最优投资消费与有资本寿险

定义严格递减的连续反函数Ik:[0，T]×R+→ R+，k=1，2，3，乘以（3.1）Ik（t，x）=英国（t，x）x个-1，k=1，2，3。与效用函数Uk相对应的mUk Legendre-Frechel变换定义如下：（见Karatzas等人【14】）（3.2）eUk（t，x）：=maxy>0【Uk（t，y）】- yx]=英国（t，Ik（t，x））- xIk（t，x），t∈ [0，T]，0<x<∞ .设ρ（t）为表示投保人时间偏好的确定性函数。政策持有人选择他的策略（c（t）、π（t）、p（t）），以优化消费、死后遗产和养老金的预期效用。因此，他的策略如下：J（x，c*, π*, p*) := sup（π，c，p）∈A′EhZτ∧Te公司-Rsρ（u）duU（s，c（s））ds+e-Rτρ（u）duU（τ，p（τ））1{τ≤T}+e-RTρ（u）duU（X（T））1{τ>T}i.（3.3）这里，1a是集合a的指示函数。a′是a′：=n（c，π，p）给出的a容许策略（可行策略）的子集∈ A | EhZτ∧Te公司-Rsρ（u）dumin（0，u（s，c（s）））ds8 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU+e-Rτρ（u）dumin（0，u（τ，p（τ）））1{τ≤T}+e-RTρ（u）dumin（0，u（X（T）））1{τ>T}i>-∞o、 （3.4）可行策略（3.4）意味着允许从策略（π，c，p）中得出一个有限的效用∈ A′，但前提是对效用函数的负面部分的期望是有限的。很明显，对于正效用函数，集合a和a′是相等的（参见Kronborg和Steffeensen【15】）。为了解决无限制控制问题（3.3），可以使用Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程（如Mnif【20】）或HJB方程与带跳跃的后向随机微分方程（BSDE）的组合（Guambe和Kufakunesu【7】）。在本文中，我们使用了（Karatzas等人[12]、Castaneda Leyva和Hern'andez Hern'andez[1]、Kronbo rgand Steffeensen[15]）中应用的鞅方法。

这是由于下一节中的受限问题，其中的项是从无约束问题中的鞅方法推导出来的。使用（2.5）和（2.6），我们可以将投保人的优化问题（3.3）重写为：J（x，c*, π*, p*) = sup（c，π，p）∈A’EhZTe公司-Rsρ（u）du[(R)F（s）u（s，c（s））+F（s）u（s，p（s））]ds+e-RTρ（u）du'F（T）u（X（T））i。因此，J（X，c*, π*, p*) = sup（c，π，p）∈A’EhZTe公司-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c（s））+u（s）u（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X（T））i.（3.5）我们现在使用对偶方法解决主要问题。这种方法允许我们通过搜索一系列鞅测度、inf-sup鞅测度ψ以及辅助市场中的对冲组合过程，构建与原始市场相关的辅助市场Mψ，满足原始市场Mψ中的投资组合约束，并几乎肯定地精确复制或有权益。这一方法在许多论文中都有不同的应用，例如，见He和Pearson【9】、Karatzas和Shreve【14】、第5.8节、Castaneda Leyva和Hernandez Hernandez【1】、Liang和Guo【17】。否则，可以通过添加人为风险集来完成市场，以获得一个完整的市场，然后应用鞅方法来求解最优投资组合问题。关于市场完成情况，我们参考Karatzas等人【12】，Runggaldier【24】，第4节。，Corcuera等人。

