随机利率下复合泊松过程的最优红利

然后0≤ V（r，x+h）- V（r，x）≤ VL（r，x+h）+ε- E“E-UrτИXτ=X+hZτLexp{-Urτs}lsds#=VL（r，x+h）+ε- E“E-UrτИXτ=X+hZτLexp-a（rτ- r） （1）- e-as）e-Urslsds#自{T≥hc}，在时间0和时间h之间没有索赔，因此剩余过程xth在时间h达到x+h，即{T上的τ=h≥hc}。我们可以得到0≤ V（r，x+h）- V（r，x）≤ VL（r，x+h）+ε- E“E-UrhT公司≥hZτLexp-a（右侧- r） （1）- e-as）e-Urslsds#=VL（r，x+h）- E“E-UrhT公司≥h{rh≥r} ZτLexp-a（右侧- r） （1）- e-as）e-URSLSD#- E“E-UrhT公司≥h{rh<r}ZτLexp-a（右侧- r） （1）- e-as）e-Urslsds#+ε。从独立于{rt}的事实，我们可以推断出0≤ V（r，x+h）- V（r，x）≤ VL（r，x+h）- E“E-Urh{rh≥r} ZτL（1+a（r- 右侧）（1- e-as））e-Urslsds#e-λh- E“E-Urh{rh<r}ZτLe-Urslsds#e-λh+ε≤ VL（r，x+h）h1- E【E】-Urh]e-λhi+VL（r，x+h）Ehe-Urh{rh>r}（rh- r） 依斯克拉汽车电器公司-λh+ε。（4.30）在Borodin和Salminen（1998，p525）[6]中，我们可以找到exp{-Urh}和Rhexp{-Urh}。直接计算方括号中的期望值，我们发现存在一个常数Q，对于足够小的h，我们有-Urh{rh>r}（rh- r） 依斯克拉汽车电器公司-λh≤ Q√h、 （4.31）也存在常数Qsuch that1- Ehe公司-乌尔希-λh≤ Qh。（4.32）将（4.31）和（4.32）代入（4.30），我们得到存在常数Q，使得0≤ V（r，x+h）- V（r，x）≤ V（r，x+h）Q√h+ε≤我-最小{r-ba，0}bQ√h+ε。这证明了值函数的连续性。我们确实想探索关于值函数的更多正则性，但不幸的是，在许多应用中，值函数V（r，x）不一定是光滑的，或者很难证明其可微性。因此，我们需要引入弱溶液的表示法，即粘性溶液。我们记得，Crandall和Lions【8】对一阶方程引入了粘度解的概念，Lions【14,15】对二阶方程引入了粘度解的概念。

Soner提出了积分微分方程粘性解的概念[17]。完全非线性偏微分方程的粘性解概念已被证明对控制理论非常有用，因为它不需要值函数的微分性。它只需要值函数的连续性来确定粘度解。有关粘度溶液理论及其应用的概述，请参阅Crandall、Ishii和Lions的《用户指南》[7]。利用粘度解的概念，我们证明了值函数是相应方程（4.22）的（粘度）解。粘度解方法正在成为研究随机控制问题的一种成熟方法，参见书籍【11，20】。定义4.4我们说连续函数u:R×[0，∞) → R是（R，x）处（4.22）的维s余弦亚解∈ R×R+如果有连续可出租函数：R×（0，∞) → RwithИ（r，x）=u（r，x），使得u- 在（r，x）满足条件下达到最大值（r，x）≥ 我们说一个连续函数\'u:R×[0，∞) → R是（R，x）处（4.22）的粘度上解∈ R×R+如果有连续可微函数，则为：R×（0，∞) → R，其中Д（R，x）=u（R，x），因此- ^1在（r，x）满足条件下达到最小值[Д]（r，x）≤ 最后，我们称一个连续函数u:R×[0，∞) → R是（4.22）的粘度溶液，如果它在任何（R，x）处同时是粘度下解和粘度上解∈ R×R+。定理4.5（4.21）中定义的值函数V是（0+∞).首先证明了该值函数是（4.22）的粘性上解。

