随机利率下复合泊松过程的最优红利

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英文标题：
《Optimal Dividend of Compound Poisson Process under a Stochastic Interest
  Rate》
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作者：
Linlin Tian, Xiaoyi Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we assume the insurance wealth process is driven by the compound Poisson process. The discounting factor is modelled as a geometric Brownian motion at first and then as an exponential function of an integrated Ornstein-Uhlenbeck process. The objective is to maximize the cumulated value of expected discounted dividends up to the time of ruin. We give an explicit expression of the value function and the optimal strategy in the case of interest rate following a geometric Brownian motion. For the case of the Vasicek model, we explore some properties of the value function. Since we can not find an explicit expression for the value function in the second case, we prove that the value function is the viscosity solution of the corresponding HJB equation.
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中文摘要：
在本文中，我们假设保险财富过程是由复合泊松过程驱动的。首先将贴现因子建模为几何布朗运动，然后将其建模为积分Ornstein-Uhlenbeck过程的指数函数。目标是最大化破产前预期贴现股息的累积价值。在利率服从几何布朗运动的情况下，给出了值函数的显式表达式和最优策略。对于Vasicek模型，我们探讨了值函数的一些性质。由于在第二种情况下找不到值函数的显式表达式，我们证明了值函数是相应HJB方程的粘性解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_Dividend_of_Compound_Poisson_Process_under_a_Stochastic_Interest_Rate.pdf (192.23 KB)

2022-6-10 07:30:32 上传

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关键词：泊松过程 复合泊松 Mathematical Quantitative Optimization

随机利率下复合泊松过程的最优红利*Linlin Tiana+Xiaoyi Zhangba.南开大学数学科学学院，天津300071，中国。b、 南开大学数学科学学院，天津300071，中国。本文假设保险财富过程由复合泊松过程驱动。贴现因子首先被建模为几何布朗运动，然后被建模为积分或nstein-Uhlenbeck过程的指数函数。目标是最大化破产前预期贴现股息的累积价值。在利率服从几何布朗运动的情况下，我们给出了价值函数的显式表达式和最优策略。对于Vasicek模型，我们探讨了价值函数的一些性质。由于在第二种情况下，我们无法找到值函数的显式表达式，我们证明了值函数是相应HJB方程的粘度解。关键词：Hamilton-Jacobi-Bellman方程、Vasicek模型、几何布朗运动、利率、粘性解、最优分割1引言最优分割问题在文献中讨论了很长时间。1957年，德费内蒂（DeFinetti）[9]提出，保险公司应该允许现金泄漏，并在其生命周期内衡量其表现，而不是只关注破产概率。这些现金泄漏可以解释为股息。在利率不变的情况下，Asmussen和Taksar[5]解决了布朗运动特殊情况下的最优红利问题。他们发现，在无界股息的情况下，最优策略是一个常数壁垒策略，而在限制股息率的情况下，最优策略是一个所谓的阈值策略。

在复合泊松过程之后的盈余过程的情况下，Gerberand Shiu【12】表明，当索赔额为受限股息率的经验单一分布时，最优策略是阈值策略。对于索赔额分布的更一般情况，Azcue和Muler[3]利用粘性解研究了Cram'er-Lundberg模型中的最优再保险和分红政策。后来，Azcue和Muler（见[4]）发现了在股息率有界的情况下的最优股息支付政策。在利率不变的情况下，对最优股利问题进行了较为深入的研究*该研究得到了中国国家科学基金会第11471171号和第11571189号赠款的支持。+电子邮件：tianlinlin1992@163.com通讯作者，电子邮件：zhangxiaoyi19902@163.comwell在各种一般储量模型下，参见[1、13、16]。我们省略了现有文献的列表，并参考了Albrecher和Thonhauser[2]对股息问题的调查以及其中的参考文献。利率是金融市场的关键组成部分，影响着企业的成本和利润。影响利率的因素有很多，如通货膨胀率、货币政策、汇率政策、国际协议和国际关系。利率也是反映决策者意图和实现经济目标的重要因素。随着时间的推移，更合理的假设是利率是时间的函数，而不是确定性常数。利率的变化反映了货币市场的波动。艾森伯格（Eisenberg）[10]解决了漂移布朗运动后剩余设置下的最优分割问题。贴现因子被建模为一个随机过程：首先是几何布朗运动，然后是积分Ornstein-Uhlenbeck过程的指数函数。

