不平等加剧和经济衰退下的两极分化

我们讨论了SI中存在大量群内和群外相互作用n的情况。然后，每个个体都有一个策略p，该策略给出了他们选择群体内互动的概率，因此每个个体选择群体外互动的概率为1- p（图1）。在该模型下，策略为p的玩家参与组内成功交互（共k次）和组外失败交互（共n次）的概率- k out群相互作用由π（k，li，lo | n）给出=nk公司pk（1- p） n个-kkli公司qlii（1- qi）k-锂n- klo公司qloo（1- qo）n-k-lo（1）即，组内和组外相互作用的数量以及成功相互作用的数量均服从二项分布。在此模型下，成功互动产生的预期收益为simplynXk=0kXli=0n-kXlo=0π（k，li，lo | n）（Bili+Bolo）=nBiqip+nBoqo（1- p） （2）如果Biqi>Boqo，则使等式2最大化的策略为p=1（始终与组内互动），否则为p=0（始终与组外互动）。然而，这样一个线性模型并不能全面反映生物、生态系统或非人类社会中利益累积方式的现实。在许多情况下，需要最低水平的资源来实现特定目标（例如，避免饥饿或在生物系统中繁殖；在经济体中购买财产或创业）。高于这一门槛的收入虽然仍具有优势，但效益较低。也就是说，收益往往会非线性累积。与此同时，生态系统和经济都可能受到外生因素（如天气事件）的影响，从而扩大或缩小了可用于特定规模人口激增的人均资源。

当发生此类波动时，上述收益的非线性累积会导致给定个体效用函数的曲率发生变化，从而导致其风险规避水平发生变化。由于团队内外的互动在预期收益水平和风险水平上都有所不同，这导致了行为的改变。在群体外互动风险固定的情况下，我们考虑行为的进化动力学1- qo，以及在哪些方面取决于集团外成员参与此类活动的“意愿”，即与集团外互动相关的风险取决于人口中其他成员采用的策略。为了在我们的模型中理解环境变化和非线性累积收益对个体行为的影响，我们考虑了系统的进化动力学。我们考虑一个在“复制过程”（Traulsen等人，2006）下进化的群体，在这个过程中，个体能够观察到其他个体的“能力”（即通过群体内外互动累积的总收益），并将其与自己的进行比较。模型区域的动态如下：从固定大小N的种群中随机选择一个个体h。然后随机选择第二个人g，让她“观察”。如果h有能力whand g有能力wg，则h选择复制g的策略，概率为1/（1+exp[σ（wg- wh）]），其中σ表示进化过程的“选择强度”。请注意，如果wg 为什么选择g的行为的概率接近1，而如果wg 概率接近0。为了探索系统的进化动力学，我们还必须说明能力如何依赖于个体群体内外互动带来的好处，Biand Bo。

为了对跨一系列环境的不同社会互动产生的“能力”效益的非线性累积进行建模，我们假设能力效益的线性累积由一个S形函数修正，因此，w（k，li，lo | n）=exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]（1+α（liBi+loBo+nθ））（3）其中h控制乙状结肠的“陡度”（对累积收益变化的敏感性），α控制收益的线性累积率，θ控制环境，因此当θ较大（相对于累积收益）且为正值时，Sigmoid项接近于1，并且倾向于线性累积。相反，当θ较大且为负值（相对于累积收益）时，倾向于接近0。式3的形式反映了成功或生存所需的某种最低利益水平的环境。从式3中，我们可以计算出在固定风险模型下，具有策略p的参与者的预期能力^w，即^w=nXk=0kXli=0n-kXlo=0π（k，li，lo | n）exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]（1+α（liBi+loBo+nθ））（4）为了描述该系统的进化动力学，我们使用等式4确定策略p*公式4的最大化取决于环境θ以及与组内和组外成员交互成功的概率qiand qo。自等式。

