无NFLVR的对数最优投资组合：存在，完整

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英文标题：
《Log-optimal portfolio without NFLVR: existence, complete
  characterization, and duality》
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作者：
Tahir Choulli and Sina Yansori
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper addresses the log-optimal portfolio for a general semimartingale model. The most advanced literature on the topic elaborates existence and characterization of this portfolio under no-free-lunch-with-vanishing-risk assumption (NFLVR). There are many financial models violating NFLVR, while admitting the log-optimal portfolio on the one hand. On the other hand, for financial markets under progressively enlargement of filtration, NFLVR remains completely an open issue, and hence the literature can be applied to these models. Herein, we provide a complete characterization of log-optimal portfolio and its associated optimal deflator, necessary and sufficient conditions for their existence, and we elaborate their duality as well without NFLVR.
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中文摘要：
本文讨论了一般半鞅模型的对数最优投资组合。关于这一主题的最先进文献阐述了在无免费午餐和消失风险假设（NFLVR）下该投资组合的存在和特征。一方面，有许多金融模型违反NFLVR，同时承认对数最优投资组合。另一方面，对于过滤不断扩大的金融市场而言，非金融衍生工具收益率仍然是一个完全悬而未决的问题，因此文献可以应用于这些模型。在此，我们提供了对数最优投资组合及其相关的最优平减指数的完整特征，它们存在的充要条件，并阐述了它们在无NFLVR的情况下的对偶性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：投资组合 LVR flv Quantitative Mathematical

无NFLVR的对数最优投资组合：存在性、完全特征化和对偶性*Tahir Choulli和Sina YansoriDepartment of Mathematic and Statistical Sciences，University of Alberta，Edmonton，Canada 2018年7月18日摘要本文讨论了一般半鞅模型的对数最优投资组合。关于这一主题的最先进文献阐述了在无免费午餐和消失风险假设（NFLVR）情况下该投资组合的存在和特征。有许多金融模型违反了NFLVR，同时一方面承认对数最优投资组合。另一方面，对于金融市场而言，在金融规模不断扩大的情况下，NFLVR仍然是一个悬而未决的问题，因此文献可以应用于这些模型。在此，我们提供了对数最优投资组合及其相关最优定义的完整特征，以及它们存在的必要条件和充分条件，并在没有NFLVR的情况下证明了它们的对偶性。1简介自默顿的开创性论文【26，27】以来，效用最大化和最优组合理论已在多个方向和不同的框架中成功发展。这些成就可以在[20，21，9，19]中找到，其中引用的文献很少。除了马科维茨的投资组合外，由于对数效用的优良性质，对数最优投资组合自一段时间以来引起了极大的关注。这导致了大量关于这一主题的文献出现了不同程度的概括性。本文献的最高级部分，在无风险午餐消失风险假设（NFLVR h er efater）的假设下，为一般半鞅市场模型的这种最优投资组合提供了明确的特征，见[8，13，14]，其中引用的参考文献很少。

然而，有许多金融模型违反了NFLVR，尽管它们可能承认对数最优投资组合，见[6、22、24]，因此这些模型以某种方式断言，NFLVR可能太强，金融市场模型“不可接受和有价值”。对于逐步扩大过滤的市场模型，包括信贷风险和人寿保险这两个重要设置，NFLVR仍然是一个开放的问题，因此现有文献一方面不适用于这些模型。另一方面，对于后一类市场模型，无无界利润和有界风险受到了充分关注，因为这是市场模型在财务和数量上“可接受”且可行的最低无套利条件，请参见[1，2]及其参考文献。此外，最近有人有兴趣在没有NFLVR的情况下扩展最优投资组合和效用最大化的现有结果，参见[5]。*本研究由加拿大自然科学和工程研究委员会通过Grantres0020459资助。本论文包括多个章节，包括当前章节。第2节介绍了我们使用的数学模型和符号，并提供了其初步分析。第3节阐述了本文的主要结果并讨论了其与文献的关系，而第4节证明了主要定理。本文包含一个附录，其中对一些证明进行了降级，并给出了一些有用的现有结果。2数学模型、符号和初步研究在本文中，我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, F、 H：=（Ht）t≥满足右连续性和完全性的一般条件。