在这里，我们声称动态规划原理成立：即，对于任何（r，x）∈ R×[0+∞)任何停止时间τ，我们有v（r，x）=supL∈UadE“Zτ∧τLe-Rsrudulsds+e-Rτ∧τLruduV（rτ∧τL，Xτ∧τL）#。（4.33）这一原理可以通过Azcue和Muler的类似方法加以证明[3]。我们考虑了以下策略：公司在破产前始终按t利率支付股息，其中l∈ [0，M]是一个正常数。L et Xt表示策略L控制的剩余过程。表示τ剩余过程的首次索赔时间。设φ是R×[0上的连续可微函数+∞) 这样V- φat t在（r，x）处保持其最小值0。根据动态编程原理，我们得到≥ lE公司Zτ∧他-Ursds公司+ Ehe公司-Urτ∧hV（rτ∧h、 Xτ∧h） 我- V（r，x）≥ lE公司Zτ∧hef（r，s）ds+ Ehe公司-Urτ∧hφ（rτ∧h、 Xτ∧h） 我- φ（r，x）=lEZτ∧hef（r，s）ds+ Ehe公司-Urτ∧h类φ（rτ∧h、 Xτ∧h）- φ（rτ∧h类-, Xτ∧h类-){τ<h}i+Ehe-Urτ∧hφ（rτ∧h类-, Xτ∧h类-) - φ（r，x）i：=i+i+i。其中Ii，i=1，2，3是上面右侧的三个项。显然，我们有Zτ∧hef（r，t）dt= lE公司Zh{τ≥t} ef（r，t）dt= lZhe公司-λtef（r，t）dt，I=E“ZhλE-λtZXt-e-RTRSDφ（rt，Xt-- y）- φ（rt，Xt-)dG（y）dt#，I=EZh{τ≥t} e类-RTRSD- rtφ（rt，Xt-) + a（^b- rt）φr（rt，Xt-) +^Δφrr（rt，Xt-)+ cφx（rt，Xt-) - lφx（rt，Xt-)dt公司.让我们把这三个加起来，除以h→ 0，利用li任意的事实，我们得到φ（r，x）≤ 这证明了值函数是方程（4.22）的粘度上解。现在我们证明了该值函数是相应HJBequation的粘性子解。假设相反，即存在一个点（r，x）∈ R×R+，使得V不是粘度亚溶液。通过粘度溶液的定义，存在η>0和连续可微分函数，使得V（r，x）=Д（r，x），Д（r，x）≥ V（r，x）在r×r+和L[Д]（r，x）=-2η < 0.首先，我们假设r≥ 0（r<0可以类似地证明）。

考虑f函数^Д（r，x）=Д（r，x）+ηxλ（x- x） +ηλ（r- r） ，（4.34）然后我们可以注意到^И（r，x）=Д（r，x），^Дx（r，x）=Дx（r，x），^Дr（r，x）=Дr（r，x），^Дrr（r，x）=Дrr（r，x），和λZx^- y） dG（y）=λZx^1（r，x- y） +ηxλydG（y）≤ λZxД（r，x- y） dG（y）+η。我们可以g etL（r，x）≤ -η < 0.由于^^是非负且连续可区分的，我们可以找到h∈ （0，x）使得l（r，x）≤ -η<0（4.35）（r，x）∈ [r]- 2h，r+2h]×[x- 2小时，x+2小时]。设ψ为n个偶数且非负连续可微函数，其支集包含在(-1, 1) × (-1，1）这样-1R级-1ψ（r，y）drdy=1。我们定义νn：(-∞, ∞) × [0, ∞) → R为卷积νn（R，y）=nZ Z√|y-x |+| r-s |<nψ（n（r- s） ，n（y- x） （）V（s，x）+ηh2λx+ηh2λdsdx。（4.36）由于V未在R×R上定义-在这个积分中，我们可以将V扩展为V（r，y）=V（r，0）+yfor（r，y）∈ R×R-. 通过标准技术（例如，见Wheeden和Zygmund[19]），我们得到了νnis是一个smoot h函数，并且νnConverge到V+ηh2λx+ηh2λ在[r-2h，r+2h]×[0，x+h]。然后，我们可以找到足够大的v（r，y）+ηhλx+ηhλ≥ νn（r，y）≥ V（r，y）+ηh4λx+ηh4λ。（4.37）设χ为连续可微函数，满足以下条件（1）0≤ χ ≤ 1，（2）χ（r，y）=1表示（r，y）∈ [r]- h、 r+h]×[x- h、 x+h]，（3）χ（r，y）=0表示（r，y）/∈ [r]- 2h，r+2h]×[x- 2小时，x+2小时]。定义函数Д（r，y）=χ（r，y）Д（r，y）+（1- χ（r，y））νn（r，y）。（4.38）取ε=minnη2（r+h），ηhλ，ηh4λxo，从（4.34），（4.37），（4.38）我们可以看到函数Д（r，y）满足[V- ^1]（r，y）≤ -ε（4.39）{r- h} ×[x- h、 x+h]∪ {r+h}×[x- h、 x+h]∪ [r]- h、 r+h]×[0，x- h]∪[r]- h、 r+h]×{x+h}。从（4.35）中，我们得到了l[Д]（r，y）≤ -rε（4.40）开[r- h、 r+h]×[x- h、 x+h]。对于任何策略，L={lt}t≥0，表示？τ=inft>0:XLt≥ x+h或rt/∈ [r]- h、 r+h],τ=inft>0:XLt≤ x个- h或rt/∈ [r]- h、 r+h].取τ=(R)τ∧ τ.