4不能进行分析。通常，我们通过数值计算策略p*这将最大限度地提高作为环境功能的能力，以及成功的团队内外互动的可能性，并表明对于给定的环境和风险水平，系统有一个单一的全局最优策略（见图2a-b和SI）。最后，我们考虑模型的一个版本，该版本包括组外交互的成功取决于组外参与者所采用的策略的可能性。我们假设团队成员总是愿意互动，但我们放松了SI中的这一假设。然后，我们假设两个参与者g和HDE之间的成功组外互动取决于两个参与者的互动意愿，即PG和ph。也就是说，我们设置qgho=qo（1- ph）其中Qo是成功的内在概率，以及（1- ph）是玩家h同意参与互动的概率。为了探索这一系统的进化动力学，我们采用适应性动力学的框架（Geritz et al.，1998；Doebeli et al.，2004）来计算在玩家策略p发生微小变化的情况下模型的稳定策略。使用常驻策略p的玩家群体的策略能力为^wh=nXk=0kXli=0n-kXlo=0nk公司pkh（1- ph）n-k×kli公司qlii（1- qi）k-锂n- klo公司（qo（1- p） ）lo（1- qo（1- p） ）n-k-lo×exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]（1+α（liBi+loBo+nθ））（5）我们可以通过计算选择梯度来计算驻留策略p对入侵的稳定性= ^wh酸碱度pg=h（6），它决定了系统的局部进化动力学。

再次，我们从数值上探索系统的平衡，并表明系统通常是双稳定的（图2c-d），对于一些参数选择，有三个稳定平衡（见SI）。入侵：我们考虑了复制过程下的进化动力学，如正文（Traulsen et al.，2006）所述，在此过程中，具有策略g的玩家复制另一个玩家的策略的概率h isrg，h=（1+exp[σ（wg- wh）]）（7）以及在常驻策略g isS（h，g）=rg，hrh，g=（1+exp[-σ（wg- wh）]）（1+exp[σ（wg- wh）]）=经验[-σ（wg- wh）]（8）在不丧失一般性的情况下切换到对数（并忽略比例常数），然后我们可以简单地写入（h，g）=wh- wg（9），其中，如果s>0，h的频率增加。为了构建成对可侵入性图（见SI第2-3节），当w由公式3-5给出时，我们只需查看公式8-9的符号。请注意，在第一种情况下，我们分析（等式3-4），报酬仅取决于焦点参与者的策略（即居民和突变个体的能力不相互依赖）。这种情况在形式上类似于具有S形功能反应曲线的最佳觅食模型。A策略h=g=g*是本地ESS当且仅当s（h，g）当在g下评估时，h<0（10）*, 必须是零选择梯度点。战略g*收敛稳定当且仅当（Geritz等人，1998）s（h，g）g>s（h，g）h（11）在h=g=g时进行评估*. 我们使用等式。9-11构建入侵图和确定奇点特征（见SI第2-3节）。补充信息在本补充资料中，我们描述了对正文中提出的建模假设的放松，以证明我们结论的稳健性。

特别是，我们改变了“功能反应曲线”，将给定社会互动的结果与许多互动的累积效用和个体间互动的数量联系起来。我们还提供了正文中提出的基于个人的模拟的进一步细节。请注意，方程式编号与正文保持一致。1模型参数与图1和正文中所示模型相关的参数汇总在下表1中。我们现在讨论模型参数的变化如何影响相关的进化动力学和跨环境产生的极化程度。我们首先讨论了群体外互动的成功概率是恒定的，并且与其他群体成员采用的策略无关的情况。

然后，我们讨论了群体外互动的风险取决于互动目标的策略的情况。我们通过观察局部和非局部突变下的平衡来分析这两个模型（即，在参与者逐渐或突然调整行为的情况下，如结构变化可能发生的大幅度变化）。参数默认模拟值意味着由于成功的团队互动而获得的BI0.5利益。Bo1.0由于成功的小组外互动而获得的利益。qi1.0成功组内交互的概率QO0.6成功组外交互的概率n 5策略更新前尝试的交互次数n 1000人口规模θ[-1.1）环境质量（无不平等）θ[0，1]环境平均质量（有不平等）θg[0，1.1]不平等强度π0.1非常有效的功能反应曲线斜率为0.01的人口比例σ10选择强度u0.0001突变率表1：模型参数和选择的默认值正文基于个人的模拟2案例1：非社会支付2.1稳定性和可入侵性我们首先考虑这样一种情况，即群体外互动的成功概率是简单的QO，而不取决于互动目标的策略。因此，突变体h的回报并不取决于其引入的背景g。这意味着最大化w的策略总是可以入侵，也永远不会被入侵，因此在非局部突变的进化过程中，如图2（正文）所示，种群将始终达到全局最大值。然而，我们也对局部突变下系统的行为感兴趣（或在正文中称之为“渐进方法”）。