在此随机基础上，我们假设给定一个d维半鞅X，它表示d风险资产的贴现价格过程。在整篇论文中，集合M（Q）表示Q下所有鞅的集合，而A（Q）（分别是A+（Q））表示Q下所有可选过程的可积变差集合（分别是不增和可积）。当Q=P时，为了简单的表示，我们只需省略概率f。对于半鞅Y，我们用L（Y）表示在半鞅意义下可积的可预测过程集。对于^1∈ L（Y）中，相对于X的结果积分由Д·Y表示。对于任何局部鞅M，我们用Lloc（M）证明了集H-可预测过程Д是Y-可积的，重积分Д·M是局部鞅。如果C是一组进程，则Clocis是一组进程Y，其中存在一系列停止时间，（Tn）n≥1，每n增加到单位，Y长度增加到C≥ 1、对于E（L）的任何半马氏体，L，wedenote，Doleans-Dade（随机）指数，它是s-tochasticdi微分方程dy=Y的唯一解-dL，X=1，d由Et（L）=exp（Lt）给出-hLcit）Y0<s≤t（1+Ls）e-Ls。在下文中，我们回顾了X的可预测特征，这些特征将在结果的陈述和证明中发挥重要作用。这需要我们开始制作一些定义和符号。在…上Ohm × [0, +∞) ×Rd，我们考虑O（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场，分别是可选和可预测的σ场。

对于X，我们将u（dt，dx）定义的可选随机测量u关联起来：=Xu>0I{Xu6=0}δ（u，Xu）（dt，dx）。对于产品可测量的功能W≥ 0开Ohm ×R+×Rd，我们表示W u（或有时滥用符号，W（x） u）工艺（W u）t：=ZtZRd \\{0}W（u，x）u（du，dx）=X0<u≤tW（u，Xu）我{Xu6=0}。我们定义，在Ohm ×R+×Rd，测量值MPu：=P ubyMPu（W）：=ZW dMPu：=E[（W u)∞] ,（当预期明确时）。产品可测泛函W的条件期望giveneP（H），用MPu（W | eP（H））表示，是唯一的p（H）-可测泛函fw满足[（W I∑] u)∞] = Eh（fW I∑） u)∞ifor all∑∈eP（H）。为了读者的方便，我们回顾了X的正则分解（有关更多相关细节，请读者参阅[16，定理2.34，第二节2]）X=X+Xc+h (u - ν） +b·A+（x- h） u，（2.1），其中h，定义为h（x）：=xI{| x|≤1} ，是截断函数，h (u - ν） 是唯一的purejump H-局部鞅，其跳跃由H给出(十） 我{X6=0}。对于条目为Cij：=hXc，i，Xc，ji和ν的矩阵C，我们可以找到满足C=C·a，ν（dt，dx）=dAtFt（dx），Ft（{0}）=0，Z（| x）的版本|∧ 1） 英尺（dx）≤ 这里，由于X、b和c是可预测过程的准左连续性，A是递增和连续的，Ft（dx）是可预测核，bt（ω）是ird中的向量，ct（ω）是对称的d×d矩阵，对于所有（ω，t）∈ Ohm ×R+。四元组（b、c、F、A）是X的可预测特征。有关这些可预测特征和其他相关问题的更多详细信息，请参阅[16，SectionII.2]。为了简单起见，我们将考虑我们称之为σ-特殊的模型，定义如下。定义2.1。如果存在实值和H-可预测过程，则模型（X，H）被称为σ-特殊，使得0<Д≤ 1和x^1|X | I{|X |>1}∈ A+loc（H）。

（2.2）很明显，（2.2）相当于toR（| x |>1）| x | F（dx）<+∞ P A-A.e.，或toД·X为特殊半鞅（即sup0<s≤·|φXs |∈ A+loc），或等效。如果X是局部有界的，那么它是σ-特殊的。3主要结果本节阐述了本文的主要定理，并讨论了其与文献的关系。为此，我们回顾了一组可接受的投资组合和定义。在本文中，我们将Θ（X，H）表示为以下集合Θ（X，H）：=nθ∈ L（X，H）E[最大值（0，- ln（1+（θ·X）T）]<+∞o、 （3.1）定义3.1。让Z是一个过程。如果Z>0，则Z i称为（X，H）的衰减因子，并且对于任何∈ L（X，H）使得十、≥ -1、在整张纸上，（X，H）的所有偏差将用D（X，H）表示。定理3.2。假设（X，H）是σ-特殊的拟左连续的，具有可预测的特征（b，c，F，A）。那么以下断言是等效的。（a） 设置Dlog（X，H），由Dlog（X，H）给定：=Z∈ D（X，H）E类[- ln（ZT）]<+∞, （3.2）不为空（即Dlog（X，H）6=).（b） 存在一个H-可预测的过程e^1∈ L（X，H），对于属于L（X，H）的任何一个Д，以下保持eVT+（eИtrc eД·A）T+（Z(- eхtrx1+eхtrx+ln（1+eхtrx））F（dx）·A）T< +∞, （3.3）电动汽车：=eхtr（b- c eИ）+Zeхtrx1+eхtrx- eхtrh（x）F（dx）· A、 （3.4）（Д）- e^1）tr（b- c eИ）+Z(φ - eх）trx1+eхtrx- (φ - eх）trh（x）F（dx）≤ 0.（3.5）（c）存在唯一性∈ D（X，H）使得infz∈D（X，H）E[- ln（ZT）]=E[- ln（eZT）]<+∞. （3.6）（d）存在唯一θ∈ Θ（X，H）使得SUPθ∈Θ（X，H）E[ln（1+（θ·X）T）]=E[ln（1+（Eθ·X）T）]<+∞. （3.7）此外，当这些断言成立时，以下断言成立。e^1∈ L（Xc，H）∩ L（X，H），p（（1+eДtrx）-1.- 1) u ∈ A+loc（H），（3.8）eZ=E（EД·X），eZ：=E（K-eV），K：=eД·Xc+- eхtrx1+eхtrx (u - ν). （3.9）eД=eθ（1+（eθ·X）-)-1andeθ=eДe-（eД·X）P A.-a、 e。。

