最优投资消费与寿险选择

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英文标题：
《On the optimal investment-consumption and life insurance selection
  problem with an external stochastic factor》
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作者：
Rodwell Kufakunesu and Calisto Guambe
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we study a stochastic optimal control problem with stochastic volatility. We prove the sufficient and necessary maximum principle for the proposed problem. Then we apply the results to solve an investment, consumption and life insurance problem with stochastic volatility, that is, we consider a wage earner investing in one risk-free asset and one risky asset described by a jump-diffusion process and has to decide concerning consumption and life insurance purchase. We assume that the life insurance for the wage earner is bought from a market composed of $M>1$ life insurance companies offering pairwise distinct life insurance contracts. The goal is to maximize the expected utilities derived from the consumption, the legacy in the case of a premature death and the investor\'s terminal wealth.
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中文摘要：
本文研究了一类具有随机波动率的随机最优控制问题。我们证明了该问题的充要极大值原理。然后，我们应用这些结果来解决一个具有随机波动性的投资、消费和人寿保险问题，即，我们考虑一个工薪阶层投资于一个跳跃扩散过程描述的无风险资产和一个风险资产，并且必须决定消费和人寿保险的购买。我们假设工薪阶层的人寿保险是从一个由提供两两不同人寿保险合同的百万美元以上的人寿保险公司组成的市场购买的。目标是最大限度地利用消费带来的预期效用、过早死亡的遗产和投资者的最终财富。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：Optimization Quantitative consumption Programming Measurement

关于具有外部随机因素的最优投资消费和人寿保险选择问题，Listo GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUAbstract。本文研究了一类具有s-tochasticvolatility的随机最优控制问题。我们证明了该问题的充分必要极大值原理。然后，我们应用这些结果来解决一个随机波动的投资、消费和人寿保险问题，也就是说，我们考虑一个工薪阶层投资于一种无风险资产和一种由跳差过程描述的风险资产，并且必须决定消费和人寿保险的购买。我们假设工薪阶层的人寿保险是从一个由多家人寿保险公司组成的市场购买的，这些公司提供成对的不同人寿保险合同。目标是最大限度地扩大消费带来的预期效用、过早死亡的遗产以及投资者的最终财富。导言近几年来，想要投资并保护其家属免受可能的过早死亡之害的工薪阶层的问题引起了人们的广泛关注。自Richard发表关于投资组合优化和人寿保险购买的研究论文【17】以来，文献中已经报道了许多这方面的工作。例如，Pliskaand Ye[15]研究了一个由无风险资产描述的问题的最优消费和人寿保险合同。Dua rte等人[6]考虑了一个问题，即一个工薪阶层在金融市场上投资并购买人寿保险，持有n Diffusion r isky股票。类似作品包括（Guambe和Kufakunesu【8】、Huang等人【9】、Liang和Guo【10】、Shenand Wei【18】等）。在上述所有论文中，都考虑了单一人寿保险合同。最近，Mosa等人[12]，扩展了Duarte等人。

[6] 考虑一个从M>1家人寿保险公司购买人寿保险合同的工薪阶层。每家保险公司都提供成对的不同合同。这使得工薪阶层可以比较公司的保费保险比率，并每次从最低保费支付比率中的一个购买人寿保险金额。他们采用动态规划方法，在由一个无风险资产和n个由分散过程驱动的风险股组成的金融市场中，解决了最优投资、消费和人寿保险合同。在本文中，我们将他们的工作扩展到具有随机波动性的跳跃扩散设置。日期：2018年8月15日。关键词和短语。最优投资消费保险、跳跃差异、BSDE、最大化原理、随机波动率。2 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUThis扩展的动力来自以下原因：首先，Cont[4]，Tankov[19]和其中的参考文献所进行的实证研究中存在的高频数据表明，价格演变分析揭示了一些无法用扩散过程驱动的模型解释的突然变化。另一个原因与风险股分布过程中存在波动性集群有关，即价格的大变动往往伴随着大变动，小变动往往伴随着小变动。为了能够全面捕捉这些和其他方面，我们考虑了一个跳跃-扩散模型，该模型具有与Mnif中类似的随机波动性【11】。Mnif[11]利用动态规划方法证明了指数效用函数的半线性积分Hamilton Jacobi Bellman（HJB）的光滑解的存在性。Zeghal和Mnif【20】在电力公司案例中考虑了相同的问题。

