时间序列临界转移的拓扑识别

这些资产的统计特性表明，对数收益率分布与正态分布有很大的偏差，一阶矩和二阶矩在时间上有很大的可变性，即明显的非平稳结果。这些行为为研究“动荡”行为提供了一个有趣的现实世界数据集，也为应用TDA检测金融市场的关键转变提供了一个极好的测试案例。我们分析了2016年初至2018年初期间的4种加密货币——比特币、以太坊、莱特币和Ripple。2017年12月至2018年1月期间，每种加密货币都经历了一次或两次“崩溃”。我们将TDA应用于4种加密货币的价格日志（美元）的时间序列，并调查TDA方法是否能够识别这些崩溃之前相关时间序列的变化。因此，对于考虑中的4种加密货币中的每一种，我们确定了崩溃前价值的一个或两个最重要的峰值，并将时间序列从最后一个峰值的顶部向右削减。4个时间序列的截止日期略有不同。此外，虽然比特币和以太坊在崩盘前出现了两个显著的峰值，但Litecoin和Ripple只出现了一个峰值。准确地说：资产开始日期1st peak 2nd peakBitcoin 2016-01-01 2017-12-17 2018-01-07以太坊2016-01-01 2018-01 2018-01-13 2018-01-28Litecoin 2016-01-01 2017-12-18Ripple 2016-01-01 2018-01-03 TDA分析的输入是每个问题集日志返回的时间序列。我们按照第2.2节执行时间序列的延时坐标嵌入，维度设置为d“4”，并应用大小为w”50的滑动窗口。TDA的输出是持久性景观的L-范数。我们应用TDA并计算持久性景观的L-范数。

我们在图7、图8、图9和图10中显示了这4种资产的价格、资产回报率、持久性景观的L-范数以及L-范数的第一个差异。检查这些曲线图，我们注意到L-范数往往在碰撞附近达到峰值；L-标准的第一个差异也有所增加。2016年1月1日至2016年3月1日至2016年5月1日至2016年7月1日至2016年11月1日至2017年3月1日至2016年11月1日至2017年1月1日至2017年3月1日至2017年5月1日至2017年7月1日至2017年9月1日至2017年11月1日至2018年1月1日期间还有其他地区（bcoin.xts[，1]）-01-01 / 2018-01-076.06.57.07.58.08.59.09.56.06.57.07.58.08.59.09.5x\\U轻轨-0.05749-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3AUC\\U土地。c、 xts 0.000520e+001e-042e-043e-044e-045e-046e-047e-04adL1.xts 0.00025-2e类-04-1e级-04 0e+00 1e-04 2e-04 3e-04图7。比特币2016-01-01–2018-01-07：记录资产价值、资产回报率、L-标准和L-标准的差异。资产表现出大幅波动的时间序列，这似乎与L-规范中的峰值相匹配；L-范数中的一些峰值甚至比大崩盘之前的峰值还要大。这清楚地表明，我们不能依靠L-Normalone识别即将发生的重大车祸。为了量化每项资产的价格/回报与崩溃前的资产负债率之间的关系，我们使用无监督机器学习技术，利用非参数、基于几何的k均值聚类，简要描述见第2.4节。主要的好处是，与大多数统计测试相比，这种方法不需要事先满足统计分类。作为输入数据，我们使用资产价格的x“log”（美元）、资产的y“log return”和持久性环境的z“L-范数。

