时间序列临界转移的拓扑识别

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英文标题：
《Topological recognition of critical transitions in time series of
  cryptocurrencies》
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作者：
Marian Gidea, Daniel Goldsmith, Yuri Katz, Pablo Roldan, Yonah Shmalo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We analyze the time series of four major cryptocurrencies (Bitcoin, Ethereum, Litecoin, and Ripple) before the digital market crash at the end of 2017 - beginning 2018. We introduce a methodology that combines topological data analysis with a machine learning technique -- $k$-means clustering -- in order to automatically recognize the emerging chaotic regime in a complex system approaching a critical transition. We first test our methodology on the complex system dynamics of a Lorenz-type attractor, and then we apply it to the four major cryptocurrencies. We find early warning signals for critical transitions in the cryptocurrency markets, even though the relevant time series exhibit a highly erratic behavior.
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中文摘要：
我们分析了2017年底至2018年初数字市场崩溃之前四种主要加密货币（比特币、以太坊、莱特币和Ripple）的时间序列。我们介绍了一种将拓扑数据分析与机器学习技术相结合的方法——$k$表示聚类——以便自动识别接近临界过渡的复杂系统中出现的混沌区域。我们首先在洛伦兹型吸引子的复杂系统动力学上测试我们的方法，然后将其应用于四种主要的加密货币。我们发现了加密货币市场关键转变的早期预警信号，尽管相关时间序列表现出高度不稳定的行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Topological_recognition_of_critical_transitions_in_time_series_of_cryptocurrencies.pdf (3.9 MB)

2022-6-10 14:53:29 上传

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关键词：时间序列 Differential Quantitative Mathematical Time Series

CryptocurrenceMarian GIDEA、DANIEL GOLDSMITH、YURI KATZ、PABLO ROLDAN和YONAH Shmalloabstract时间序列中临界转换的拓扑识别。我们分析了2017年底至2018年初数字市场崩溃之前四种主要加密货币（比特币、以太坊、莱特币和Ripple）的时间序列。我们引入了一种将拓扑数据分析与机器学习技术相结合的方法——k-均值聚类，以自动识别接近临界过渡的复杂系统中出现的混沌状态。我们首先在Lorenz型吸引子的复杂系统动力学上测试我们的方法，然后将其应用于四种主要的加密货币。尽管相关时间序列表现出高度不稳定的行为，但我们发现了加密货币市场关键转型的预警信号。1、引言在许多复杂系统中，包括气候、生态系统和金融市场中，都观察到了临界转变——由小扰动引发的系统状态突变；参见，例如，【41，42】及其参考文献。在确定性系统中，临界转变通常以灾难性分岔的形式出现（参见，例如，[27，16，31]），而在噪声系统中，它们与系统状态分布的剧烈变化有关（参见，例如，[24]）。一般来说，从实际数据中识别即将到来的关键过渡是相当具有挑战性的，因为在达到关键阈值之前，系统的状态可能几乎没有变化，并且仅在较短的时间间隔内，相对于观察期而言。在金融时间序列中，检测即将到来的临界转变的早期信号尤其困难，因为数据本身非常嘈杂，并且往往表现出非平稳性（参见，例如[32，36]）。

此外，由于在金融市场中，关键的转变可能在几乎没有警告的情况下发生，因此从少于100个数据点的短期窗口中提取信息非常重要。一个基本问题是如何从这些经验数据中提取有用的信息，这将导致金融市场“预警系统”的构建。关键词和短语。数字加密货币；关键过渡；复杂系统动力学；拓扑数据分析；金融时间序列；k-均值聚类。2 M.GIDEA、D.GOLDSMITH、Y.KATZ、P.ROLDAN和Y.Shmaloth拓扑数据分析的几何方法（TDA）位于本文的核心，不受任何统计假设的影响，并且能够检测复杂系统中的临界跃迁（参见，例如，[2，3，22]）。该方法的输入是一个点云（数据的快照图像），该点云与几何“形状”相关联，并提取该形状的拓扑信息。该方法的输出是一个持久性图或持久性景观，它表示数据显示的所有拓扑特征的摘要，按“分辨率级别”排序。该方法具有鲁棒性，即，添加到数据中的小噪声扰动会导致持久性环境中的小变化。对于经历分岔的不确定性系统，TDA能够识别潜在吸引子拓扑中的变化。点云数据的旋转形状反映了这种变化。该形状的特征可通过持久同源性计算，而形状的变化可通过持久性景观的形态来衡量。在过去几年中，使用TDA识别底层复杂系统的不同行为模式受到了广泛关注。

