证券组合卖空控制的自适应l1正则化

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英文标题：
《Adaptive l1-regularization for short-selling control in portfolio
  selection》
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作者：
Stefania Corsaro and Valentina De Simone
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the l1-regularized Markowitz model, where a l1-penalty term is added to the objective function of the classical mean-variance one to stabilize the solution process, promoting sparsity in the solution. The l1-penalty term can also be interpreted in terms of short sales, on which several financial markets have posed restrictions. The choice of the regularization parameter plays a key role to obtain optimal portfolios that meet the financial requirements. We propose an updating rule for the regularization parameter in Bregman iteration to control both the sparsity and the number of short positions. We show that the modified scheme preserves the properties of the original one. Numerical tests are reported, which show the effectiveness of the approach.
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中文摘要：
我们考虑l1正则化Markowitz模型，在经典均值-方差模型的目标函数中加入l1惩罚项以稳定解过程，提高解的稀疏性。l1惩罚条款也可以用卖空交易来解释，一些金融市场对卖空交易提出了限制。正则化参数的选择对于获得满足财务要求的最优投资组合起着关键作用。我们在Bregman迭代中提出了一种正则化参数的更新规则，以控制稀疏性和空头数量。我们证明了修改后的方案保持了原方案的性质。数值试验表明了该方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Adaptive_l1-regularization_for_short-selling_control_in_portfolio_selection.pdf (389.52 KB)

2022-6-10 09:01:18 上传

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关键词：正则化 Requirements Quantitative Restrictions Optimization

投资组合选择中卖空控制的自适应l正则化。科尔萨罗*五、 De Simone+Abstracts我们考虑l-正则化马科维茨模型，其中在经典平均方差的目标函数中添加l-惩罚项，以稳定解过程，提高解的稀疏性。l-惩罚术语也可以用卖空来解释，几个金融市场已经对卖空做出了限制。正则化参数的选择对于获得满足财务要求的最优投资组合起着关键作用。我们为Bregman迭代中的正则化参数提出了一个u更新规则，以控制稀疏性和空头头寸的数量。我们表明，修改后的方案保留了原始方案的性质。数值试验表明了该方法的有效性。关键词：投资组合选择。马科维茨模型。l-正则化。布雷格曼迭代。1简介在经典的马科维茨均值-方差框架[1]中，投资组合选择旨在构建一个投资组合，使投资者面临最低风险，从而获得最佳的预期回报。Markowitz在上述开创性论文中提出了这种方法，他指出投资组合选择策略应在预期收益和风险之间提供最佳权衡（均值-方差法）。在随后的一项研究中[2]，马尔科维茨强化了他的理论，认为在某些温和的条件下，来自均值-方差有效前沿的投资组合将近似地最大化投资者的预期效用。马科维茨模型依赖于有关未来的信息，因为预期回报率实际上应该通过贴现未来流量来计算，而未来流量显然不可用。一种常见的选择是使用历史数据预测资产回报的未来行为。

这种做法有一定的弊端；事实上，有限的*那不勒斯“帕特农神庙”大学阿齐恩达利和量化研究部，ViaGenerale Parisi，13岁，意大利那不勒斯I-80133，电子邮箱：Italy stefania。corsaro@uniparthenope.it+意大利坎帕尼亚大学路易吉·瓦维泰利分校Matematica e Fisica分校，Vialeincoln，5，I-81100 Caserta，电子邮件：valentina。desimone@unicampania.itamount相关的历史数据通常可用。此外，资产收益之间的相关性可能导致病态协方差矩阵。众所周知，预期值估计中的错误对解决方案的影响比方差估计中的错误更严重。出于这个原因，为了克服这个问题，一些作者专注于最小方差投资组合，而不考虑回报约束。我们回顾[3]及其参考文献。此外，还提出了不同的正则化技术；可在[4]中找到对它们的回顾。在这些方法中，考虑了最小方差法和平均方差法的优化技术。文[3]提出了最小方差准则的平方约束。在文献[5]中，提出了一种具有加权land平方形式惩罚的最优最小方差投资组合选择算法。在[6]中，作者用加权弹性净惩罚正则化均值方差目标函数。在本文中，我们考虑了在[7]中引入的lmean方差正则化模型，其中添加了l-惩罚项以促进解决方案中的稀疏性。由于解决方案确定了要投资于每个ava-ilablesecurity的资本量，稀疏性意味着资金投资于几个证券，即活跃头寸。