在g几何布朗运动的情况下，他们发现了约束和非约束微分最优策略的值函数的显式表达式。在本文中，我们将盈余过程建模为一个复合泊松过程。在第3节中，我们探讨了Dothan模型下的股息最大化问题，结果发现，与确定性利率的情况类似，最优策略的形式没有改变（与Gerber-Shiu情况相比），但参数会改变。在第4节中，我们考虑了Vasicek模型，对于该模型，短期利率被定义为Ornstein-Uhlenbeck过程。在这里，情况完全改变了。计算相应策略的回报函数并不那么容易。我们探讨了值函数的连续性，但遗憾的是，我们无法证明值函数以外的更多正则性。在粘度解的框架内考虑这个问题是很自然的。2问题公式在本文中，保险公司的准备金Xt可以用Xt=x+ct来描述-N（t）Xk=1Yk，（2.1），其中x≥ 0是初始盈余，常数c>0是保险费率，N（t）是Poisson过程，表示传入索赔的频率，{Yi}∞i=1表示一系列独立、同分布（i.i.d.）随机变量，分布为：R+→ R、 假设允许保险公司支付股息，其中截至时间t的累计股息由Lt给出。时间t的盈余描述为：XLt=x+ct-N（t）Xk=1Yk- 表示Bta标准布朗运动。上述所有定义的量都定义在相同的过滤概率空间中(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），带（Ft）t≥0{Bt，Xt}生成的过滤。这里我们只允许限制股息，也就是说，到时间t的累计股息由Lt=Rtlsds给出，其中ls∈ [0，M]对于某些常数M>0。

我们说，如果策略L是可预测的、不减损的、cadlag且它验证了XLt，那么它是可以接受的≥ 直到毁灭时刻。表示所有可接受策略的集合。我们的目标是在两种不同的随机利率下，找到最大化累计贴现股息预期的最佳策略。首先，我们考虑一个几何布朗运动模型，然后我们考虑Vasicek模型。3几何布朗运动作为贴现因子在本节中，为了便于数学计算，我们假设M<c，这意味着股息率不能超过溢价率。我们还指定G（x）=1-e-βx，这意味着索赔遵循指数分布，比率β>0。作为一种风险度量，我们考虑股息被几何布朗运动贴现{-r- mt公司- δBt}。这里，我们用初值r表示rt=r+mt+bt。通过τL表示盈余过程在某种容许策略下的破产时间L={ls}，我们定义了对应于L的返回函数beJL（r，x）=E“ZτLe-r-太太-δBslsds#。（3.2）目标是找到一个最佳的股息政策，使累计贴现股息的预期最大化。我们表示V（r，x）Optima l值函数V（r，x）=supL∈UadJL（r，x），（3.3）这里UADDE指出了所有可接受策略的集合。我们注意到，对于任何策略L，JL（r，x）=E“ZτLe-r-太太-δBSLSD#≤ E“ZτLe-r-太太-δBsMds#=Me-rm-δ.这意味着V（r，x）是有界的。对应于该问题的HJB方程为mVr+δVrr+cVx- λV（r，x）+λZxV（r，x- y） βe-βydy+最大值∈[0，M]（e-r- Vx（r，x））l=0。（3.4）3.1求解HJB方程现在我们重点解决HJB方程。表示C（R+）是R+上所有连续可微函数的集合。我们推测V（r，x）=e-rF（x）。

