不确定波动模型下的亚式期权定价

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英文标题：
《Asian Option Pricing under Uncertain Volatility Model》
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作者：
Yuecai Han and Chunyang Liu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we study the asymptotic behavior of Asian option prices in the worst case scenario under an uncertain volatility model. We give a procedure to approximate the Asian option prices with a small volatility interval. By imposing additional conditions on the boundary condition and cutting the obtained Black-Scholes-Barenblatt equation into two Black-Scholes-like equations, we obtain an approximation method to solve the fully nonlinear PDE.
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中文摘要：
本文研究了在不确定波动率模型下，亚式期权价格在最坏情况下的渐近行为。我们给出了一个在小波动区间内近似亚式期权价格的过程。通过在边界条件上施加附加条件，并将得到的Black-Scholes-Barenblatt方程切割成两个Black-Scholes-like方程，我们得到了求解完全非线性偏微分方程的近似方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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关键词：亚式期权定价 亚式期权 期权定价 波动模型 不确定

不确定波动下的亚式期权定价模型YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU摘要。本文研究了在不确定波动率模型下，亚洲期权价格在最坏情况下的渐近行为。我们给出了一个在小波动区间内近似亚式期权价格的过程。通过在边界条件上引入附加条件，将Black-Scholes-Barenblatt方程分解为两个Black-S-choles-like方程，得到了求解完全非线性偏微分方程的近似方法。关键词：亚式期权，非线性Black-Scholes-Barenblatt偏微分方程，不确定性波动率模型，随机控制1。简介交易账户期权是一种金融合同，允许合同买方在期权有效期内以特定价格（称为履约价格）交易标的资产。期权种类繁多，有欧式期权、美式期权、亚式期权和障碍期权。作为现代期权分析的基础，Black、Scholes[1]和Merton[2]引入了欧式期权的Black-Scholes-Merton定价公式。在Blcak-Scholes-Merton模型中，假设波动率为常数。然而，持续的波动性无法解释观察到的期权市场价格。继Black、Scholes和Merton的工作之后，一些学者研究了具有随机波动性的期权定价模型。在一系列论文中，介绍了几种随机波动率模型，如赫尔-怀特随机波动率模型[3]和赫斯顿随机波动率模型[4]。不确定波动率模型是描述非恒定波动率的另一种方法。1995年，Lyons【5】和Avellaneda等人【6】引入了不确定波动率模型。在这些模型中，假设波动率在一定范围内。因此，价格不再是唯一的。

我们只能得到最佳情况下的价格和最坏情况下的价格。对不确定波动率的几个问题进行了研究。我们可以在Lyons【5】、Avellaneda等人【6】、Dokuchaev、Savkin【7】、Forsyth、Vetzal【8】和Vorbrink【9】中看到这些结果。本文展示了包含非线性偏微分方程的不确定波动率2 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU模型的定价。Pooley、Forsyth、Vetzal【10】和Avellanda等人【6】提出了一些数值方法。2014年，Fouque和Ren【11】研究了不确定波动率模型下最坏情况下的欧洲衍生品价格。他们提供了一种对波动率区间较小的衍生品进行定价的近似方法。此外，本文还提出，对于具有凸支付的简单期权，其解归结为一个常数波动率问题。本文研究了亚式期权的定价问题。支付函数的路径依赖于风险资产价格过程。另一个变量用于解决该问题。在确定最坏情况下亚洲期权价格的估计过程中，我们遇到的第一个问题是获得价格的哈密顿·贾科比·贝尔曼（HJB）方程。HJB方程在金融数学中被称为BlackScholes-Barenblatt（BSB）方程。利用随机控制理论可以得到BSB方程。下一个困难是证明估计的一致性。为了控制误差项，我们通过Dynkin公式获得其期望形式，并通过证明和推导确定我们应该对Payoff函数施加什么条件。最后，我们得到了价格的近似过程。与Fouque和Ren的论文【11】相比，我们在随机控制系统中添加了一个方程，它也可以反映在BSB方程中。