这使得投资者能够减少需要监控的头寸数量和交易成本，尤其是与小投资者相关的交易成本，而这在理论上的马科维茨模型中没有考虑到。另一个对监管化有用的解释与投资组合中的卖空量有关；从财务角度来看，消极的解决方案对应于短期销售。在许多市场中，包括意大利、德国和瑞士，过去几年已经建立了卖空限制，因此也需要进行短期控制。然后，正则化参数的选择至关重要，以提供稀疏解，其中负分量的数量有限或为零，从而保持数据的精确性。在本文中，我们提出了一种基于改进Bregmanitation的迭代算法。Bregman迭代是求解L正则优化问题的一种成熟方法。它已成功应用于不同领域，如图像分辨率[8]、矩阵秩最小化[9]、压缩感知[10]和财务[6]。我们对原始方案的修改为正则化模型中的正则化参数引入了自适应更新规则。该算法选择一个能够提供满足固定财务目标的解决方案的值，该值根据有限数量的活跃和/或短期头寸制定。我们表明，我们的改进方案保留了原始格式的特性，并且能够在不易计算的时间内选择一个很好的正则化参数值。数值试验证实了所提出算法的有效性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们简要回顾了Mar-Kowitz均值-方差模型。在第3节中，我们介绍了用于portfolioselection的Bregman迭代。

我们的主要结果见第4节，其中我们介绍了基于改进的Bregman迭代的l-正则化Markowitz模型。在第5节中，我们通过几个数值实验验证了我们的方法。最后，在第6节中，我们给出了一些结论并概述了未来的工作。2投资组合选择模型我们参考了经典的马科维茨均值-方差框架。给定n个交易资产，表m的核心是列出每种可用证券的投资资本额。我们假设有一个单位的资本可用，定义新的=（w，w，…，wn）t投资组合权重向量，即投资于第i种证券的Wii数量。假设资产回报率是固定的。如果我们用u=（u，u，…，un）t表示预期资产回报，那么预期投资组合回报就是它们的加权和：nXi=1wiui。（1）我们还用σij表示证券回报和j之间的协方差。投资组合风险通过其方差来衡量，由：V=nXi=1nXj=1σijwiwj给出。设ρ为固定的预期投资组合回报，C为回报的协方差矩阵。投资组合选择被表述为以下二次约束优化问题：minwwTCws。t、 wTu=ρwTn=1，（2），其中1是长度n的向量。根据（1），第一个约束确定预期回报。第二个是预算约束，它确定所有可用资本都已投入。非负面因素通常是为了避免空头头寸而增加的。我们在这里不考虑这一点，因为我们可以通过调整正则化参数来控制空头头寸，如下所述。让我们考虑一组m均匀空间d datest=（t，t，…，tm），在该组中估计资产收益，并构建矩阵R∈ Rm×Nthat在其第i列中包含观察到的资产i的历史回报。

