能源期权定价双因素模型的快速标定

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英文标题：
《Fast calibration of two-factor models for energy option pricing》
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作者：
Emanuele Fabbiani, Andrea Marziali, Giuseppe De Nicolao
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Energy companies need efficient procedures to perform market calibration of stochastic models for commodities. If the Black framework is chosen for option pricing, the bottleneck of the market calibration is the computation of the variance of the asset. Energy commodities are commonly represented by multi-factor linear models, whose variance obeys a matrix Lyapunov differential equation. In this paper, analytical and numerical methods to derive the variance are discussed: the Lyapunov approach is shown to be more straightforward than ad-hoc derivations found in the literature and can be readily extended to higher-dimensional models. A case study is presented, where the variance of a two-factor mean-reverting model is embedded into the Black formulae and the model parameters are calibrated against listed options. The analytical and numerical method are compared, showing that the former makes the calibration 14 times faster. A Python implementation of the proposed methods is available as open-source software on GitHub.
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中文摘要：
能源公司需要高效的程序来执行商品随机模型的市场校准。如果选择黑色框架进行期权定价，市场校准的瓶颈是资产方差的计算。能源商品通常由多因素线性模型表示，其方差服从矩阵李亚普诺夫微分方程。本文讨论了推导方差的分析和数值方法：李雅普诺夫方法比文献中的特殊推导更为简单，并且可以很容易地扩展到高维模型。给出了一个案例研究，其中将双因素均值回复模型的方差嵌入到Black公式中，并根据列出的选项校准模型参数。对解析法和数值法进行了比较，结果表明前者使标定速度提高了14倍。GitHub上的开源软件提供了所提议方法的Python实现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Fast_calibration_of_two-factor_models_for_energy_option_pricing.pdf (620.13 KB)

2022-6-10 17:29:39 上传

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关键词：期权定价 双因素 Quantitative Differential calibration

快速校准能源期权双因素模型PricingEmanuele Fabbiani、Andrea Marziali和Giuseppe De Nicolao帕维亚大学电气、计算机和生物医学工程系2020年12月23日摘要能源公司需要高效的程序来执行商品随机模型的市场校准。如果选择黑色框架进行期权定价，市场校准的瓶颈是资产方差的计算。能源商品通常由多因素线性模型表示，其方差服从矩阵李雅普诺夫微分方程。本文讨论了推导方差的分析和数值方法：lyapunovaproach比文献中的特殊推导更简单，并且可以很容易地扩展到高维模型。给出了一个案例研究，其中将双因素均值回归模型的方差嵌入到Black公式中，并根据列出的选项校准模型参数。对解析法和数值法进行了比较，结果表明前者使标定速度提高了14倍。GitHub上的开源软件提供了proposedmethods的Python实现。指数术语——定价、李亚普诺夫方程、能源衍生品、波动性、市场校准1简介自20世纪90年代以来，能源市场的自由化促进了衍生品的采用：如今，每个能源公司都对准确的定价模型感兴趣。布莱克公式[1，2]提供了欧洲普通期权在未来的无套利价格，而奇异衍生品的定价通常需要蒙特卡罗模拟[3]。在这两种情况下，都假设基础资产由托卡斯特过程描述：第一个问题是选择最合适的模型。

众所周知，布莱克公式中采用的几何布朗运动并没有捕捉到能源商品的基本特征。随后，提出了许多针对能源资产的具体扩散过程[4、5、6、7]，由于其灵活性，多因素模型成为一种流行的选择[8、9]。第二个同样重要的问题是校准模型，即调整其参数，使其反映资产的行为。存在两种类型的校准。历史校准目的是将模型与资产的现货价格相匹配：提出了几种方法，包括卡尔曼滤波法【10】和蒙特卡罗马尔可夫链法【11】。然而，历史上经过校准的模型可能存在偏差，无法实现无套利价格。由于模型通常用于对场外交易的衍生品进行估值，因此需要一个确保无套利定价的程序。市场校准将托卡斯蒂克模型应用于流动性衍生品，通常是欧洲期权，从而提供无套利担保[12、13、14]。这项研究的动机是一个实际问题：能源公司需要对多因素模型进行有效的市场校准。作为行业中的常见做法，采用黑色框架，但其基础是由双因素模型描述的。不考虑随机波动率（SV），因为尽管有最近的发展，SV模型的校准仍然要求很高[13，15]。市场校准的瓶颈是基础数据方差的计算。对于许多随机过程，包括一些二因素和三因素模型，方差的分析公式是可用的，但它们的推导往往是复杂和复杂的[16，8]。本文的主要贡献在于表明，这样的结果可以通过一个系统的过程获得，并且可以进行符号计算。