由于Д是连续可微的，我们可以看到ehД（Xτ，rτ）e-Rτrsdsi- ^1（r，x）=EZτe-卢比a（^b- ru）^1r- ru^1- luДx+cДx+^ΔДrr（如，徐-)du+Zτe-卢比λZXu-~n（如，许）-- y） dG（y）- λИ（ru，Xu-)杜邦≤ EZτe-RursdsL[Д]（ru，Xu-)杜邦-Zτe-鲁尔斯德鲁杜≤ - εEZτe-鲁尔斯德鲁杜- EZτe-鲁尔斯德鲁杜.由于（4.40），la st不等式成立。结合（4.39），我们可以看到-RτrsdsV（Rτ，Xτ）i≤ Ehe公司-RτRSD（Д（Rτ，xτ）- ε） i=Ehe-RτrsdsД（Rτ，xτ）- И（r，x）i+EhИ（r，x）- e-Rτrsdsεi≤ - εEZτe-鲁尔斯德鲁杜- EZτe-鲁尔斯德鲁杜+ EhИ（r，x）- e-Rτrsdsεi.SinceEZτe-鲁尔斯德鲁杜= 1.- Ehe公司-Rτrsdsi，我们可以-RτrsdsV（Rτ，Xτ）i≤ ^1（r，x）- ε - EZτe-鲁尔斯德鲁杜= V（r，x）- ε - EZτe-鲁尔斯德鲁杜.由于策略L是任意的，使用动态规划原理（4.33），我们可以看到V（r，x）=supL∈UadE公司Zτe-Rursdsludu+e-RτrsdsV（Rτ，Xτ）≤ V（r，x）- ε.这是一种矛盾。这表明该值函数也是粘度亚分辨率（4.22）。5结论性意见本文研究了随机利率假设下保险公司的最优分红问题，给出了当利率服从几何布朗运动，理赔规模服从经验单调分布时最优策略的显式表达式。对于Va-sicek模型，我们没有给出值函数的解，但我们探索了它的特性，我们使用粘性解的概念来建立值函数和HJB方程之间的联系，这对于未来关于最优策略的研究很重要。当贴现因子由几何布朗运动给出时，我们可以看到，最优策略仍然是一种阈值策略，除了与确定性利率的情况相比，参数有一些变化。

这部分利用了Surplus过程独立于贴现因子的事实，这为我们证明最优性提供了一个方便的条件。第3节只考虑指数索赔，但我们已经开始探索索赔分布的更一般情况。我们猜想，在几何布朗运动的背景下，如果定理遵循更一般的连续分布函数G（y），则最优红利是带策略。在第四节中，我们考虑了随机利率服从Ornstein-Uhlenbeck过程时的股利最大化问题。但我们并没有给出值函数的更多正则性。很难找到股息策略的明确表述。在未来的研究中，我们将重点关注比较原则和最优策略。感谢中国国家科学基金会（编号11471171和11571189）支持这项工作。在此，我们要感谢白丽华和郭君毅提出的宝贵见解和建议。感谢雅克·里奥克斯（JacquesRioux）致力于改进本论文。参考文献【1】Albrecher，H.、Thonhauser，S.，《intere S t力下风险过程的最优d i提供策略》，保险数学。经济体。，43（2008），第1号，134-149。[2] Albrecher，H.、Thonhauser，S.，《保险业股息问题的最优结果》，修订版。R、 Acad。西恩克。Exactas Fs。纳特。序列号。数学。RACSAM，103（2009），第2期，295-320。[3] Azcue，P.、Muler，N.，《克拉姆-伦德伯格模型中的最优再保险和股息分配政策》，数学。《金融》，15（2005），第2期，261-308。[4] Azcue，P.，Muler，N.，复合泊松过程的最优股息政策：有界股息率的情况，保险数学。经济体。，51（2012），第1号，26-42。[5] Asmussen，S.，Taksar，M.，最优股息支付的受控差异模型，保险数学。经济体。，20（1997）号。

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