可以看出，问题（2）可以用以下形式表示：minwmkρ1m- R wks.t.wTu=ρwTn=1。（3） 由于资产回报率通常是相关的，矩阵R可能有一些接近零的奇异值；因此，必须考虑将某种形式的先验知识添加到目标函数中的正则化技术。本文考虑以下l-正则化问题：minwkρ1m- R wk+τkwks。t、 wTu=ρwTn=1，（4），其中1/m项已并入正则化项。从（4）中的第二个cons traint可以看出，目标函数可以等效为：| |ρ1m- R w | |+2τXi：wi<0 | wi |+τ。该表指出，lpenalty相当于对空头头寸的惩罚。在调节参数值非常大的限制下，我们获得了仅具有正权重的aportfolio，如[11]中所观察到的。3投资组合选择的Bregman迭代投资组合选择可以表述为经过训练的非线性优化问题：minwE（w）s.t.Aw=b，（5），其中e（w）=kρ1- Rwk+τkwkis严格凸且非光滑，因为存在lpenalty项，A=uTn∈ R2×nand b=（ρ，1）T∈ R、 解决（5）的一种方法是将其转化为n个无约束问题，例如使用罚函数/延拓方法，该方法通过一个序列来近似它：minwE（w）+λkkAw- bk，λk∈ R+。（6） 众所周知，如果第k个子问题（6）具有解wk且{λk}是一个趋向于∞ 作为k-→ ∞, {wk}的任何极限点是（5）[12]的解。

因此，在许多问题中，有必要选择λ的较大值，这使得（6）的数值求解非常困难。或者，通过使用与E相关的布雷格曼距离[13]，布雷格曼迭代可用于在短序列的无约束问题中减少（5），反之，λkin（6）的值保持不变。与真凸泛函E（w）：Rn相关的Bregman距离[13]-→ 点v处的R定义为：DpE（w，v）=E（w）- E（v）- < p、 w- v>，（7）其中p∈ E（v）是点v和<.>表示Rn中的正则内积。它不是通常意义上的距离，因为它通常不是对称的，但它确实测量了w和v之间的距离，即如果u位于线段（w，v）上，那么线段（w，u）的布雷格曼距离比（w，v）小。在每一步，Regman迭代E（w）被Bregman距离所代替，因此根据以下迭代方案解决（6）中的子问题：wk+1=argminwDpkE（w，wk）+λkAw- bk，pk+1=pk- λAT（Awk+1- （b）∈ E（每周+1）。（8） pk+1的更新规则是根据wk+1的一阶最优性条件选择的，并确保Dpk+1E（w，wk+1）得到很好的定义。在适当的假设下，序列{wk}到约束方程m（5）的解的收敛在有限的步数下得到保证[8]；此外，利用Bregman迭代与aug-mented La grangian迭代的等价性[14]，在[15]中也证明了协收敛性。注意，收敛结果保证了kAwk的单调减少- 因此，对于大k，约束条件满足任意高精度。

根据差异原理，这将产生一个自然停止标准。由于（8）中涉及的次极小化问题的解没有明确的表达式，因此在每次迭代时，使用迭代解算器不精确地计算解。因此，在过去的几年中，人们对Bregman迭代中涉及的子问题的不精确解越来越感兴趣。最近的研究表明，对于许多应用程序，即使子问题的解不那么精确，Bregman迭代也会产生非常精确的解[8、10、16]。在[17]中，得到了分段线性凸函数的收敛结果。在[18]中，内解的不精确性由一个标准控制，该标准保持了Bregman迭代的收敛性及其在图像恢复中的特性。4修正的Bregman迭代（4）解决方案中的一个关键问题是为正则化参数τ选择合适的值，如前所述。目的是选择τ，以实现稀疏性与短期控制（需要足够大的值）和数据灵活性（需要较小的值）之间的权衡。虽然文献提供了大量的Tik honov正则化方法[19]，但正则化参数的选择通常基于依赖于问题的标准，并与迭代经验估计相关，这需要较高的计算成本。在[7]中，最小角度回归（LARS）算法利用最优权重对τ的依赖性是分段线性的这一事实，通过从非常大的值逐步减小τ的值来进行。在本节中，我们提出了一种数值算法，该算法基于带τ自适应更新规则的改进Bregman迭代。

