不确定波动模型下的亚式期权定价

然后方程（3.1）可以重写如下。d^Xεt=r^Xεtdt+^σt^XεtdWt，d^Yεt=^Xεtdt。（4.1）我们可以通过方程（3.3）得到^σ的表达式，并且^σ（ε）=σ+εγ，其中^γ（t，x，y；ε）=1.xxVε（t，x，y）≥ 0,0, xxVε（t，x，y）<0。（4.2）类似地，通过求解V的方程（3.5），我们得到了波动过程：’σ（ε）=σ+εγ，其中‘γ（t，x，y）=1.二十五（t、x、y）≥ 0,0, xxV（t，x，y）<0。（4.3）在这里，我们使用短符号^γtand‘‘γtfor^γ（t，x，y；ε）和‘‘γ（t，x，y））。设Zε=Vε- （V+εV）。为了估计误差项Zε，我们定义了运算符l（σ）=t+rxx个- r+σxxx+xy、 根据偏微分方程10 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU（3.2），（3.4）和（3.5），我们得到L（σt）Zε=L（σt）（Vε- （V+εV））=0- L（σt）（V+εV）=-（L（σt）- L（σ））V- L（σ）V- ε（L（^σt）- L（σ））V- εL（σ）V=ε（(R)γt- γt）σx二十五- （ε/2）（（γt）xxxV+2σ^γtx二十五）- （ε/2）（γt）xxxV=-fε（t，x，y），边界条件Zε（t）=Vε（t）- V（T）- εV（T）=0。通过Dynkin公式，我们得到了Zε的以下期望形式。Zε=EtxyZTtfε（s，x，y）ds= εEtxyZTt（γs）- γs）·σ·（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds+εEtxyZTt{（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）+σ（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）}ds+εEtxyZTt（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds= εI+εI+εI，其中I=EtxyZTt（γs）- γs）·σ·（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds,（4.4）I=EtxyZTt{（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）+σ（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）}ds,（4.5）I=EtxyZTt（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds.（4.6）因此我们有| Zε|≤ ε| I |+ε| I |+ε| I |。（4.7）所以我们可以通过控制| I |、| I |和| I |来估计Zε。4.3. Payoff函数的多项式增长条件。从第4.2节我们知道，为了控制误差项，我们需要分析三个部分。到（4.7），我们有Zεε≤ |I |+ε（| I |+ε| I |）。因此，有必要证明ε↓0 | I |+ε（| I |+ε| I |））=0。显然，有必要对| I |和| I |进行控制。当谈到| I |时，我们需要证明它的收敛性。

现在，让我们先考虑控制| I |和| I | I。通过I和I的表达式，我们可以看到涉及Vand-Vare的偏导数。因此，在给出I和I的控制之前，我们应该考虑对它们进行估计。接下来，我们可以通过经典结果得到Vand Vε的期望形式。当ε=0时，我们有x（u）=x exp{（r-σ） （u）- t） +σ（Wu- Wt）}。ThusV（t，x，y）=e-r（T-t） Etxy[Д（Y0，t）]=e-r（T-t） Etxy公司φTZTX（u）du= e-r（T-t） Etxy公司φT·x·（中兴通讯（r-σ） （u）-t） +σ（Wu-Wt）du）= e-r（T-t） Etxy[Д（x·H）]，（4.8），其中H（=（1/t）RTexp{（r- σ/2）（u- t） +σ（Wu- Wt）}du）是固定t的随机变量∈ [0，T]。类似地，有vε（t，x，y）=e-r（T-t） ess supσ∈AεEtxy公司Д（Yε0，T）= e-r（T-t） Etxy[Д（x·G）]，（4.9），其中G（=（1/t）RTexp{（r-（σu）/2）（u-t）-^σu（Wu-Wt）}du）是固定t的随机变量∈ [0，T]。通过等式（4.8）和等式（4.9），我们注意到有必要在Д上施加多项式生长条件以控制二十五和xxVε。然后我们给出xxV（t，x，y）和dxxVε（t，x，y）在下面的引理a.12中，粤菜汉和春阳六引理4.2。假设Payoff函数的二阶导数满足多项式g增长条件，即存在常数Kand和m，使得ν′（x）≤K（1+| x | m）。那么，我们有常数k，比如二十五（t、x、y）≤ K（1+| x | m），（4.10），其中Kdepends on T，T，Etxy|H类|, Etxy公司|H | m+2此外，还有常数K，比如xxVε（t，x，y）≤ K（1+| x | m）。（4.11）其中Kdepends on T，T，Etxy|G级|, Etxy公司|G | m+2和K.Proof。作为引理中的假设，我们有二十五（t、x、y）= e-r（T-t） Etxy公司И′（xH）H≤ e-r（T-t） Etxy公司K（1+| xH | m）H≤ K（1+| x | m）。这里Kdepends在T，T，Etxy上|H类|, Etxy公司|H | m+2实际上，对于常数m>0，我们有thatEHm=（1/（T））mEZT公司-t型-texp{（r- σ/2）u+σWu}dum级≤ （T） mE（ZT-t型-te | r-σ/2 |（T-t） +σ武都）m≤ （T） 内存| r-σ/2 |（T-t） Esups∈(-t、 t型-t）eσWs!m<+∞.另一方面，我们可以控制xxVε类似。