（3.10）重要的是要注意，对于任何Z∈ D（X，H），我们总是有E ln+（ZT）≤ ln（2）。此外，我们可以很容易地证明以下两个断言是等价的：（a）Z∈ Dlog（X，H）（即。- ln（ZT）是可积的或等价的（ln（ZT））-是可积的，（b）{- ln（Zt），0≤ t型≤ T}，或等效{（ln（Zt））-, 0≤ t型≤ T}，是一致可积的子鞅。除此之外，对于正局部鞅Z，条件E[- ln（ZT）]<+∞ 不能保证这个Z是鞅，但它意味着K：=Z-1.-· Z是满足[sup0]的鞅≤t型≤T | Kt |]<+∞ 相反，关于后一个事实，请参见引理A.1。作为讨论的结果，我们得出结论，定理3.2通过在模型上放弃风险为零的无免费午餐条件，深入扩展了对数最优投资组合的现有文献。这个假设实际上是对[13]分析的一个总体假设。这一成就是由于我们的方法与[13]的方法有着根本的不同，而它的灵感来自于[7]的方法，有着重大的不同。这种差异在于放弃了[7]中考虑的模型（X，H）的所有假设，这保证了泛函的极小值属于其有效域的内部。我们回顾我们前面的主张，（X，H）的“σ-特殊假设”纯粹是技术性的，与这个泛函的极小值无关。总之，我们的定理在基本无假设的情况下，除了描述尽可能明确存在的最优对偶解外，还建立了性质。此外，这证明了一般情况下，该最优解可能不是局部鞅解。备注3.3。很明显，流程V已明确定义。

这是由于z[eИtrx1+eДtrx- e^1trh（x）]F（dx）=-Z（| x|≤1） （eхtrx）1+eхtrxF（dx）-Z（| x |>1）1+e|trxF（dx）+F（| x |>1），这是一个定义良好的积分，其值为[-∞, +∞).类似地，对于（3.5）的LHS项，对于任何ν，都可以很好地定义积分项∈ L（X，H）。的确，duetoOhm × [0, +∞) = ∪n≥0(|φ| ≤ n） ，适用于任何过程∈ L（X，H），足以证明积分项对于有界ν定义良好∈ L（X，H）。为此，一方面Дtrx1+eДtrx- ^1trh（x）F（dx）=-Z（| x|≤1） （Дtrx）（eДtrx）1+eДtrxF（dx）- F（| x |>1）+Z（| x |>1）Дtrx+11+e|trxF（dx）+Z（| x |>1）e|trx1+e|trxF（dx）。另一方面，由于Д是X-可积的（因为它是有界的），两个过程I{|X个|≤ 1} ·【K，Д·X】和【PI】{|X |>1}，K]具有局部可积变化，其补偿器为-Z（| x|≤1） （Дtrx）（eДtrx）1+eДtrxF（dx）·A和-Z（| x |>1）e|trx1+e|trxF（dx）·分别为。这证明积分与中的值很好地定义(-∞, +∞].4证明3.2可靠性。定理3.2。很明显，（c）==>（a） 是显而易见的，因此定理的证明是redu cesto证明（a）==>（b）==> （c） ，（b）==>（d） ，（d）==>（a） ，只要断言（b）保持（3.8）-（3.9）中的属性也保持不变，则为d。因此，此证明的其余部分分为三个步骤。第一步证明断言（b）同时包含断言（c）和断言（d）以及断言（3.8）-（3.9）。第二步涉及（d）==>（a） ，而第三个s tep地址为（a）==> （b）。第1步。这里，我们假设断言（b）成立，并重点证明断言（c）和（d）以及（3.8）-（3.9）。