因此，既有坚实的理论基础，又有大量的实验结果；例如，参见[2、3、38、39、28、29、43、34、30]。然而，TDA在金融市场的应用尚处于早期发展阶段；参见，例如[21,22,47]。在本文中，我们采用基于TDA的方法，调查了2017年底至2018年初发生崩溃之前，资本化程度最高的加密货币（比特币、以太坊、莱特币和Ripple）的行为。加密货币的市值从2017年2月的约190亿美元激增至2017年12月的约8000亿美元，目前市场上有1000多种加密货币。尽管最近的经济低迷抹去了5500多亿美元的价值，但预计2018年加密货币的总市场估值将达到1万亿美元（参见[44]）。加密货币的交易活动似乎受到新闻和社交媒体、投机性泡沫、欺诈、监管和政策干预所驱动的人气的严重影响（参见，例如，[33]）。相应时间序列的野生统计特性反映了这一点：观察到缺乏平稳性、强长期记忆、杠杆效应和波动聚类；请参阅下面提到的相关工作。

这些特性使加密货币成为TDA应用的理想测试用例，TDA不受统计假设的影响。我们的方法包括以下步骤：“我们使用延时坐标嵌入来获得时间序列的多维表示；”我们应用滑动窗口扫描获得的多维时间序列；“”对于每个滑动窗口，我们关联一个点云并应用simplicialcomplex过滤；关键过渡的拓扑识别3“我们以区域值函数的形式从该过滤中提取拓扑信息–持久性景观；”对于每个窗口，我们计算持久性环境的范数；“”我们将导出的持久性景观规范时间序列与观测到的日志返回时间序列进行比较，以确定指示关键过渡的模式。我们基于TDA的方法表明，在关键过渡之前，持久性景观的规范会发生重大变化，即使使用短滑动窗口也可以检测到这种变化。当资产价值发生关键转变，即从一种制度突然转变为显著不同的制度时，数据的形状会发生显著变化，这可以通过基于TDA的方法进行确认。为了捕捉每个资产的价格/回报时间序列与崩盘前持久性景观的L-范数之间的关系，我们使用了一种利用非参数、基于几何的DK均值聚类的无监督机器学习技术。之所以选择这种方法，是因为与TDA类似，它也不需要对数据进行统计假设，并且部分基于几何结构。

k均值聚类应用于由每项资产的标准化对数价格、对数回报率和持久性景观的L-范数组成的数据，产生了在每项资产崩溃之前自动识别拓扑不同区域合并的结果。我们现在提到一些相关的工作。[19]介绍了一种利用多尺度分析和k均值聚类检测加密货币（尤其是比特币）价格动态中泡沫的方法。在[9]中，货币时间序列的可预测性是通过点预测和密度预测中的几个可选的单变量和多变量模型来研究的。在[13]中，开发了加密货币市场的一般均衡一般模型，该模型将加密货币的价值以及潜在的交易和采矿活动内生化。文献[10]提出了价格形成的动态模型。[6]研究了比特币时间序列的统计特性。文献[11]探讨了货币的统计特性，其中广泛的参数分布适用于数据。在[14]中，十二个GARCH模型分别适用于七种最流行的加密货币。本文的结构如下。在第2节中，我们提供了该方法的背景。在第3节中，我们将在分岔下的动力系统（具有小加性噪声）生成的混沌时间序列上测试这种方法。我们的实验表明，TDA能够检测到时间序列中的临界过渡，因为当系统从较低湍流状态过渡到较湍流状态时，L-范数呈增加趋势。这种行为的其他例子可以在[22，2，3]中找到。由于对这些时间序列进行了模拟，因此很容易将标准的变化与驱动系统的参数M.GIDEA、D.GOLDSMITH、Y.KATZ、P.ROLDAN和Y.Shmaloth中的变化进行匹配。

在现实金融时间序列中，关键转换的拓扑识别变得更加困难，不同制度之间没有精确的分界线。因此，我们应用k均值聚类技术来识别关键转换。在第4节中，我们将我们的方法应用于2016年1月至2018年1月期间比特币、以太坊、Litecoin和Ripple的对数收益时间序列，重点是识别与危机前关键过渡相关的不同拓扑模式。然后，将k均值聚类方法应用于由3个变量组成的数据集：每项资产价格的归一化值、资产的对数收益率和持久性景观的L-范数。该自动分类的结果是识别拓扑上不同的区域集群，这些区域对应于崩溃前的相关时间段。在第5节中，我们得出结论，所提出的方法能够识别所考虑的加密货币在时间序列上的关键转换，并可用于识别与此类转换相关的特定时期。我们工作的重点是：“我们的方法可以应用于由具有强非线性和非平稳性的复杂系统生成的时间序列；”所涉及的拓扑工具在较小的加性噪声下具有鲁棒性该方法能够识别关键的转换，即使在实用的定义窗口很短的情况下。2、方法学2.1。延时坐标嵌入。利用时滞坐标嵌入法，从非线性动力系统的某些可观测量的时间序列中获得该系统相空间的描述；例如，参见【37、26、35】我们简要回顾了该方法。

