用（3.5）表示Д=0和L（eД）≤ L（0）=0，我们得到0≤ e^1trb- eДtrc eД+Z- eхtrh（x）+eхtrx1+eхtrxF（dx）（4.11）0≤ e^1trb-eДtrc eД+Zln（1+eИtrx）- eхtrh（x）F（dx）。

（4.12）因此，通过将这两个不等式与-e^1trc eД-βtrcβ≤ e~ntrcβ和f（x）- 1.-ln（f（x））≥ ln（1+eИtrx）- f（x）eνtrx（杨氏不等式），我们定义了νtrb-e^1trc eД-βtrcβ+Z[ln（1+eДtrx）- e^1trh（x）]F（dx）+-Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）≤ e^1trb-e^1trc eД-βtrcβ+Z[f（x）eДtrx- e^1trh（x）]F（dx）≤ eИtrb+eИtrcβ+Z[f（x）eИtrx- e^1trh（x）]F（dx）。因此，由于后一个不等式和（4.6），我们得出0e^1trb-eДtrc eД+Z[ln（1+eДtrx）- e^1trh（x）]F（dx）· A.Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）+βtrcβ· A+V。通过结合这一点，（4.4），EДtrb-eДtrc eД+Z[ln（1+eДtrx）- e^1trh（x）]F（dx）=eДtrc eД+Zln（1+eИtrx）-eхtrx1+eхtrxF（dx）+e^1trb- eДtrc eД+Z- eхtrh（x）+eхtrx1+eхtrxF（dx）,若RHS的两个项均为非负项，且该RHS的第二项与DEVDA一致，则我们得出以下结论：eVT公司+eДtrc eД+Zln（1+eИtrx）-eхtrx1+eхtrxF（dx）· 在< +∞.本条超过（3.3），断言（b）如下。这就结束了定理的证明。A一些有用的可积性性质本节的结果是新的，是一般性的，完全不是技术性的，非常有用，尤其是第一引理和命题。引理A.1。考虑K∈ M0，loc（H），带1+K>0。IfE[hKciT+X0<s≤T型(堪萨斯州- ln（1+Ks））]<+∞, （A.1）然后E[p[K，K]T]<+∞ 或相当于E[sup0≤t型≤T | Kt |]<+∞.证据让K∈ M0，loc（H），使1+K>0且（A.1）保持不变。那么，对于δ，只需注意∈ （0，1），我们有K- ln（1+K）≥δ|K |最大值（2（1- δ） ，1+δ）I{|K |>δ}+(K） 1+δI{|K级|≤δ}.利用这个不等式和（A.1），我们一方面推导出hKciT+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+X0<t≤T型(K） 我{|K级|≤δ}≤ CδEhKciT+X0<s≤T型(堪萨斯州- ln（1+Ks））< +∞,式中，Cδ：=1+δ+最大值（2（1- δ), 1 + δ)/δ. 另一方面，很明显，[K，K]1/2T≤phKci+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+sX0<t≤T型(K） 我{|K级|≤δ}.这就结束了引理的证明。引理A.2。

Letλ∈ L（X，H）和δ∈ （0，1）使得|λtrx | 1+λtrxI{|λtrx |>δ} u +λtrx1+λtrxI{|λtrx|≤δ} u ∈ A+loc（H）。（A.2）Thenp（（1+λtrx）-1.- 1) u ∈ A+loc（H）。证据使用Qpixi≤Pi | xi |，我们导出p（（1+λtrx）-1.- 1) u=sXλtrX1+λtr十、≤sX（λtr十） （1+λtr）十） I{|λtrX个|≤δ} +X |λtrX | 1+λtrXI{|λtrX |>δ}。因此，引理直接来自后一个不等式。B鞅和通过可预测特征的定义对于以下表示定理，我们参考[15，定理3.75]和[16，引理4.24]。定理B.1。假设X是准左连续的，并且设N∈ M0，位置（H）。然后，存在φ∈ L（Xc，H），N′∈ M0，loc（H），[N′，X]=0，泛函f∈eP（H）和g∈eO（F）使以下各项保持不变。（a）tXs=0（f（s，Ss）- 1） 我{Ss6=0}1/2和tXs=0g（s，Ss）I{Ss6=0}1/2至A+位置。（b） MPu（g | eP）=0，P u-.a、 e.，过程N由N=φ·Xc+（f）给出- 1)  (u - ν） +克 u+N′。（B.1）以下定理描述了如何使用可预测特性来描述一般的过滤器。可在[25]中找到该理论的一个版本。定理B.2。假设X是准左连续的。Z∈ Dlog（X，H）当且仅当存在一个完整的（β，f，V），使得β∈ L（Xc，H），f iseP（H）-可测量，正和P（f- 1) ubelongsto A+loc（H），V是一个H可预测且不递减的过程，对于任何有界过程θ，以下保持不变∈ L（X，H）。Z=Eβ·Xc+（f- 1)  (u - ν)经验值(-五、（B.2）EVT公司+βtrcβ+Z（f（x）- 1.- ln（f（x）））f（dx）· 在≤ E类[- ln（ZT）]，（B.3）Z | f（x）θtrx- θtrh（x）| F（dx）· 在<+∞ P-a.s.（B.4）θtrb+θtrcβ+Z[f（x）θtrx- θtrh（x）]F（dx）· A. 五、 （B.5）证明。让Z∈ Dlog（X，H），然后是Z-1.-· Z是一个局部上鞅（从Z开始∈ D（仅X，H）。因此，存在一个局部鞅N和一个不可减且可预测的过程V，例如Z=E（N）exp(-V）。