根据风险资产定价过程的动态性，我们给出了一个描述路径依赖的方程。在估计期望形式时，我们使用这两个过程之间的关系。在第4.4节中，我们首先确定两个变量中的一个，以简化问题。我们用来管理这两个变量的另一种方法是改变BSB方程的形式。本文的组织结构如下。在第2节中，我们简要描述了不确定波动率模型下的亚洲期权，并给出了期权价格的Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程。在第3节中，我们找到了最坏情况下的亚式期权价格估计，该估计依赖于两个Black-Scholes-likePDEs。接下来，我们提出了本文的主要结果，这表明了估计的合理性。在第四节中，我们给出了主要结果的证明。通过对Payoff函数施加的条件，我们得到了err或项的收敛性。在此过程中，我们得到了误差项的期望形式，并将其分为三部分。利用随机控制理论和最坏情况下亚式期权价格过程的性质给出了这三部分的控制。最后，给出了本文的结论。2.不确定波动率模型下的亚式期权本节介绍不确定波动率模型下的亚式期权。然后给出了亚式期权价格的Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程。假设X是一个针对风险资产的亚式期权，到期日为T，支付金额为（·）。ν（·）是一个非凸函数，其结果与凸条件下的BlackScholes结果相同。

也就是说，本文的结果涵盖了广义亚式期权。假设风险资产XT的价格过程解出以下随机微分方程（2.1）dXt=rXtdt+σtXtdWt，其中r是恒定的无风险利率，WT是概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 P）和波动过程σt∈ A[σ，σ]表示每个∈ [0，T]，这是一系列渐进可测和[σ，σ]值过程。通过上述定义，我们知道，不确定波动性模型中的波动性不是具有概率分布的s-tochastic过程，而是具有未知先验信息的随机过程家族。因此，我们可以用模型的模糊性来区分不确定波动率模型之间的差异。由于路径依赖于风险资产价格过程，我们假设Yt，T的表达式如下（2.2）Yt，T=Yt- 年初至今- t、 式中，Yt=RtXudu。然后我们可以得到最坏情况下的亚式期权价格，时间t<Tas遵循（2.3）V（t，Xt，Yt）=exp(-r（T- t） ）ess supσ∈A[σ，σ]E[Д（Y0，T）| Ft]，其中ess sup是基本上确界。通过不确定波动率模型的模糊性，我们将价格定义为方程（2.3）。显然，最坏的情况是期权卖方的价格。它与一致性风险度量有关，一致性风险度量量化了波动性不确定性引起的模型风险（见[12]）。此外，数学金融中的模型模糊性吸引了许多人的注意。因此，我们应该注意最坏情况下价格的重要性。4 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU通过随机控制理论（见[13]），V（t，Xt，Yt）满足HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程（Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程）。引理2.1。

V（t，Xt，Yt）满足以下Black-Scholes-Barenblatt方程电视+r（x十五- V）+xyV+supσ∈A[σ，σ]xσ二十五= 0,0 ≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，V（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0.（2.4）证明。注意，随机控制系统是dXt=rXtdt+σtXtdWt，σt∈ A[σ，σ]，dYt=Xtdt。然后对于所有（s、x、y）∈ [0，T]×R+×R+，我们首先建立动态程序框架dXt=rXtdt+σtXtdWt，dYt=Xtdt，Xs=x，Ys=y。（2.5）成本函数isJ（s，x，y；σ）=Eshe-r（T-s） ν（Y0，T）i，其中Es[·]=E[·| Fs]。值函数isV（s，x，y）=ess supσ∈A[σ，σ]J（s，x，y；σ）。对于所有0≤ s≤ ^s≤ T，σ∈ A[σ，σ]，我们有v（s，x，y）≥ 叶舍-r（T-s） ^1（Y0，T）i=EsZ^ss-重新-r（T-t） ^1dt+e-r（T-^s）Д.然后我们得到0≥ 锿Z^ss-重新-r（T-t） ^1dt+ V（^s，x，y）- V（s，x，y）。除以bs- 在不平等的两边，我们有0≥ Es“R^ss-重新-r（T-t） Дdt^s- s#+V（^s，x，y）- V（s，x，y）^s- s、 这里，假设ν是Lipschitz连续的。然后根据It^o公式和方程式（2.5），我们得到了dV=Vtdt+VxdXt+VydYt+vxdxtdxt+Vy-ydYtdYt+VxydXtdYt=（Vt+rXtVx+XtVy+σtXtVxx）dt+σtxtdwt。让我们→ s、 对于所有σ∈ A[σ，σ]，我们有0≥ -资源[e]-r（T-s） ^1]+Vt+rXsVx+XsVy+σsXsVxx≥ -rV（s，x，y）+Vt（s，x，y）+rxVx（s，x，y）+xVy（s，x，y）+σsXsVxx（s，x，y），即（2.6）0≥ -rV+Vt+rxVx+x Vy+supσ∈A[σ，σ]σxVxx。另一方面，f或任何ε>0，则存在σ（ε）∈ A[σ，σ]使得v（s，x，y）- ε（^s）- s）≤ 叶舍-r（T-s） ^1i=EsZ^ss-重新-r（T-t） ^1dt+ 叶舍-r（T-^s）Дi.所以我们有-ε ≤ Es“R^ss-重新-r（T-t） Дdt^s- s#+V（^s，x，y）- V（s，x，y）^s- s、 如上所述，我们得到（2.7）0≤ -rV+Vt+rxVx+x Vy+supσ∈A[σ，σ]σxVxx。结合（2.6）和（2.7），我们得到0=-rV+Vt+rxVx+x Vy+supσ∈A[σ，σ]σxVxx。备注2.2。在这里，将变量Y添加到d Y动力学系统中会导致更复杂的随机控制系统，这会增加BSB方程的维数。备注2.3。