然后有一个常数，它依赖于T，T，Etxy|G级|, Etxy公司|G | m+2还有Ksuch that|xxVε（t，x，y）|≤ K（1+| x | m）。现在，通过遵循建议，我们可以控制I号土地。建议4.3。假设∈ Cp（R+）满足Lipschitz连续性条件。然后，方程（4.5）和方程（4.6）中存在满足| I |+| I |的常数Cand psuch≤ C（1+| x | p）。证据通过引理4.2，我们得到了（3.3）和（4.11）中的以下不等式|tVε+r（xxVε- Vε）+xyVε|≤（σ+ε）xxxVε≤（K/2）（σ+ε）|x |+| x | m+2.根据V的表达式，的确|电视+r（x十五- 五） +x个yV |≤Kσ|x |+| x | m+2.通过（3.5）和（4.10），我们得到x的控制二十五、，x个二十五=电视+r（x十五- 五） +x个yV+(R)gtσx二十五· (2/σ)≤|电视+r（x十五- 五） +x个yV |+|σx二十五|· (2/σ)≤ M|x |+| x | m+2,（4.12）式中，Mdepends on K，Kandσ。我们可以从[16]中的定理5.2.1得到^Xεt的存在唯一性。然后，通过对随机微分方程解的矩的估计（第2.5节的推论12），对于固定的q>0，存在一个常数N（q），使得etxy“sups”∈[t，t]^Xεsq#≤ N（q）eN（q）（T-t） （1+| x | q）。（4.13）通过（4.6）、（4.12）和（4.13），我们得到以下不等式|I |=Etxy公司ZTt（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds≤ （M/2）EtxyZTt（|^Xεs |+| Xεs | m+2）ds≤ M′1+| x | m+2.（4.14）这里M′依赖于T，T，N（2），N（M+2）和M。通过（4.5），（4.10），（4.12）和（4.13），我们得到了| I |的控制|I |=Etxy公司ZTt（^γs）（^Xεs）xxV+σ（^γs）（^Xεs）xxVds≤ （K/2）EtxyZTt（^Xεs）+（^Xεs）m+2ds+ 梅特西ZTt（^Xεs）+（^Xεs）m+2ds≤ M（1+| x | p），（4.15），其中，Mdepends on T，T，M，K，N（2）和N（M+2），p≥ m+2。将（4.14）和（4.15）结合起来，有一个常数Csuch为| I |+| I |≤ C（1+| x | p）。14韩越才、刘春阳4.4. 支付函数二阶导数的连续性。通过命题4.3，我们获得了对I和I的控制。