[2].因此，我们定义了与原始问题（3.5）相关的双泛函ψ（ζ，ψ），其中ζ是拉格朗日乘数，通过：最优投资组合、消费和保险9ψ（^ζ，ψ）：=supζ>0；ψ> 0nEhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c（s））+u（s）u（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X（T））i+ζ（X+g（0））-ζ等式，ψ中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））du[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duX（T）o、 对偶问题t hat t对应于pr ima l问题（3.5），由（3.6）minζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）组成。请注意（有关更多详细信息，请参见Cuoco【3】或Karatzas et al【14】）等式，ψ中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））du[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duX（T）= E中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））duΓψ（t）[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duΓψ（T）X（T）,其中，我们将调整后的州价格定义为：ψ（t）：=∧（t）eRt（ρ（s）-r（s））ds=expnZt[ρ（s）- r（s）-θ（s，Z（s），ψ（s））-ν（s，Z（s），ψ（s））+（1- ψ（s））λ（s）]ds（3.7）+Ztν（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztθ（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztln（ψ（s））dN（s）o。该表达式可以用SD E形式写成：dΓψ（t）=Γψ（t）h（ρ（t）- r（t））dt+ν（t，Z（s），ψ（t））dW（t）（3.8）+θ（t，r（t），ψ（t））dW（t）+（ψ（t）- 1） 然后，根据勒让德变换（3.2）的定义，（3.6）中的双函数lψ可以写成ψ（ζ，ψ）：=EhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[eU（s，c（s））+u（s）eU（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））dueU（X（T））i+ζ（X+g（0））。（3.9）以下定理表明，在适当的条件下，主问题（3.5）和对偶问题（3.6）之间的关系。10 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUTheorem 3.1。假设^ψ>0且^ζ>0。策略（c*（t） ，p*（t） （）∈ A′和X*（T）>0由C定义*（t） =I（t，ζψ（t））；p*（t） =I（t，ζψ（t））；十、*（T）=I（^ζΓ^ψ（T）），使（2.20）充满，其中X*（T）∈ FTis measurab l e是原始问题（3.5）的最优解，而（ψ，ζ）是对偶问题（3.6）的最优解。证据

通过效用函数Uk的凹度，k=1，2，3，（见Karatzas et al[14]），我们知道Uk（t，x）≤ U（t，Ik（t，x））- y（Ik（t，y）- x） 。然后可以很容易地显示（3.10）J（t，c（t），p（t），X（t））≤ infζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）。因此，为了完成证明，我们需要证明infζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）≥ J（t，c（t），p（t），X（t））。从（3.9）中，我们知道infζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）=infζ>0，ψ>0nEhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[eU（s，c（s））+u（s）eU（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））dueU（X（T））i+ζ（X+g（0））o≤ EhZTe公司-Rs（ρ（u）+u（u））du[eU（s，c（s））+u（s）eU（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））dueU（X（T））i+^ζ（X+g（0））=EhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c*（s） ）+u（s）U（s，p*（s） ）]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X*（T）i-^ζnEhZTe-Rt（r（u）+u（u））duΓ^ψ（t）[c*（t） +u（t）p*（t） ]dt+e-RT（r（u）+u（u））duΓ^ψ（T）X*（T）io+^ζ（x+g（0））=EhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c*（s） ）+u（s）U（s，p*（s） ）]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X*（T）i≤ sup（c，p，π）∈阿内中兴通讯-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c（s））+u（s）u（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X（T））io最优投资组合，消费和保险11=J（T，c（T），p（T），X（T））。然后，使用（3.10），我们得出证明，即（c*（t） ，p*（t） ，X*（T）是原始问题（3.5）的最优解，（ψ，ζ）是对偶问题（3.6）的最优解。评论请注意，最优（^ψ，^ζ）不一定是唯一的，因此对于初始财富的不同选择，可能会得到不同的^ψ和^ζ。3.1. power utility案例的结果。在本节中，我们打算推导由以下公式给出的常数相对风险函数类型的效用函数的显式解：（3.11）U（t，x）=U（t，x）=U（t，x）=e-κtδxδ，如果x>0，limx→0e-κtδxδ，如果x=0，-∞, 如果x<0，对于某些δ∈ (-∞, 1） \\{0}和t∈ [0，T]。