然后我们推导- ln（Z）=-N+V+hNci+X(N- ln（1+ N））。因此Z∈ Dlog（X，H）当且仅当V+hNci+P(N- ln（1+N） ）是可积的。存在一个正的和p（H）-可测泛函f，使得p（f- 1) u是局部可积的，β∈ L（Xc，H），使得N可以选择为N：=β·Xc+（f- 1)  (u - ν） V=V·A，然后是Z∈ Dlog（X，H）当且仅当V+βtrcβ·A+（f- 1.- ln（f）） ν ∈ 对于任何局部有界的H-可预测过程θ，A+（H）和ZE（θ·X）是可预测的，使得1+θtrx>0 P A-A.e。。这里（b，c，ν：=F A） 是（X，H）的可预测特征。一方面，我们有ZE（θ·X）=E（N-v·A+θ·X+[θ·X，N]）是正的上鞅，因此N- v·A＋θ·X＋[θ·X，N]是局部上鞅。这与条件（B.4）-（B.5）等效（简化和变换后）。这就结束了对eorem的证明。C A可测量性结果MMA C.1。考虑三元组(Ohm × [0, +∞), P（H），P A） ，和L（ω，t，λ）：=L（ω，t）（λ），对于任何λ，定义为（4.7）∈ Rd和any（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞). 然后是泛函L，作为映射（ω，t，λ）-→L（ω，t，λ），是P（H）×B（Rd）-可测的。证据引理的证明将分两步完成。第一步定义一系列函数{Lδ（ω，t，·），δ∈ （0，1）}（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞ ), 并证明了这些泛函确实是P（H）×B（Rd）-可测的（即在（ω，t）和λ中联合可测的）。然后，第二步证明了当任意（ω，t，λ）的δ变为1时，Lδ（ω，t，λ）收敛于L（ω，t，λ）∈ Ohm × [0, +∞ ) ×Rd.步骤1：Let（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞) 和δ∈ (0, 1). 那么对于所有λ∈ Rd，putLδ（ω，t，λ）：=-λtrb（ω，t）+λtrc（ω，t）λ+ZRdfδ（λ，x）F（ω，t）（dx），Fδ（λ，x）：=Δλtrh（x）- ln（1- δ+δ（1+λtrx）+）。很明显，对于任何λ∈ Rd，Lδ（ω，t，λ）是可预测的。因此，为了证明Lδ是可联合测量的（即。

P（H）×B（Rd）-可测的，足以证明该泛函在λ中是连续的（在这种情况下，我们的泛函Lδ属于Carath'eodory函数类），因此可以立即得出它是可联合测量的du e至[3，L emma 4.51]。因此，本步骤的其余部分重点是提供Lδ在λ中是连续的。为此，我们标记-λtrb（ω，t）+λtrc（ω，t）λ是连续的，我们推导了-δ|λ| | x|≤ fδ（λ，x）≤ 最大值（2（1- δ), -δ - ln（1- δ） ）|λ| | x |在{| x |上≤ 1}-δ|λ| | x |≤ fδ（λ，x）≤ - ln（1- δ） 在{| x |>1}上。因此，与支配收敛定理和这些不等式相比，我们推断，实际上Lδ在λ中是连续的，并且第一步是完成的。步骤2：在此，我们证明了对于任何（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞) 和任意λ∈ 当δ变为1时，Rd，Lδ（ω，t，λ）收敛于toL（ω，t，λ）。为此，我们首先写出δ（ω，t，λ）=δZ{λtrx≤-1} λtrh（x）F（dx）- δZ{λtrx≤-1} λtrxI{| x |>1}F（dx）- ln（1- δ） F级{λtrx≤ -1}+ZI{λtrx>-1}Δλtrx- ln（1+Δλtrx）F（dx）。备注R{λtrx≤-1} λtrh（x）F（dx）andR{λtrx≤-1} λtrxI{| x |>1}F（dx）定义良好并取单位值，而I{λtrx>-1}Δλtrx- ln（1+Δλtrx）为非负且δ递增。通过区分F{λtrx≤ -1}无论是否为空，由于收敛monotone定理，我们得出结论：Lδ（ω，t，λ）收敛于L（ω，t，λ）。这就结束了第二步和这个困境的证明。致谢：这项研究得到加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering research Council of Canad a）通过G121210818拨款的全力支持。au thors感谢萨法·阿尔舍亚布（Safa Alsheyab）、费尔杜·阿尔哈比（Ferdoos Alharbi）、琼·登（Jun Deng）、莫尼库·珍布兰科（Moniqu e Jeanblanc）、尤里卡巴诺夫（YouriKabanov）和米歇尔·范马莱尔（Michele Vanmalele）就这一主题发表的几点评论和富有成效的讨论，以及/或提供了重要而有用。参考文献【1】Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.（2017）。

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