为此，我们看一下主文本公式4的选择梯度，它给出s（f，g）f=nXk=0kXli=0n-kXlo=0nk公司主键-1f（1- pf）n-k-1（k- npf）×kli公司qlii（1- qi）k-锂n- klo公司（qo）lo（1- qo）n-k-lo×exp[h（liBi+loBo+nθ）]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）]（1+r（liBi+loBo））（12），我们可以通过数值计算来计算零选择梯度的点，如下图S1所示。我们还可以使用公式12来深入了解主文本图2中显示的偏振动力学。特别是，如果环境非常恶劣，liBi+loBo+nθ<0 li，loor，如果liBi+loBo+nθ>0， li，lothen我们可以将等式12中的sigmoidalterm近似为常数，并恢复选择梯度s（h，g）f=nXk=0nk公司主键-1f（1- pf）n-k-1（k- npf）（1+nrqoBo+kr（qiBi）- qoBo））=r（qiBi- qoBo）（13）即，发展将朝着提高预期能力的战略方向前进。然而，对于θ的中间值，对于liBi+loBo，我们可以将S形项近似为0<-nθ和as 1，否则。因此，等式12成为概率分布条件下的总和，前提是收到的付款大于-nθ。在大多数情况下，这无法明确计算，但请注意，如果nqiBi+nqoBo+nθ>0，则loor Li值较低的项将从求和中删除。由于qo<qi，这意味着倾向于使用小组互动的玩家在这种制度下将倾向于提供更多支持，因此人群变得厌恶风险。相反，当nqiBi+nqoBo+nθ<0时，只有loor Li值较高的项才会包含在总和中，这有利于组外相互作用。

这定性地捕获了图2所示的结果。在以下各节中，我们系统地改变表2的参数，以评估正文中给出的结果的可靠性。入侵策略，总统策略，p*良好环境，#=1入侵策略，总统策略，p*中间环境，#=0入侵策略，总统策略，p*不良环境，#=-1图S1–使用表1中给出的默认参数在不同环境中成对入侵图。正如正文图2所示，我们看到低极化（p*= 0）在非常好或非常差的环境（左图和右图）中是稳定的，但在中间环境（中心图）中这种情况是相反的。在局部和非局部突变的情况下，这种影响是显而易见的。2.风险的影响和相互作用的益处。图S2显示了当我们改变风险参数QAND QoD和益处参数Biand Bo时，最大化跨环境能力的策略。

在所有情况下，我们看到的定性结果与正文图2所示的结果相似–对于中间环境，风险规避可能导致两极分化加剧，即使小组外互动的预期收益超过了小组内互动的预期收益。组内最高预期收益组外最高预期收益高质量环境低质量环境与组外交互与组内交互成功的组外交互概率，qoEnvironment quality！abIn-grouphighest expected payment from in-grouphighest expected payment from out-grouphigh quality environment低质量environment与out-groupinteractive with in-groupinteraction失败的概率，1-qi环境质量！qi=1.0Bi=0.5Bo=1.0qo=0.25Bi=0.5Bo=1.0D来自组内的最高预期回报来自组外的最高预期回报高质量环境低质量环境与组外互动与组内互动失去组内互动的潜在利益，1-BiEnvironment质量！qo=0.5qi=1.0Bo=1.0来自集团内的最高预期回报来自集团外的最高预期回报高质量环境低质量环境与集团外互动与集团内互动来自集团外互动的潜在利益，BoEnvironment quality！cqo=0.5qi=1.0Bi=0.25图S2–作为环境函数的稳定平衡（θ，x轴）和a）组外交互成功的概率，b）组内交互失败的概率，c）组内交互成功的益处，以及d）组内交互成功与组外交互成功相比的机会成本。