收益率数据的贝叶斯GED-Gamma随机波动率模型：A

，yn）′（当所有信息可用时）。2.1贝叶斯推断由于参数向量ν的边缘后验分布在分析上不易处理，因此可以使用MCMC[Gamerman和Lop es，2006]或自适应拒绝大都市抽样（ARMS）[Gilks e t al.，1995]算法来对Д进行贝叶斯推断。ν的边际后验分布由p（Д| Yn）给出∝ L（Д；Yn）p（Д），（8），其中L（Д；Yn）是（7）中定义的似然函数，p（Д）是Д的先验分布。在这项工作中，采用了独立的适当统一优先级，如Gamerman et al.（2013）和Cappuccio et al.（2004）。如果我们不知道参数的值，我们的想法是引入具有较大方差的模糊一致先验。然而，元件φ的其他先验值可能是α~ N（μα，σα），φ+1~ B（aφ，Bφ），σ~ InvGamma（aσ，bσ），andr~ 伽马射线（ar，br）[卡斯特纳和弗鲁维思·施纳特，2014年，见]。一次示例Д（1），^1（M）由ARMS或MCMC算法提供，可以计算近似的后验平均值、中位数和百分位数。后验模态可以通过最大化函数（8）得到。这项任务通常使用最大化算法进行数值计算，如斯泰布罗登-弗莱彻-戈德法布-香诺（BFGS）和顺序二次规划（SQP）算法【Avrie l，2003】。通常，为了利用这些算法，可以重新参数化Д。可以使用MCMC和ARMS算法的输出来推断潜在变量。一旦一个样本Д（1）。。。，可用时，潜在状态的预测、过滤或平滑分布可通过以下方式计算。请注意，p（λt+h | Yt）=Zp（λt+h | Yt，Д）p（Д| Yt）dД。

（9） 因此，h步进预测或滤波分布可以通过mmxj=1p（λt+h | Yt，Д（j））来近似，从中可以获得均值、方差和可信区间等总结。由于p（λt+h | Yt）在分析上不可用，因此可通过从p（Д| Yn）中取样Д（s），然后从p（λt+h | Yt，Д（s））中取样λ（s）t+hfromp（λt+h | Yt），从（9）中获得绘图λt+h | Yt）。此外，可能会按照Gamerman【1991】建立平滑程序。另见Migon等人【2005年】。2.2平滑为了推断潜在状态λ=（λ，…，λn）′，我们可以利用ln（λ）的近似平滑分布，并应用逆变换。如果模型定义为此处建议的d，我们可以使用序列分析的结果获得以下平滑分布。ln（λ）| Yn，ν的联合分布密度为（ln（λ）|Д，Yn）=p（Д| Yn）p（ln（λn）|Д，Yn）n-1Yt=1p（ln（λt）| ln（λt+1），Д，Yt）。（10） 提案2。分布p（ln（λt）| ln（λt+1），Yt，Д）。=N（u）t、 σ2t） ，（11）式中σ2t型=φση+qt-1, ut=σ2thφ（ln（λt+1）+α）ση+ftqti，ft=ln（at）- γ（bt）和qt=γ′（at），这取决于λt的滤波分布的形状和尺度参数。附录II给出了命题2的证明。可以使用MCMC和ARMS算法的输出来推断潜在变量或状态。一旦一个样本Д（1）。。。，^1（M）可用，后验样本ln（λ）（1）。。。，ln（λ）（M）根据以下程序从潜在变量中获得。平滑程序：1。设置j=1；2、从MCMC或ARMS算法中提取静态参数Д（j）；3、从（10）中的p（ln（λ）|Д（j），Yn）取潜在变量的集合ln（λ）（j）；4.