我们只需要找到函数F（x）∈ C（R+）使F（x）满足-m+δ- λF（x）+cF′（x）+λZxF（x- y） βe-βydy+最大值∈[0，M]（1- F′（x））l=0。（3.5）我们假设存在满足方程（3.5）的凹函数F（x）。因为控制l的线性，我们得到了临界点b*对于x<b，F′（x）>1*, F′（b）*) = 对于x>b，1和F′（x）<1*. 有可能b*= 在这些假设下，HJBequation（3.5）变为-m+δ- λF（x）+cF′（x）+λZxF（x- y） βe-βydy=0，0<x<b*; (3.6)-m+δ- λF（x）+cF′（x）+λZxF（x- y） βe-βydy+M（1- F′（x））=0，x≥ b*.（3.7）方程式（3.6）可写成ascF′（x）+βc- λ -m级-δF′（x）- βm级-δF（x）=0，0<x<b*（3.8）对于公式F（x）的通解，F（x）=CeRx+CeRx，（3.9），其中R>0和R<0是特征方程cξ的根+βc-λ -m级-δξ - βm级-δ= 类似地，对于所有x>b*, 方程式（3.7）可写成（c- M） F′（x）+β（c-M）- λ -m级-δF′（x）- βm级-δF（x）+βM=0。（3.10）将（3.10）与F（x）相结合≤毫米-δ、 我们知道（3.10）有一个形式的解决方案 x个≥ b*, F（x），F（x）=毫米-δ+DeSx，（3.11），其中D≤ 0是一个常数，sde表示以下等式（c）的负根- M） ξ+β（c- M）- λ - （m）-δ)ξ - βm级-δ= 0、b有可能*= 0如果b*= 0，则（3.11）满足（3.7）f或所有初始资本x≥ 将（3.11）放入（3.7）中意味着（3.7）有一个形式为f（x）=Mm的解-δ1.- eSx1+Sβ.由于β+S>0，此函数是递增和凹的。如果(-S） 毫米-δ（1+Sβ）≤ 1，然后f′（0）≤ 1，在这种情况下，F′（x）≤ 1代表所有x≥ 0和F（x）是（3.5）的解。我们可以看到e-rF（x）是HJB方程（3.4）的解。从现在起，我们考虑相反的情况(-S） 毫米-δ（1+Sβ）>1。我们需要找到（3.6）和（3.7）的不同溶液。

将（3.9）替换为（3.6）并设置e的系数-βx对于0，我们得到存在一个常数γ>0（γ与x无关），使得f（x）=γ[（R+β）eRx- （R+β）eRx]，0≤ x个≤ b*.从b处F（x）的连续性*, 也就是F（b*) = F（b）*), 我们得到γ[（R+β）eRb*- （R+β）eRb*] =毫米-δ+DeSb*. （3.12）将（3.12）和（3.11）替换为（3.7），设置e的系数-βxto 0，a并取消因子βe-βb*, 我们得到γ（eRb*- 雇员再培训局*) -Mβ（M-δ)-DeSb公司*β+S=0。（3.13）测定γ、D、b*, 我们可以使用条件f′（b*-) = F′（b）*+) = 1、（3.14）结合（3.12）、（3.13）a和（3.14），我们可以得到γ、D和b的闭式表达式*.在（0，b）上不难看出F′（x）>1*) 和F′（x）≤ 1开[b*, +∞), 我们省略了细节。作为总结，我们给出以下定理。定理3.1 HJB方程（3.4）的解组织如下。如果(-S） 毫米-δ（1+Sβ）≤ 1，V（r，x）=e-rMm公司-δ1.- eSx1+Sβ,最优分割策略L*= {l*s} isl公司*s=M1{XL*s≥0}.如果(-S） 毫米-δ（1+Sβ）>1，V（r，x）=-e-rSβMm-δ（β+R）eRx-（β+R）eRx（R-S） 雇员再培训局*-（R）-S） 雇员再培训局*, x<b*;e-r毫米-δ+SeS（x-b*), x个≥ b*,（3.15）其中b*=R-Rlog（R-SRR公司-SR）。最优分割策略L*= {l*s} s≥0isl*s=M1{XL*s≥b*},此处1{XL*s> b类*}是指指标函数，这意味着最佳策略是，每当XL时，以最大利率M支付股息*s≥ b*.首先证明，我们证明V（r，x）是（3.4）的连续可微解。如果(-S） 毫米-δ（1+Sβ）≤ 1，表示V（r，x）=e-rF（x），其中f（x）=e-rMm公司-δ1.- eSx（1+Sβ）.由于F（x）是方程（3.5）的连续可微解，因此很容易得到-rF（x）是（3.4）的解决方案。