在某些特定假设下，他们还导出了与半线性HJB相关的反向随机微分方程（BSDE）。动态规划方法的缺点是它要求系统是马尔可夫的。为了克服这一局限性，提出了一种极大值原理来解决这一随机波动率跳跃扩散问题。这种方法允许在更一般的环境中解决此问题。在一般的随机波动率问题中，我们证明了一个充分必要的极大值原理。然后，我们将此框架应用于解决前面描述的工薪阶层投资、消费和人寿保险问题。在文献中，最大原理法已被广泛报道，例如，见Framstad et.al.【7】、Oksendal and Sulem【16】、An andOksendal【1】、Pamen【13】、Pamen and Momeya【14】等。本文的主要贡献是在投资、消费和人寿保险合同问题中使用了因子模型，并在建模框架中加入了跳跃。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了我们的控制问题，并说明了一个具有随机波动率的随机控制问题的有效性和必要的最大值原理，附录中给出了证明。在第3节中，我们应用定理2.1的结果给出了投资、消费和人寿保险问题最优策略的特征。最后，我们以Ornstein-Uhlenbeck型线性纯跳跃随机波动率模型为例，推导出一个显式的最优投资组合。2、具有随机波动性T<∞ 是一个有限的时间范围投资期，可以视为投资者的退休时间。

考虑两个独立的布朗运动{W（t）；W（t），0≤t型≤ 与完全过滤概率空间相关的T}(OhmW、 FW，{FWt}，PW）。此外，我们考虑了与Wand W无关的泊松过程N，该过程与完整的过滤概率空间相关(OhmN、 FN，{FNt}，PN），强度测量为t×dν（z），其中ν是R{0}上的σ-有限Borel测度。PN鞅补偿泊松随机测度由以下公式给出：~N（dt，dz）：=N（dt，dz）- ν（dz）dt。最佳投资组合、消费和保险3我们定义了产品空间：(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P）：=(OhmW OhmN、 FW公司 FN，{FW FN}，PW PN）其中{Ft}t∈[0，T]是一种满足通常条件的过滤。假设状态过程的动力学由以下随机微分方程（SDE）dX（t）=b（t，X（t），Y（t），π（t））dt+σ（t，X（t），Y（t），π（t））dW（t）（2.1）+β（t，X（t），Y（t），π（t））dW（t）+ZRγ（t，X（t），Y（t），π（t），z）~N（dt，dz）；X（0）=X∈ R，其中外部经济因素Y由（2.2）dY（t）=Д（Y（t））dt+φ（Y（t））dW（t）确定。我们假设函数b，σ，β：[0，T]×R×R×A→ Rγ：[0，T]×R×R×A×R→RД，φ：R→ R给出了可预测的过程，因此（2.1）和（2.2）得到了很好的定义，（2.1）对每个π都有唯一的解决方案∈ A、 这里，A是R中给定的闭集。设f:[0，T]×R×R×A→ R是连续函数，g:R×R→ R一个凹函数。我们通过（2.3）J（π）=EhZTf（t，X（t），Y（t），π（t））dt+g（X（t），Y（t））i来定义性能标准∈ 如果（2.1）有唯一的强解且hzt | f（t，X（t），Y（t），π（t））| dt+| g（X（t），Y（t））| i<∞ .主要问题是找到π*∈ A这样的j（π*) = supπ∈AJ（π）。控制π*如果存在，则称为最优控制。为了解决这种具有随机波动率的随机最优控制问题，我们使用了所谓的最大值原理方法。

这种方法的美妙之处在于，它在更一般的情况下解决了随机控制问题，即对于马尔可夫和非马尔可夫情况。对于马尔可夫案例，Mnif使用动态编程方法解决了这个问题【11】。我们的方法可以看作是Framstad等人[7]中最大值方法对随机波动率情况的扩展。我们定义了哈密顿量H:[0，T]×R×R×A×R×R×R×R×R×R×R→ R by：H（t，X（t），Y（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t），D（t，·））（2.4）=f（t，X（t），Y（t），π（t））+B（t，X（t），Y（t），π（t））A（t）+Д（Y（t））A（t）+σ（t，X（t），Y（t），π（t），π（t）B（t）+β（t，X（t），Y（t），π（t））B（t 4 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU+ZRγ（t，X（t），Y（t），π（t），z）D（t，z）ν（D z），前提是（2.4）中的积分收敛。从现在开始，我们假设哈密顿量是连续可微的w.r.t.x和y。然后，对应于容许策略π的伴随方程∈ 由以下反向随机微分方程（BSDE）dA（t）=-Hx（t，x（t），Y（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t），D（t，·））dt+B（t）dW（t）+B（t）dW（t）+ZRD（t，z）~N（dt，dz），（2.5）A（t）=gx（x（T），Y（T））（2.6）和da（T）=-Hy（t，X（t），y（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t），D（t，·））dt+B（t）dW（t）+B（t）dW（t）+ZRD（t，z）~N（dt，dz），（2.7）A（t）=gy（X（T），y（T））。（2.8）与我们的问题相关的验证定理如下：定理2.1。（有效极大值原理）Letπ*∈ A与相应的富裕过程X*. 假设这些对（A*（t） ，B*（t） ，B*（t） ，D*（t，z）和（A）*（t） ，B*（t） ，B*（t） ，D*（t，z））分别是伴随方程（2.5）和（2.7）的解。

