能源期权定价双因素模型的快速标定

根据最小二乘准则，我们希望模型预测价格与实际市场价格之间的误差最小：因此，我们定义了损失函数（σ，σ，λ）=nXi=1氧指数-^Oi（σ，σ，λ）. （21）然后，市场校准可以转化为优化问题σ*, σ*, λ*= arg minσ，σ，λL（σ，σ，λ）（22a）受以下条件限制：λ≥ 0, σ≥ 0, σ≥ 0，（22b），这是非凸的。这可以从关于隐含波动率的黑色公式的非凸性中直观地理解，或者，也可以用反例显示-见图2。当使用数值解或解析解计算P时，可以采用一般的非凸解算器，如L-BFGS-B，这是Broyden、Fletcher、Goldfarb和Shanno（BFGS）的拟牛顿法的一种变体，它考虑了框约束[27、28]。然而，解析解可以采用不同的解算器，如信赖域算法，需要倒立二阶导数。L的梯度和Hessian矩阵的计算繁琐且容易出错，但可以通过库进行自动微分。由于所有非凸优化例程都需要对定价公式进行重复评估，因此值得研究第4节中讨论的数值解和解析解如何在结果和效率方面进行比较。5.1实验设置由于TTF天然气和EEX电力市场的高流动性，我们考虑了欧洲选项。数据集包括2017年11月1日至2018年1月25日期间连续57天上市的月度期货期权。

TTF和EEX的不同交付期分别为25和7。选项的数量每天都在变化，EEX在430到596之间，TTF在342到720之间。我们想模拟真实世界的场景，在这个场景中，模型根据列出的选项进行校准，并用于为其他工具定价。因此，在每个交易日，70%的可用期权放在用于校准的集合C中，而剩下的30%放在集合V中以验证模型的准确性。尽管LMR-GW在插值期权价格方面的有效性研究不在本文的范围内，但我们仍然需要确保校准程序取得良好的结果。0 5 10 15 200.5σ图2：考虑函数▄L（σ）=L（λ，σ，σ），λ=1，σ=1，在单个选项上计算。曲线图显示▄L在线段σ上不是凸的∈ [10-4, 20]. 由于存在一条L的约束不是凸的线，我们得出结论：L是非凸的。EEX TFFDays 57 57每天的平均选项数500 530CPU时间-使用L-BFGS-B的分析解决方案55 66 CPU时间-使用信赖域的分析解决方案240 279CPU时间-使用L-BFGS-B的数值解决方案632 1058MAE在V上-历史校准[电子/兆瓦时]0.354 0.276MAE在V上-市场校准[电子/兆瓦时]0.072 0.045表2：数据集、校准精度和CPU时间。为此，我们选择验证集上的平均绝对误差（MAE）作为性能指标：MAE=| V | Xi∈五、氧指数-^Oi, （23）其中| V |表示V的基数。为了证明市场校准的有效性，考虑使用adiscrete Kalman滤波器进行历史校准【10，8】进行比较。优化问题（22）使用SciPy提供的L-BFGS-B解算器和信赖域解算器进行求解。

只有当采用方差的解析解，并使用梯度和Hessian（由自动微分库Jax【29】5.2计算）时，才能应用信赖域解。实验结果计算效率完整结果如表2所示。在第4.3节所述的硬件上，使用分析方差校准LMRGW模型需要大约2分钟的净CPU时间，而使用数值解需要稍微超过28分钟。在我们的案例研究中，具有倒立二阶导数的信赖域解算器无法提高计算速度。解析解产生的加速比约为14，明显低于第4.3节给出的数值。这种差异的原因是，优化过程所需的时间只有一小部分用于评估方差。尽管如此，在商业环境中，类似的业绩增长也是非常重要的，因为数十个市场上的模型通常每天都要进行校准。校准输出以分析数据为特征的模型之间预测价格的平均相对绝对差异，数值解约为10-因此，这两种方法在结果方面是不等效的。0 1 2 3 4 5预测价格^OiMarket calibration historical calibration图3：验证集中选项的市场优度和历史校准。一个完善的模型将导致所有点位于象限的平分线上-实心黑线。货币0.80.91.01.11.2到期日[天]50100150200250300350波动率0.1750.2000.2250.2500.2750.3000.3250.350（a）Ornstein-UhlenbeckMoneyness 0.80.91.01.11.2到期日[天]50100150200250300350波动率0.1750.2000.2250.2750.3000.3250.350（b）LMR GWFigure 4：对到期日和货币的隐含波动率。