接下来，对于固定点（t、x、y）∈[0，T]×R+×R+，必须证明limε↓0 | I |=0。注意，如果∈ Cp（R+）（即其高达2阶的导数具有多项式增长），我们可以通过（4.4），（4.10），（4.13）和H¨older不等式得到以下不等式，| i |≤Etxy公司ZTt（σ（^Xεs）xxV）ds1/2Etxy公司ZTt（γs）- γs）ds1/2≤ M（1+| x | p）1/2Etxy公司ZTt |^γs- γs | ds1/2.（4.16）这里，Mdepends在K、T、T、σ和p上≥ 4+2m。此外，Mis独立于ε。设hε（t，x，y）=^γ（t，x，y；ε）- γ（t，x，y）。通过（4.2）和（4.3），我们得到了| hε（t，x，y）|=1.xxVεxxV<0,0，xxVε二十五≥ 因此，为了证明| I |→ 0为ε→ 0，必须证明limε↓0EtxyZTt | hε（s，^Xεs，^Yεs）| ds= 0。（4.17）通过hε的表达式，我们应该分析Vand Vε的导数。在这里，我们发现连续性是必要的。引理4.4。假设И′是连续的。然后二十五和xxVε相对于（x，y）是连续的。证据通过（4.8），我们得到V（t，x，y）=e-r（T-t） Etxy[Д（xH）]和xxV（t，x，y）=e-r（T-t） Etxy[Д′（xH）H]。如果И′是连续的，那么对于所有x∈ R+，δ>0，有一个常数ξ=ξ（δ，x），使得|Д′′（xH）- И′（xH）|≤ 所有xH的δ∈ （xH- ξ、 xH+ξ）。所以对于所有（x，y）∈ R+×R+，xH∈ （xH- ξ、 xH+ξ），y∈ （y）- ξ、 y+ξ），我们有|二十五（t、x、y）- xxV（t，x，y）|=e-r（T-t） | Etxy[Д′（xH）H- И′（xH）H]|≤ e-r（T-t） Etxy[H |Д′（xH）- И′（xH）|]≤ e-r（T-t） δEtxy【H】。从而得到lim（x，y）→（x，y）xxV（t，x，y）=xxV（t，x，y）。同样，我们可以得到xxVε。备注4.5。根据emma 4.1，当ε接近0时，将k变薄，Vε及其导数收敛到相应的导数，这是合理的。备注4.6。为了模拟变量Y带来的复杂性，即路径依赖性，并研究hε的行为，我们定义了λty={x∈ R+|xxVε二十五≤ 0, ε> λ}.设Dty=limλ↓0Dλty。当xxVε是连续的，Dty={x∈ R+|xxV（t，x，y）=0}。备注4.7。

为了控制hε，我们将DλTy分为两部分。设α（ρ）=[-ρ、 ρ]，我们将讨论Dλty的性质∩ α（ρ）和Dλty∩ α（ρ）c.Lemma 4.8。假设И′是连续的。然后我们有ptxy（Dty∩ α(ρ)) = 0.这里，Ptxy（·）表示关于Xεt=X，Yεt=Y的条件概率。通过（4.1）和（3.4），我们可以得到以下方程式2.电视+r（x十五- 五） +σxxxV=0，V（T）=Д（xH）。（4.18）设Q=二十五。然后到（4.18），我们有2.tQ+（r+σ）Q+（r+2σ）xxQ+σxxxQ=0，Q（T）=Д′′（xH）H。设x=log k。那么我们得到了2.tQ+（r+σ）Q+（r+2σ）kQ+σkQ=0，Q（T）=Д′（（log k）H）H.（4.19）注意，方程（4.19）中的系数是常数，Q是有界的∩ α（ρ）的连续性和引理4.4。此外，根据方程式（4.19），16 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU发现y与方程式无关。然后根据[17]的定理A和下面的标记，我们得到Q的零点的数目对于所有（s，y）都不可数∈ [t，t]×R。因此，XXV不超过可计数的零点。因此我们有Ptxy（Dty∩ α（ρ））=0，由[11]的引理4.10得出。然后完成了Lemma 4.8的证明。在前面分析的基础上，我们现在将证明（4.17）。我们将把期望分成两部分。通过证明各部分的收敛性，我们可以得到期望的收敛性。提案4.9。假设∈ Cp（R+）和Д′是连续的。然后我们得到方程（4.17）。证据设\'Dλty是Dλty的闭包，\'Dty=limλ↓0'DλTy和0≤ λ < ε < 1.根据Dλty的定义，我们有etxyZTt | hε（s，^Xεs，^Yεs）| ds≤ Etxy公司ZTtI'Dλ（s^Yεs）（^Xεs）ds= Etxy公司ZTtI'Dλ（s^Yεs）∩α（ρ）（^Xεs）ds+ Etxy公司ZTtI'Dλ（s^Yεs）∩α（ρ）c（^Xεs）ds= Φ+ Φ.（4.20）现在，我们考虑（4.20）第一部分的第二部分。