此外，假设以下不等式成立：（i）函数（x，y）→ g（x，y）是凹的；（ii）函数H（t）=supπ∈AH（t，X（t），Y（t），π，A*（t） ，A*（t） ，B*（t） ，B*（t） ，D*（t，z））是凹的，H*（t，X，Y，π*, A.*, A.*, B*, B*, D*) = sup（π，c，p）∈AH（t，X，Y，π，A*, A.*, B*, B*, D*) .此外，我们假设如下：EhZT（X*（t） （）（B）*（t） ）+（B*（t） ）+锆（D）*（t，z））ν（dz）dti<∞ ;EhZT（Y（t））（B）*（t） ）+（B*（t） ）+锆（D）*（t，z））ν（dz）dti<∞ ;EhZTn（A*（t） （）（σ（t，X（t），Y（t），π*（t） ））+（β（t，X（t），Y（t），π*（t） ））+锆（γ（t，X（t），Y（t），π*（t） ，z））ν（dz）+（A）*（t） ）（φ（Y（t）））idti<∞ .最优投资组合、消费和保险5然后，π*∈ A是一个最优策略，对应于最优状态过程X*.证据见附录。请注意，定理2.1中提出的效率最大原理是基于哈密顿量的共模性，然而，这种条件在许多具体情况下并不成立。下面，我们放松这个条件，并说明控制问题所需的最大值原理。因此，我们进一步考虑以下假设对于所有s∈ [0，T]和所有有界Fs可测随机变量α（ω），控制ξ（T）：=1[s，T]（T）α（ω）属于容许策略A.o对于所有π，ζ∈ A、 当ζ有界时，存在>0，使得控制π（t）+lζ（t）∈ A、 对于所有人l ∈ (-; ).o 我们定义了衍生过程x（t）：=ddlXπ+lζ（t）l=0和y（t）：=ddlYπ+lζ（t）l=那么，对于所有π，ζ∈ A、 在ζ有界的情况下，上述导数存在并属于toL（[0，T]×Ohm), 和（2.1）和（2.2），dx（t）=x（t）hbx（t）dt+σx（t）dW（t）+βx（t）dW（t）+ZRγx（t，z）~N（dt，dz）i+y（t）hby（t）dt+σy（t）dW（t）+βy（t）dW（t）+ZRγy（t，z）~N（dt，dz）i+ζ（t）hbπ（t）dt+σπ（t）dW（t）+βπ（t）dW（t）+ZRγπ（t，z）~N（dt，dz）i，其中我们使用了表示法bx（t）=bx（t，x（t），Y（t），π（t）），σx（t）=σx（t，x（t），Y（t），π（t））等。

此外，dy（t）=y（t）[Д′（y（t））d t+φ′（y（t））d W（t）]。定理2.2。（必要极大值原理）设π∈ A分别具有（2.1）、（2.5）和（2.7）的相应解x（t）、（A（t）、B（t）、B（t）、D（t，·））、（A（t）、B（t）、B（t）、D（t.·）），以及上述导数过程x（t）和y（t）。此外，假设以下可积条件：EnZTA（t）hx（t）σx（t）+βx（t）+锆γx（t，z）ν（dz）y（t）σy（t）+βy（t）+锆γy（t，z）ν（dz）ζ（t）σπ（t）+βπ（t）+锆γπ（t，z）ν（dz）idt+ZTA（t）y（t）（φ′（y（t）））dto6 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU<∞andEnZTx（t）hB（t）+B（t）+ZRD（t，z）ν（d z）idtZTy（t）hB（t）+B（t）+ZRD（t，z）ν（d z）idto<∞ .则以下为等效（1）ddlJ（π+lζ)l=对于所有有界ζ，0=0∈ A.（2） dHdπ（t，X*（t） ，Y（t），π*（t） ，A*（t） ，A*（t） ，B*（t） ，B*（t） ，D*（t，z））=0，对于所有t∈ [0，T]。证据见附录。3、最优投资消费和人寿保险选择问题的应用我们考虑由一项无风险资产（B（t））0组成的金融市场≤t型≤Tand一个风险集（S（t））0≤t型≤T、 它们各自的价格由以下SDE给出：dB（T）=r（T）B（T）d T，B（0）=1，（3.1）dS（T）=S（T）hα（T，Y（T））dt+β（T，Y（T））dW（T）+σ（T，Y（T））dW（T（3.2）+ZRγ（T，Y（T），z）eN（dt，dz）i，S（0）=S>0，其中Y是由（3.3）dY（T）=g（Y（T））dt+dW（T）控制的连续时间经济外部因素。在这里，模型中的相关参数满足以下假设：（A1）利率r（t）是正的、确定性的且可积的∈ [0，T]。平均回报率α、挥发率β、σ和分散率γ>-1，areR值函数被假定为连续可微函数(∈ C） 并有界。注意，通过Y的连续性，在[0，T]上很好地定义了（3.3）中的过程S。