表面代表校准模型的波动率，而点代表上市期权的隐含波动率。为了显示历史校准和市场校准之间的差异，我们考虑表2中报告的不良事件。此外，我们选取了2017年11月28日为样本日，并绘制了TTF期货期权模型预测的价格。如图3所示，卡尔曼滤波器实现的历史校准无法捕获市场场景，因此无法满足定价任务。这一结论与第1节中的讨论一致。图4描述了市场校准输出的一个示例，其中从拟合模型中提取的隐含波动率与列出的选项之一进行了比较。隐含波动率是基于GBM的Black公式的σ参数-见（2）-是期权价格的等效表示。该图表显示了截至2017年11月28日的月度TTF期货期权，还包括一个经过市场校准的Ornstein-Uhlenbeck过程，以供参考和比较。很明显，校准使模型能够很好地拟合所列期权的隐含波动率，LMR GW在捕捉非常短期到期的萨缪尔森效应[30]方面更为有效，因为它可以从作为到期函数的表面略微更明显的曲率看出。但值得注意的是，由于缺乏随机波动性，这两种模型都未能捕捉到“微笑”效应。这些考虑与基于文献的期望相匹配，并进一步证明校准程序的有效性。6结论在本文中，我们提出了一种基于李亚普诺夫方程的方法，该方法可以方便地推导一类广泛的随机模型的方差。

通过将方差插入Black公式，可以获得更符合能源商品行为的定价模型。此外，我们还对Lyapunov方程的解析解和数值解的计算性能进行了详细的比较，这可能有助于从业者决定何时值得在推导显式表达式方面进行研究。最后，我们展示了我们研究的实际意义：双因素模型方差的分析和数值结果在随机过程市场校准中的应用。本文中描述的过程的Python实现可以在一个开放源码包中找到【25，26】。未来的工作可能会进一步扩展本文提出的方法的应用，例如考虑其在价差期权定价中的使用或在风险模型中推导风险价值（VaR）。Schwartz模型的应用我们应用Lyapunov方程对Schwartz和Smith提出的线性双因子模型的方差进行了更简单的推导[8]。设St表示时间t、zχ和zξ的标的价格符合维纳过程的标准，使得dzχdzξ=ρdt。原始模型定义为：X（t）=ln（s（t））（24a）X（t）=χ（t）+ξ（t）（24b）dχ（t）=-kχ（t）dt+σχdzχ（t）（24c）dξ（t）=uξdt+σξdzξ（t）。（24d）我们通过定义来编写模型的状态空间描述：a=-k 00 0B类=σχ0 σξC类=1 1S=1 ρρ 1. （25）现在可以运行第4节中的计算，以得出状态的方差。Letus定义：x（t）=χ（t）ξ（t）, P（t）=Var[x（t）]，P=P（0）=02×2，（26），其中02×2表示2×2的空矩阵。通过应用（12），可以计算：P（t）=Eatpeat+ZteA（t-z） BSBTeAT（t-z） dz公司=σχ2k1.- e-2吨ρσχσξk1.- e-千吨级ρσχσξk1.- e-千吨级σξt. （27）这与Schwartz工作中的等式5b相匹配。

此外，通过应用（8），可以得到：Var[X（t）]=CP（t）CT=σχ2k1.- e-2吨+ 2ρσχσξk1.- e-千吨级+ σξt，（28），这是Schwartz论文中的方程式6b。参考文献【1】Fischer Black和Myron Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》，81（3）：637–6541973年5月。[2] 菲舍尔黑。商品合同的定价。《金融经济学杂志》，3（1）：167–1791976年。[3] 保罗·格拉斯曼。《金融工程中的蒙特卡罗方法》，第53卷。Springer Science&Business Media，2013年。[4] 朱利奥·J·露西亚和爱德华多·S·施瓦茨。电价和电力衍生品：来自国家电力交易所的证据。《衍生品研究回顾》，5（1）：5–502002年。[5] 爱德华多·S·施瓦茨。商品价格的随机行为：对估价和对冲的影响。《金融杂志》，52（3）：923–9731997年。[6] 拉斐尔·沃伦。《电力负荷和价格建模与预测：统计方法》，第403卷。John Wiley&Sons，2007年。[7] Dragana Pilipovic。能源风险：评估和管理能源衍生品。麦格劳·希尔专业出版社，2007年。[8] 爱德华多·施瓦茨和詹姆斯·史密斯。商品定价的短期变化和长期动态。《管理科学》，46（7）：893–911，2000年7月。[9] Viviana Fanelli和Maren Diane Schmeck。关于电力期权隐含波动率的季节性。《定量金融》，第1-17页，2019年。[10] 尤里·古塞夫·马丁·巴洛和曼波·莱。电力市场中多因素模型的校准。《理论与应用金融国际法学》，7（2）：101–120，2004年。[11] Alice Guerini、Andrea Marziali和Giuseppe De Nicolao。电力市场中现货价格模型的Mcmc校准。商业和工业应用随机模型，2019年。[12] 迈克尔·韦伯和马塞尔·普罗科普祖克。美式期权估值：garchpricing模型的隐含校准。

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