注意，（2.4）是一个完全非线性的偏微分方程，它没有像Black-Scholes方程那样的解。因此，我们决定通过将其简化为求解两个Black-Scholes-like偏微分方程来解决这个问题。3、Black-Scholes等人的偏微分方程和主要结果在本节中，我们首先重新参数化不确定波动率模型，以研究最坏情况下的价格。假设风险资产价格过程Xεthasa动态dXεt=rXεtdt+σtXεtdWt，dYεt=Xεtdt，（3.1）6 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU，其中σt∈ Aε={σt |σtis A[σ，σ+ε]-有值过程可测量过程}和σ∈ [σ, σ].成本函数为jε（t，x，y；σ）=e-r（T-t） Etxy公司Д（Yε0，T）,式中，Etxy[·]表示关于Xεt=X，Yεt=Y的条件期望。值函数为vε（t，X，Y；σ）=ess supσ∈Aε[Jε（t，x，y；σ）]。通过引理2.1，我们得到了Vε的Black-Scholes-Barenblatt方程。tVε+r（xxVε- Vε）+xyVε+supσ∈AεxσxxVε=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，Vε（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0，（3.2），相当于tVε+r（xxVε- Vε）+xyVε+supγ∈A[0,1]x（σ+εγ）xxVε=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，Vε（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0，（3.3），其中A[0，1]={γt |γtis A[0，1]-有价值的过程可测量过程}。很明显，最坏情况下的价格比任何波动率σ为常数的Black-Scholesprice价格都要大∈ [σ, σ]. 在下一节中，我们将证明亚式期权的最坏情景价格收敛于其具有常数波动率σ的Black-Scholes价格。此外，还可以得到亚式期权价格作为波动率区间shr的收敛速度。然后，当区间足够小时，我们可以通过这个结果来估计价格。设Vbe为Black-Scholes价格，V=Vε|ε=0，V=εVε|ε=0。现在，我们假设Vε相对于ε是连续的。然后，通过Vε和方程（2.3）的连续性，我们得到V=V=Vε|ε=0。

众所周知，V满足以下偏微分方程。电视+r（x十五- 五） +x个yV+σxxxV=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，V（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0。（3.4）另一方面，我们有V=εVε|ε=0，即当ε接近0时，亚式期权价格的收敛速度。为了得到表征V的方程，我们对方程（3.3）的两侧进行ε微分，并设ε=0，然后我们得到电视+r（x十五- 五） +x个yV+σxxxV+supγ∈A[0,1]γσxxxV=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，V（T，x，y）=0，x≥ 0，y≥ 0。（3.5）现在，我们有两个如上所述的Black-Scholes-like偏微分方程。接下来，我们想找出Vε和V，V之间的关系。然后，我们试图证明我们是否可以在支付函数上施加附加条件，使误差项Vε- （V+εV）有序o(ε). 也就是说，当模型模糊性消失时，对最坏情况下亚式期权价格的估计将接近真值。它还将向美国展示估计最坏情况下亚式期权价格的方法。通过下一节的推导，我们得到了以下定理，这是本文的主要结果。定理3.1。假设∈ Cp（R+）是Lipschitz连续的，而ν的二阶导数是连续的。Thenlimε↓0Vε- （V+εV）ε=0。此处^1∈ Cp（R+）表示其2阶导数具有多项式增长。备注3.2。要证明定理3.1，有一些困难。第一个问题是如何将误差项转换为可估计的形式。我们得到了它的期望值，并在下一节中将其分为三部分。第二个问题是如何估计这三个部分。我们将使用随机控制理论、方程（4.1）的零集性质、次线性期望的性质以及最坏情况下亚洲期权价格过程的性质。备注3.3。