同样，如果(-S） 毫米-δ（1+Sβ）>1，表示V（r，x）=e-rF（x），其中f（x）=-SβMm-δ（β+R）eRx-（β+R）eRx（R-S） 雇员再培训局*-（R）-S） 雇员再培训局*, x<b*;毫米-δ+SeS（x-b*), x个≥ b*.（3.16）从F（x）是方程（3.5）的连续可微解这一事实出发，我们得出V（r，x）=e-rF（x）是（3.4）的解决方案。从现在开始，我们证明了策略L的最优性*. 设L是一个红利率为{ls}s的可容许策略≥让τlde注意盈余过程的破产时间。Fr om Ite^o公式we o btainE[V（rt∧τL-, Xt公司∧τL-)] = V（r，x）+E“Zt∧τL-mVr+δVrr+cVx- lsVx（卢比-, Xs型-)ds#+EX0≤s<t∧τL（V（rs，Xs）- V（rs，Xs-)).因此，我们得到v（r，x）=- E“Zt∧τL(-mVr+δVrr+cVx- lsVx）（卢比-, Xs型-)ds公司#- EX0≤s≤t型∧τL（V（rs，Xs）- V（rs，Xs-))= - EZt公司∧τL(-mVr+δVrr+cVx- lsVx）（卢比-, Xs型-)- λZXs-V（rs，Xs-- y） βe-βydy+λV（rs-, Xs型-)ds公司≥ E“Zt∧τLe-RSLSD#。（3.17）我们让t→ ∞ 并利用支配收敛定理得到v（r，x）≥ E“ZτLe-RSLSD#。（3.18）如果我们使用策略{l*s} s≥0，我们得到（3.17）中的等式，这导致V（r，x）=JL*（r，x）。这就完成了证明。4.Ornstein-U-hlenbeck过程作为利率模型在本节中，我们将Vasicek模型视为利率模型。该模型基于均值回归的思想，从长远来看，它倾向于回归到一个常数。经济因素也可以证明这一特征。我们请感兴趣的读者参阅Vasicek的文章[18]，以了解有关Vasicek模型的更多详细信息。Vasicek模型假设当前的空头利率遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。表示{rs}anOrnstein-Uhlenbeck过程，我们可以将其写成标准布朗运动的随机微分方程dRS=a（^b- rs）ds+^δdBs，（4.19）a，^δ，^b>0是常数s。这里，^b是过程{rs}的长期平均值，即从长远来看，利率过程{rs}将围绕^b演变。