然后due到（3.3）和（1+y）ln（1+y）- y≥1.- δy1+yI{| y|≤δ} 任何δ的+δ2（1+δ）| y | I{| y |>δ}∈ （0，1）和任何y≥ -1，我们推导出δ∈ （0，1）以下参数eхtrx1+eхtrxI{| eИtrx|≤δ} F（dx）·A和zrd{0}| etrx | 1+etrxI{| etrx |>δ}F（dx）·A是可积过程，因此e∈ L（Xc，H）和P（（1+eДtrx）-1.- 1) u ∈ 由于LemmaA，A+locdue。2（见附录A）。因此，在（3.9）中定义的K是一个定义良好的局部鞅K+1=（1+eИtr）X）-1> 0. 此外，由于Yor公式和A的连续性，我们得出结论，对于任何有界的Д∈ L（X，H），E（Д·X）eZ=EД·X+[Д·X，K]+K-电动汽车.很容易检查（3.4）和（3.5）是否暗示th atД·X+[Д·X，K]是一个特殊的半鞅及其补偿器（Д·X+[Д·X，K]）p，由ev控制。这证明了过程Д·X+[Д·X，K]+K-eV是当地的超级大风。因此，E（Д·X）eZ是一个正的超鞅，而henceeZ∈ 一方面是D（X，H）。另一方面，由于I t^o，我们得出- ln（eZ）=局部鞅+eV+eДtrc eД·A+-eхtrx1+eхtrx+ln（1+eхtrx） u.通过将其与（3.3）相结合，我们可以得出∈ Dlog（X，H）。这证明了断言（a）成立。此外，由于eZ是一个正的超鞅，eZ-1是正半鞅，andeZ-I{| e||≤n} ·（eZ）-1=eДI{| eД|≤n} ·X.自LHS项起，上述等式的∈ （0，T）），我们得出∈ L（X，H）（即它在半鞅意义下是X-可积的）和（eZ）-1=E（EД·X）。因此，一方面，这结束了性质（3.8）-（3.9）的证明。

另一方面，我们注意到ln（E（Eν·X）T）=- ln（eZT）是一个可积随机变量，对于任何∈ L（X，H）∩ L（X，H）满足条件E ln-（E（Д·X）T）<+∞, 我们得到[ln（E（Д·X）T/E（EД·X）T）]=E[ln（E（Д·X）T）- E ln（E（EД·X）T）]≤ 因此，接下来是断言（d）和（3.10），本步骤的其余部分将证明断言（c）。让Z∈ Dlog（X，H），并通过应用定理B.2，我们推导出（β，f，V）的存在性，使得νtrxf（X）≥ - [f（x）- 1.- ln（f（x））]+ln（1+Дtrx），对于任何Д∈ L（X，H），VДtrb+Дtrcβ+Z^1trxf（x）- ^1trh（x）F（dx）· A、 E类[- ln（ZT）]≥ EVT+βtrcβ·AT+Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）·AT.然后通过将这些性质（取φ=eφ）与（3.3）-（3.4）-（3.5）相结合，以及在（3.5）下我们有eφtr（b）这一事实- c eД）+Z[eДtrx1+eДtrx- e^1trh（x）]F（dx）≥ 0，我们deriveE[- ln（eZT）]=EeVT+（eДtrc eД·A）T+(-eхtrx1+eхtrx+ln（1+（eхtrx）） u）T= EeVT公司+eДtrc eД+Z(-eхtrx1+eхtrx+ln（1+（eхtrx））F（dx）· 在= E（e^1trb-eДtrc eД）·在+Z（ln（1+eДtrx）- eхtrh（x））F（dx）·AT≤ E（e^1trb-eхtrc eх）·在+Z（eхtrxf（x）- eхtrh（x））F（dx）·AT++EZ[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）· 在≤ E- eхtrcβ-eДtrc eД+Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）· AT+VT≤ EVT+βtrcβ·AT+Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）·AT≤ E类[- ln（ZT）]。这超过了断言（c），第一步就完成了。第2步。此步骤证明（d）==> （a） 。因此，我们假设断言（d）成立。存在子叶θ时∈ Θ（X，H），使（3.7）保持不变。由于[6，定理2.8]（另见[8]和[14，定理2.3]），我们得出D（X，H）6=. 通过将其与1+（eθ·X）T>0相结合，我们得出了过程1+eθ·X和1+（eθ·X）的正性-, 因此，e的存在∈ L（X，H）∩L（X，H），一方面，1+eθ·X=e（eД·X）。