根据（4.13）和切比雪夫的sinequality，有Φ≤ Etxy公司ZTtIα（ρ）c（^Xεs）ds≤ZTtPtxysups∈[t，t]|^Xεs |≥ ρ!ds公司≤ （（T- t） /ρ）Etxy“sups∈[t，t]|^Xεs|#≤（T- t） N（1）ρeN（1）（t-t） （1+| x |）。因此，我们有limρ→∞Φ= 0.（4.21）关于第一部分，我们注意到Φ=ZTtPtxy^Xεs∈\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)ds。Letθ(Ohm) = supλ∈[0,1]Ptxy(Ohm), 然后是isPtxy^Xεs∈\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)≤ θ\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ).（4.22）注意λ<ε。那么，Dλsy是一系列递减的闭集，如ε↓ 显然，^Xε弱收敛于Xs。因此{Xs}是弱紧的。根据[14]中的定理8，可以看出θ\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)↓ θ\'D（s^Yεs）∩ α(ρ)asε↓ 通过引理4.4，我们得到了“Dsy=Dsy”。因此，存在isPtxy^Xεs∈\'D（s^Yεs）∩ α(ρ)= 0.然后定义θ(Ohm), 我们有limε↓0θ\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)= θ\'D（s^Yεs）∩ α(ρ)= 因此，存在imε↓0Ptxy^Xεs∈\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)= 然后，我们得到limε↓0Φ= 0.（4.23）根据方程（4.21）和方程（4.23），对于任何δ>0，ρ=ρ（t，x，y，δ）>0，使得Φ<δ/2，对于所有ρ>ρ。接下来，对于给定的ρ和δ，ε=ε（t，x，y，δ，ρ（t，x，y，δ）），使得Φ<δ/2，对于所有ε<ε。因此，对于任何δ>0，ε=ε（t，x，y，δ），使得Φ+Φ<δ，f或所有ε<ε，即limε↓0EtxyZTt | hε（s，^Xεs，^Yεs）| ds= 018韩月才和刘春阳4.5。主要结果的证明。现在，正如上面的分析，我们可以给出定理3.1的简要证明。主要结果的证明。通过不等式（4.16）和命题4.9，我们得到了↓0 | I |=0。（4.24）通过不等式（4.7），我们得到Vε- （V+εV）ε≤ |I |+ε（| I |+ε| I |）。通过命题4.3和方程（4.24），我们得到了定理。结论在本文中，我们分析了最坏情况下亚式期权价格的行为。本文研究的模型是一个波动区间为[σ，σ+ε]的不确定波动模型。

当ε接近0时，模型的模糊度消失。我们还可以看到，在最坏的情况下，随着时间间隔的缩小，亚式期权的价格会收敛到其布莱克-斯科尔斯价格，波动性也会保持不变。通过研究，我们得到了一种估计最坏情况下亚洲期权价格的方法。同时，这意味着我们通过在边界条件上施加附加条件并将其切割成两个Black-Scholes型方程，给出了求解完全非线性PDE（3.2）的估计方法。参考文献[1]F.Black，M.Scholes，《期权定价与公司负债》，政治经济杂志81（3）（1973）637–659。[2] R.C.Merton，《理性期权定价理论》，贝尔经济与管理科学杂志4（1）（1973）141-183。[3] J.赫尔，A。White，《随机波动资产期权价格》，金融杂志42（2）（1987）281-300。[4] S.L.Heston，《随机波动期权的封闭形式解及其在债券和货币期权中的应用》，修订版。金融研究6（2）（1993）327-343。[5] T.J.Lyons，《不确定波动性与衍生品的无风险合成》，应用。数学《财政》2（2）（1995）117-133。[6] M.Avellanda，A.Levy，A.Paras，《波动性不确定市场中衍生证券的定价和对冲》，应用。数学财务2（2）（1995）73-88。[7] N.G.Dokuchaev，A.V.Savkin，《具有交易成本和不确定波动性的金融市场模型中的期权定价》，J.跨国财务管理8（2-3）（1998）353-364。[8] P.A.Forsyth，K.R.Vetzal，具有离散观察障碍的不确定波动率/交易成本期权定价模型的简化解，应用。数字。数学36 (4) (2001) 427-445.[9] J Vorbrink，《波动性不确定性金融市场》，数学经济学杂志53（2014）64–78。[10] D.M.Pooley，P.A.Forsyth，K.R。

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