给定一个由D维流形M上的微分同态f:M nim定义的离散动力系统，状态p p M的演化由其轨道tftppq:t p Zu给出。对于系统的可观测φ：M^2，我们定义了一个重构集Ad，由φppq，φpfppqq，φpfd'2ppqq，φpfd'1PPQQQ，通过沿轨道分段STP，fppq，…，φ的连续评估获得，fd'2ppq，fd'1ppqu。假设f，φ可与rě2区分。Takens的经典定理[46]指出，如果dě2D\'1，那么对于f和φ的泛型（C-开且稠密）集合，mapp P MTh~nΦppq：“pφppq，φpf ppqq，…，φpfd'2ppqq，φpfd'1ppqqq临界跃迁的拓扑识别5是一种嵌入。此外，M上的映射f与重构集Ad上的左移位映射σ拓扑共轭，后者由pφppq，…，φpfd'2ppqq，φpfd'1ppqqThpφpfppqq，…，φpfd'1ppqq，φpfdppqq定义。拓扑共轭意味着Φ匹配f的轨道轨道为σ，即。，σ"Φ“Φ"f.Takens定理已在[40]中扩展到不变集（例如吸引子）的情况ADM，在这种情况下，可以考虑维数dě2D\'1的延迟协调因子，其中d是不变集的盒维数。此外，f和φ的泛型被“流行率”的概念所取代。重构集Adis拓扑等价于A。一个重要的结果是，A的拓扑可以用Ad的同调群来描述。

因此，可以通过与时间延迟坐标重构集相关联的同源群的变化来检测吸引子的分支。我们还注意到，对于随机强迫系统，存在塔肯定理的随机版本；参见，例如，【45】。实际上，嵌入维数d事先未知，如果不首先嵌入时间序列，则无法估计不变集的维数d。有实用的方法来估计嵌入维数；参见，例如，【26】。然而，在本文中，我们将只使用固定的低维嵌入。2.2. 从时间序列重构状态空间。假设我们有一个动态系统，由一个确定性部分和一个随机部分组成，形式为（2.1）pt`1“fppt；λtq`ωt，其中映射pTh~nfpp；λq表示参数相关的动力系统，λtis表示确定性时变参数，ωtis表示正态分布随机变量，以及 a0是随机扰动的大小。我们假设，对于动力系统的确定性部分（无噪声），系统参数λt以我们现在描述的方式在时间上缓慢波动。当参数冻结在某个值λt“λ”时，pt“1”fppt；λq的轨道从某个“吸引盆”中的任何初始条件p开始，接近吸引子Aλ，例如，吸引固定点，或周期轨道，或混沌吸引子。当参数λt在时间上变慢时，即在每个时间步，参数都会以较小的增量变化λt“λt` 1'λt，状态Pt将紧随“瞬时吸引子”Aλt。

具体而言，我们假设|λt |在每个时间步都足够小，因此相应的“瞬时吸引子”在拓扑上彼此接近；更准确地说，我们要求与6 M.GIDEA、D.GOLDSMITH、Y.KATZ、P.ROLDAN和Y.Shmaloth相对应的持续性景观（第2.3节中定义）规范之间差异的绝对值在连续瞬间的“瞬时吸引子”小于一些预先定义的小参数。当然，上述所有参数取决于所考虑的特定动力系统。由于（无噪声）系统的参数在时间上缓慢演化，“瞬时吸引子”也在时间上演化，并在某些参数值上发生分叉，从而改变其拓扑结构。该系统的轨道紧跟着时变的“瞬时吸引子”，沿途跟踪其向pology的变化。如果向具有缓慢演化参数的确定性系统添加小噪声，系统的轨道围绕“瞬时吸引子”振荡，并在接近分岔时在一个“瞬时吸引子”和另一个“瞬时吸引子”之间跳跃，从而经历临界过渡。此外，由于在分岔处存在吸引力损失，因此轨道通常在分岔之前经历不断增加的振荡，从而提供临界跃迁的早期信号。第3节给出了一个明确的例子。现在，我们解释如何使用与上述系统相对应的时间序列来跟踪不断演化的“瞬时吸引子”拓扑中的变化。考虑对应的时间序列x“tx，x，x，…，xN'1u，表示系统（2.1）在时刻t”0，1，…，N'1的某个可观测φ的测量值xt“φpptq”。