设置j→ j+1，如果j≤ M否则，停止。2.3 GED伽马SV模型的扩展方程（1）中o观测的模式l可使用观测扰动的尺度结构进行推广，以直接获得其他（倾斜）重尾分布，如（倾斜）Student t分布【Nakajima和Omori，2009，Gamerman et al.，2 013，见】。如果εt=γ-1/2tε是模型的观测扰动，其中γt~ γ（ν/2，ν/2）和εt~ GED（r=2，u=0，σ=1），εtwill具有学生的t分布，自由度为ν【Gamerman等人，2013年】。此外，γt可能考虑其他概率分布，从而导致ε的其他（斜）平均尾分布t、 然而，方程（1）中的（歪斜）GED规范导致了观测值的一步aheadpeditive（歪斜）广义d Student t分布（见方程（6））和边际可能性，这是（s kew）广义Student t分布的产物，Wang等人[2013]也使用了边际可能性来建模波动率数据。3模拟我们根据Sandmann和Koopman【1998】、Jacquier等人【1994】的设计，使用Mo-nte Carlo模拟评估拟议模型的性能。按以下方式选择Д=（α，φ，ση，r）皮重值。首先，我们将自回归参数φ设置为0.90、0.95和0.98。接下来，我们为φ的每个值取ση的值，以确保变异系数（CV）exp（ση1-φ) - 1取值10、1和0.10。然后，我们确定α的值，使得期望方差等于0.0009。

最后，我们将参数r设置为2和1，因此，对于观测扰动，分别假设高斯分布（GED（r=2））和拉普拉斯分布（GED（r=1），即重尾情况）。对于每个参数设置，我们生成长度为n=500的500个时间序列，其中包含norma l和Laplace误差。然后，我们估计所提出的模型，并计算后验模态估计的均方误差或均方误差（MSE）。我们采用适当的统一优先级。先验分布为φ~ Unif（0，1），α~ Unif公司(-10, 10), ση~ Unif（0，10），r~ Unif（0，10）和λ| Y~ Gamma（0.001，0.001），如Gamerman e t al.（2013）所述。使用贝叶斯方法，我们将Metropolis-Hastings（MCMC）与trunca tednormal提出的密度和BFGS算法结合起来，使用Ox实现【Do ornik，2009年】。我们使用两条链，5000次MCMC算法迭代，4000次迭代的老化。我们在奔腾dua lcore计算机上进行模拟，该计算机具有2.3 GHz处理器和4GB RAM。GED Gamma和normal Gamma模型的参数估计值在轻尾情况下（正常误差），在不同系数变化值（见表1）的几个设置中接近真实值。在ge ne ral中，GED伽马模型的偏差和MSE接近正常伽马模型，这是本例中考虑的真实模型。MSE值很小，可以与其他方法竞争【Sandmann和Koopman，19 98，Davis和Yam，2005，参见】。一般来说，在四个静态参数中，α的偏差最大。CV=10时，α和ση的偏差大于CV=1和0.1时的偏差。对于Cv=10，我们的α方法的偏差略大于MCMC、QML【Sandmann和Koopman，1998，见】、is和AIS【Davis和Yam，2005，见】方法的偏差。然而，对于CV=0.1，估计值并不像Davis和Yam【2005】以及Sa ndmann和Koopman【1998】中的估计值那样有偏差。

对于重尾情况（观测方程的拉普拉斯误差），正常伽马模型的偏差和均方误差明显大于GED伽马模型。这表明需要更灵活的重尾模型，如本研究中推荐的GED伽马模型，忽略可变尾可能会导致估计结果不佳。4带有回报数据的案例研究这项cas e研究使用了Petrobr'as（巴西公司）资产的每日回报数据和资金/美元汇率。第一次是2001年1月2日至2015年2月6日（3546次观察），第二次是1981年1月10日至1985年6月28日（946次观察）。这些数据可以在雅虎金融网站上找到，第二组数据也可以在Durbin和Koo pman[2001]中找到。在这里，时间t的返回序列定义为yt=Rt=100 lnPtPt公司-1., 以样本平均值为中心，其中PTI为每日收盘现货价格。对于第二个数据，Pt表示每日结算汇率。忽略节假日和周末导致的数据不规则。我们对安装在奔腾双核计算机上的us ingOx（Doornik，2009）进行案例研究，该计算机具有2.3 GHZ处理器和4GB RAM。代码可根据作者的要求提供。图3显示了Petrobr\'as和pound/dollarreturns的时间序列图。Harvey等人（1994年）分析了英镑/美元回报数据集，Davis和Yam（2005年）重新分析了该数据集。金融时间序列的一个显著特征是，它们通常呈现非恒定方差或波动性（见图3）。描述性统计如表2所示。Petrobr'as可设定回报率1：拟议GEDGamma模型静态参数估计的比较，具有不同的CV值和正态误差和拉普拉斯误差，基于500次重复。