因此，我们的数据集由点px、y、zq、P、R组成。这些时间序列中的每一个都被标准化为r0、1s范围。我们根据经验选择了数量相对较多的聚类（k“18），该聚类大于从基本方法获得的最佳值：“肘部”、“轮廓”和“间隙统计”。选择较大聚类的原因是为了获得更好的数据分割。较小的k值会产生过大的时间周期（例如，大于窗口大小w“50），而largerk的收益期太小（例如，几天）。首先进行主成分分析（PCA），然后投影到主轴上，可以直观地描述聚类。因此，对于每个数据集，我们有3个可能的预测。在图4中，我们仅显示了一个预测，该预测有助于我们更好地识别少数重要集群，这些集群是关键转型的最独立的拓扑识别172016 2017 2018年1月1日2016年3月1日2016年5月1日2016年7月1日2016年9月1日2016年11月1日2016年1月1日2017年3月1日2017年5月1日2017年7月1日2017年9月1日2017年11月1日2017年1月1日2018年1月1日日志（eth.xts[，1]）-01-01 / 2018-01-28x\\U lrt 0.05171-0.4-0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3-0.4-0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3AUC\\U土地。c、 xts 0.000760.00000.00050.00100.00150.0020ADIFL1。xts 6e-05-8e-04-6e-04-4e-04-2e类-04 0e+00 2e-04 4e-04 6e-04图8。

以太坊2016-01-01–2018-01-28：资产价值日志、资产回报日志、L-标准和L-标准的差异。2016 2017 2018年1月1日2016年3月1日2016年5月1日2016年7月1日2016年9月1日2016年11月1日2016年1月1日2017年3月1日2017年5月1日2017年7月1日2017年9月1日2017年11月1日2017年7月1日2017年9月1日2017年11月1日2017年11月1日2017年7月1日2017年9月1日-01-01 / 2018-01-061.52.02.53.03.54.04.55.05.51.52.02.53.03.54.04.55.05.5x\\U lrt 0.03562-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 UC_土地。c、 xts 0.000170.00000.00020.00040.00060.00080.00100.0012ADFFL1。xts公司-1e级-05-4e-04-3e-04-2e类-04-1e级-04 0e+00 1e-04 2e-04 3e-04图9。Litecoin 2016-01-01–2018-01-06：资产价值日志、资产回报日志、L-范数和L-范数的差异。从其他人那里。我们强调PCA在k均值聚类中不起作用，asit只用于图形绘制。18 M.GIDEA、D.GOLDSMITH、Y.KATZ、P.ROLDAN和Y.SHMALO2016 2017 2018年1月1日2016年3月1日2016年5月1日2016年7月1日2016年9月1日2016年11月1日2016年1月1日2017年3月1日2017年5月1日2017年7月1日2017年9月1日2017年11月1日2017年11月1日2018年11月1日-01-01 / 2018-01-07-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0x\\u lrt 0.02291-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5AUC\\u土地。c、 xts 0.000170.00000.00050.00100.00150.00200.00250.0030ADIFL1。xts公司-0.00012-0.0015-0.0010-0.0005 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015图10。Ripple 2016-01-01–2018-01-07：资产价值日志、资产回报日志、L-范数和L-范数的差异。表6.2、表6.4、表6.4、表6.5给出了这些集群的相应信息。

（请注意，与每个群集关联的编号只是自动分配的一个标识符。）我们在这里注意到，这些聚类是相对的yrobast，因为对稍低或稍大的k值运行k-means聚类算法会使这些聚类保持不变。现在，我们分析了这4种资产的集群：对于比特币，在表6.2中，我们区分了两个重要集群。第2组的冲突持续时间为2017年12月8日至2018年1月6日。在此期间，L-norms在2017年12月8日至2017年12月15日期间呈上升趋势，这刚好在2017年12月17日比特币的第一个峰值之前，而在2017年12月18日至2018年1月3日期间呈第二个上升趋势，这正好在2018年1月7日比特币的第二个峰值之前。第1组由2017年12月21日至2018年1月7日之间的不连续期组成。在此期间，L-范数呈现出过度增长的趋势，达到比特币的第二个峰值。总的来说，这两个集群的组合信息正确地确定了比特币崩溃之前的关键时期，在这一时期内，L-范数显示出不断增加的趋势，在第一个峰值和第二个峰值之前达到最大值。对于以太坊，在表6.4中，我们还区分了两个重要的集群。克鲁斯特诺。3包括2018年1月3日至2018年1月21日之间的不连续期。