我们定义τ规则的基本思想来自于lnorm的众所周知的性质和下面的命题【7】：命题1让wτ和wτ分别是τ和τ的l正则化问题（4）的解。如果（wτ）中的一些是负的，而wτ中的所有条目都是正的或零，那么我们就得到了τ>τ。然后，我们提出了一个τ的更新规则，该规则生成一个递增的值序列。我们的目标是修改Bregman迭代，以产生满足固定财务目标的解决方案，根据稀疏性或短期控制或两者的组合来定义。LetEk（w）=韩元- ρk+τkkwk，k=0，1。现在，我们证明了本文的主要结果：（8）给出的定理1（wk+1，pk+1）应用于Ek，它保持▄pk+1=τk+1τkpk+1+21.-τk+1τkRT（Rwk+1- ρ) ∈ Ek+1（每周+1）。（9） 证明。保持pk+1∈ 埃克（周+1）=（τkkwk+1k）+克鲁克+1- ρk, thusa向量qk+1∈ （τkkwk+1k）的存在使得pk+1=qk+1+2RT（Rwk+1- ρ).因此，qk+1=pk+1- 2RT（Rwk+1- ρ) ∈ （τkkwk+1k）。很容易验证：τk+1τkqk+1∈ （τk+1kwk+1k）。然后τk+1τkqk+1+2RT（Rwk+1- ρ) ∈ Ek+1（wk+1），完成证明。我们提出以下修改后的Bregman迭代：pk=τkτk-1pk+21.-τkτk-1.RT（Rwk- ρ） ，wk+1=argminwDpkEk（w，wk）+λkAw- bk，pk+1=pk- λAT（Awk+1- b） ，τk+1=h（τk）（10），其中h：R+-→ R+是一个递增的有界函数。注意，定理m 1中的关系式（9）保证了迭代方案（10）得到了很好的定义，从而保持了原始方案的性质。在本文中，我们为函数h选择了一种乘法形式。我们设置τk+1=ηk+1τk，其中ηk+1根据财务目标取决于wk+1，如算法1所示。请注意，我们无法确保存在满足财务目标的τ的有限值，因此我们将通过设置最大值τmax来限制h。

如果在某一步达到了最终目标，则所有后续迭代的ηk=1。相反，τ设置为τmax。在任何情况下，都存在一个迭代“k”，使得τkremain固定在k的值“τ”处≥(R)k.Algorithm 1为投资组合选择修改了Bregman迭代，给定τ>0，τmax，λ，θ>1%模型参数给定nshort，nact%财务目标参数sk：=0w：=0，p：=0，τ-1： =τ，而“停止规则不适用”dopk=τkτk-1件+1.-τkτk-1.RT（Rwk- ρ） wk+1=argminwDpkEk（w，wk）+λkAw- bkpk+1=峰值- λAT（Awk+1- b） W-k+1={i：（wk+1）i<0}如果| W，k+1={i：（wk+1）i6=0}-k+1 |>nshortor | Wak+1 |>Natthenηk+1=θelseηk+1=1如果τk+1=min{ηk+1τk，τmax}k：=k+1，而orem 2让τ是算法1在步骤k产生的正则化参数值。假设在某个步骤k≥k迭代wksatiesawk=b。然后wk是约束问题的解决方案minwe k（w）s.t.Aw=b.（11）证明。我们注意到τk=’τ k≥k，因此目标函数为固定叉≥因此，证明遵循了[14]中定理2.2的证明。这个结果表明，如果算法1提供的序列在limk意义下收敛-→∞||Awk公司- b | |=0，则迭代wk将得到一个rbitrarillyclose，以解决τ=τ的原始约束问题。5实验结果在本节中，我们讨论了一些计算问题，并展示了算法1在解决正则化投资组合优化问题（4）方面的效果。在算法1中，我们设置λ=1，τ=2-5，τmax=1，θ=2。迭代停止为s oon as kAwk- 黑色≤ T ol=10时的T ol-4从财务角度来看，这可以保证约束具有足够的精度。在算法1中，使用回溯步长规则（FISTA）实现快速近似梯度法，以解决每次修改Bregmanization时的无约束子问题。