我们还假设以下可积条件：EZT（β（t，y）+σ（t，y）+ZR \\{0}|γ（t，y，z）|ν（dz））dt< ∞ .假设g∈ 一阶导数有界的C（R），即| g′（y）|≤ 在R值函数g上满足aLipschitz条件：（A2）存在一个正常数C，使得：| g（y）- g（w）|≤ C | y- w |，y，w∈ R最优投资组合、消费和保险7考虑一个工薪阶层，其寿命是概率空间上定义的非负随机变量τ(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P）。随机寿命τ与概率密度函数F（t）的分布函数F（t）由F（t）：=P（τ<t）=Ztf（s）ds给出。因此，寿命τ>t的概率由以下公式得出：(R)F（t）：=P（τ≥ t | Ft）=1- F（t）。我们引入了工薪阶层在t时生存的死亡率的瞬时fλ（t）。通过定义，λ（t）由λ（t）：=lim给出t型→0P（t≤ τ<t+t |τ≥ t）t=直线电机t型→0P（t≤ τ<t+t）tP（τ≥ t） =(R)F（t）limt型→0F（t+t）- F（t）t=f（t）(R)f（t）=-滴滴涕（ln（(R)F（t）））。然后，工薪阶层的条件生存概率由以下公式得出：（3.4）’F（t）=P（τ>t | Ft）=exp-Ztλ（s）ds,工薪阶层死亡的条件生存概率密度为：（3.5）f（t）：=λ（t）exp-Ztλ（s）ds.正如穆萨等人[12]所述，我们假设存在一个由100万家保险公司组成的保险市场，每家保险公司都持续提供人寿保险合同。我们假设工薪阶层正在为每家公司支付保费保险费率pn（t），时间t n=1，2，M、 如果工薪阶层死亡，保险公司将向其福利支付pn（τ）/ηn（τ）。这里，ηn>0是第n个确定性保险公司保费支付比率。此外，我们假设考虑中的M家保险公司提供成对的不同合同，即ηn（t）6=ηn（t），对于每个n6=n，a.e。

当他/她去世时，总遗产为：（3.6）Jn（τ）：=X（τ）+MXn=1pn（τ）ηn（τ），其中X（τ）是工薪阶层在τ时的财富过程∈ [0，T]。设c（t）表示工薪阶层的消费率，π（t）表示工薪阶层财富在时间t投资于风险份额的部分，满足以下积分条件。8 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU（3.7）ZT[c（t）+π（t）]dt<∞, 一s、 此外，我们假设股票是可分割的、连续交易的，交易中不存在交易成本、税收或卖空限制。然后财富过程X（t）由以下（SDE）定义：dX（t）=“X（t）（r（t）+π（t）u（t，Y（t）））- c（t）-MXn=1pn（t）#dt（3.8）+π（t）β（t，Y（t））X（t）dW（t）+π（t）X（t）σ（t，Y（t））dW（t）+π（t）X（t）ZRγ（t，Y（t），z）eN（dt，dz），t∈ (0, τ ∧ T]，X（0）=X>0，其中u（T，Y（T））：=α（T，Y（T））- r（t）是升值率，τ∧ T：=最小{τ，T}。我们假设u（t，Y（t））>0，即风险份额的预期收益高于利息率e。设ρ（t）>0为确定性过程，表示贴现率过程。我们定义了实用函数Ui：[0，T]×R+→ R+，i=1，2，3作为关于第二个变量的凹函数、非递减函数、连续函数和可微分函数，以及严格递减的连续反函数Ii:[0，t]×R+→ R+，i=1，2，3，乘以（3.9）Ii（t，x）=Ui（t，x）x个-1，i=1，2，3。设p（t）：=（p（t），pM（t））是保险公司支付的保险费率的向量。工薪阶层面临着选择最优策略的问题：A：{（π，c，p）：=（π（t），c（t），p（t））t∈[0，T]}最大化其一生中消费的贴现预期效用[0，τ∧ 如果他/她活到时间T结束，则从财富中获得；如果他/她在时间T结束之前去世，则从遗产中获得。