随机微分方程（4.19）的解可以通过将其应用于引理t到eatrt来找到，这导致tors=re-as+^b1.- e-像+^δe-AszSoudbu，初始条件为r=r。设L={ls}s≥0是一个可接受的策略，τld注意到初始财富X=X的盈余过程xl的r单位时间。对应于L的返回函数是vl（r，X）=E“ZτLe-Rsrudulsds#，，（r，x）∈ R×{R+∪ 0}. （4.20）这意味着s时的股息率Ls被因子e贴现-Rsrudu。在下面，我们用初始值r=y写出Uysas Us=Rsrudu。我们的目标是在给定优惠率{rt}的情况下，最大化预期贴现股息。我们定义了值functionsv（r，x）=supL∈UadVL（r，x），（r，x）∈ R×{R+∪ 0}. （4.21）相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为“-（r+λ）V+a（^b- r） Vr+δVrr+cVx#（r，x）+λZxV（r，x- y） dG（y）+最大值0≤l≤毫升（1- Vx（r，x））=0。（4.22）给定连续可微分函数Д（r，x）：r×[0+∞) → R、 我们定义了运营商L[Д]=”-（r+λ）Д+a（^b）- r） Дr+^ΔДrr+cДx#（r，x）+λZxД（r，x- y） dG（y）+最大值0≤l≤毫升（1- ^1x（r，x））。（4.23）这一定义将使我们更容易说明粘度溶液的定义。4.1值函数的性质在本小节中，我们证明了（4.21）中定义的值函数V的有界性和连续性。连续性使我们更容易确定粘度溶液。引理4.1 v值函数v有界。通过Fubini定理证明，值函数满足V（r，x）=supL∈UadVL（r，x）≤ EZ∞e-UrsMds公司= E[Z]∞E【E】-Urs]Mds]。（4.24）多亏了Borodin和Salminen（1998，p.525）[6]，我们可以使用E[E-Urs]=ef（r，s），其中F（r，s）：=-^bs+^δ2σs-r-^ba（1- e-as）+δ4a1.- (2 - e-as）. （4.25）设b=^b-^δ2a和^δ=^δ√2a。我们可以重写（4.25）asf（r，s）=-学士学位-r- ba（1- e-as）-δ2a（1- e-as）。

（4.26）注意，我们可以估计函数f如下f（r，s）≥ -学士学位-δ2a- 最大{r- ba，0}。f（r，s）≤ -学士学位- 最小{r- ba，0}。（4.27）从（4.24），（4.27）和假设b>0，我们得到v（r，x）≤ 我Z∞ef（r，s）ds≤ 我-最小{r-ba，0}b.（4.28）这表明V是有界的。备注4.2我们假设b>0，因为它有助于我们获得valuefunction的有界性。引理4.3 v值函数在r中是局部Lipschitz连续的，在X中是连续的。证明值函数V在x上严格递增，在r上严格递减∈ R+，R∈ R和L是ε-初始点（r，x）的最优策略。那么L={lt}t≥0也是（r+h，x）的可接受策略。特别地，XL表示控制策略为L的财富过程，τld表示盈余过程XL的破产时间。因此，一个人有0≥ V（r+h，x）- V（r，x）≥ E“ZτLe-Ur+HSLSD-ZτLe-URSLSD#- ε=E“ZτLe-乌尔斯e-ha（1-e-as）- 1.ds公司#- ε.使用所有s、e-ha（1-e-as）- 1.≥ha（e-像- 1） 保持，我们可以看到0≥ V（r+h，x）- V（r，x）≥haE“ZτLe-乌尔斯e-像- 1.ds公司#- ε.来自e-像- 1.≥ -1，我们可以看到0≥ V（r+h，x）- V（r，x）≥ -haE“ZτLe-URSLSD#- ε≥ -haV（r，x）- ε≥ -hMe公司-最小{r-ba，0}ab- ε.这里，在最后一步中，我们使用了不等式（4.28）成立的事实。这表明V在r中是局部Lipschitz。现在让L是ε-初始点（r，x+h）的最优策略，在符号τL略有重叠的情况下，初始值x+h的剩余过程xl的r单位时间用τL表示。t表示复合泊松过程的首次索赔时间。定义τ=inf{t≥ 0 | Xt/∈[0，x+h），~x=x}，其中▄x表示由▄L驱动的剩余过程，初始值为x。定义▄L={▄lt}t≥0为▄lt=（0，t≤ τ、 lt公司-τ、 t>τ和▄Xτ=X+h。（4.29）策略▄L意味着▄X在达到X+h之前不会支付股息。从现在起，为了简单起见，表示h=hc。