根据eorem 3.1，我们可以计算亚式期权价格Vε（t，Xεt，Yεt）及其近似值，V（t，Xεt，Yεt）+εV（t，Xεt，Yεt），其中V（t，Xεt，Yεt）是亚式期权的Black-Scholes价格，V（t，Xεt，Yεt）可以根据（3.5）的简单差分格式进行数值计算。（见【10】）备注3.4。注意，（3.4）和（3.5）与ε无关。所以，当我们用不同的ε计算vε时，我们只需要用T heorem 3.1.4计算所有小ε值的Vand Vonce。主要结果的证明在本节中，我们试图控制误差项，以证明我们可以用其估计值V+εV来计算Vε。作为8 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG Liu定理3.1中提到的关于ν的条件，我们有以下证明过程。另一方面，我们的思考过程也将在接下来的部分中反映出来。4.1. Payoff函数的Lipschitz连续性。从第3节我们知道，只有在Vε连续的情况下，我们才能得到V（=Vε|ε=0）和V（=εVε|ε=0）。因此，为了得到Vε的连续性，我们假设ν是lipschitz连续的。然后，存在一个常数Ksuch |Д（x）- ^1（y）|≤ K | x- y |，对于所有x 6=y，x，y∈ R+。因此，我们有如下引理。引理4.1。假设ν是Lipschitz连续的。那么Vε相对于ε是连续的。证据让0≤ ε≤ ε < 1.

注意vε（t，x，y；σ）=ess supσ∈Aεne-r（T-t） Etxy公司Д（Yε0，T）o、 我们有那个-t） Vε（t，x，y；σ）=ess supσ∈AεEtxyhИ（Yε0，T（σ））i=ess supσ∈AεEtxyД（Yε0，T（σ∧ (σ+ ε))).根据ν的Lipschitz连续性和方程（2.1），存在常数Ksuch thater（T-t） | Vε（t，x，y；σ）- Vε（t，x，y；σ）|≤ ess supσ∈AεEtxy公司φYε0，T（σ）- Etxy公司φYε0，T（σ∧ (σ+ ε))≤ Kess supσ∈AεEtxy公司Yε0，T（σ）- Yε0，T（σ∧ (σ+ ε))1/2≤ （K/T）ess supσ∈AεEtxyZT | Xεu（σ）- Xεu（σ∧ （σ+ε））| du1/2.对于s-tochastic微分方程解的矩估计（第2.9节中的定理9和[15]第2.5节中的推论12），有常数N=N（q，r，σ），N′=N′（q，r，σ），和C=max{NN′，N+N′}，因此etxysups公司≤u | Xεs（σ）- Xεs（σ∧ （σ+ε））| 2q≤ 努克-1纽特西Zu | Xεs（σ）| 2q·|σs- σs∧ （σs+ε）| 2qds≤ 努克-1eNuN′eN′uu（1+x2q）|ε- ε| 2q=CuqeCu（1+x2q）|ε- ε| 2q。因此，我们有了thater（T）-t） | Vε（t，x，y）- Vε（t，x，y）|≤ （K/T）ess supσ∈AεZTEtxysups∈[0，u]| Xεu（σ）- Xεu（σ∧ （σ+ε））| du！1/2≤ （K/T）ess supσ∈AεZTCueCu（1+x）|ε- ε| du1/2≤ K′（1+x）1/2ε- ε|，其中K′=K′（K，C，T）。Letε→ ε. 我们有| Vε（t，x，y）- Vε（t，x，y）|→ Vε相对于ε的连续性可以用ε来证明≤ ε.4.2. 误差项的期望形式。在这一部分中，我们对误差项进行了分析，并给出了误差项的期望形式作为准备工作，然后证明了V+εV.Let^σtbe最坏情景波动过程和^Xεtbe最坏情景风险资产过程的收敛性。