我们发现，当底层由线性随机系统表示时，其方差服从李雅普诺夫矩阵微分方程[17]，而与模型阶数无关。利用李亚普诺夫方法，我们推导了回归到广义维纳过程双因素模型（LMR-GW）的对数现货价格均值方差的解析表达式【10】。作为另一个例子，我们为Schwartz等人的双因素模型提供了一个更简单的推导方法。[8]讨论了Lyapunov方程的数值解和解析解：在任何一种情况下，关键点都是Gramian积分的计算，可以通过分析或矩阵指数的数值计算来执行。从计算速度方面对两种解进行了比较。这是一个关键因素，因为市场校准是通过优化程序来实现的，优化程序会反复评估定价公式。最后，我们展示了从EEX电力市场和TTF天然气市场收集的欧洲选项的拟议校准程序。本文的组织结构如下：第2节回顾了Black框架的基本原理，第3节简要介绍了所考虑的模型。第4节提供了通过Lyapunovequation推导方差的方法，并讨论了计算效率。第5节描述了校准程序及其在测试用例上的结果。最后，在第6节中，对本文进行了总结。附录A以Schwartz模型为例，说明了Lyapunov方法的简单性。2定价框架在能源市场中，期权的基础通常是给定时期（月、季或年）期货的平均值。布莱克公式是广泛接受的期货普通期权定价框架[1，2]。

假设未来s的行为类似于几何布朗运动（GBM），平均值和标准偏差为零σ，ds（t）=σs（t）dw（t），（1），其中w（t）是维纳过程。然后，s上欧洲看涨期权的无套利价格c和欧洲看跌期权的无套利价格p为：c=e-rT（SN（d）- KN（d））（2a）p=e-rT（KN(-d）- 序号(-d） ）（2b）d=ln（S/K）+σ/2Tσ√T（2c）d=d- σ√T，（2d）s是T=0时s的价格，当期权交易时，K是履约，T是到期日，n是标准高斯变量的累积概率分布。上市价格考虑了相应到期日的季节性行为。回顾σ√t是GBM过程的标准偏差，这一术语可以解释为标的资产在到期时的对数回报率的不确定性。然后，可以为底层设计替代模型，然后将其标准偏差插入黑色公式中。之前的几项工作[8、16、18]对这种方法进行了严格的讨论。假设在时间t时，底层的对数返回方差由时间p的正函数给出。然后，数据d可以写成d=ln（S/K）+p（t）pp（t），d=d-pp（T）。（3） 函数p在一个时间瞬间进行评估，这样定价就不会考虑到期后潜在未来的演变。这种简化在大多数能源市场中都是合理的，因为期权到期时间与未来交付期的开始时间重合（或非常接近）。期权到期日与基础期货之间的一致性也促使采用通常为现货价格设计的模型对期货期权进行定价【18】。布莱克公式可以稍微简化，因为现在，无风险利率的代理接近于零，甚至为负。

在下文中，假设r=0.3均值回复模型SGBM不考虑均值回复。能源商品和相关期货的价格遵循一个长期趋势：无论出于何种原因，如果他们摆脱了它，他们往往会在短时间内被推后[19]。最简单的均值回复模型是Ornstein-Uhlenbeck过程。尽管如此，anOrnstein-Uhlenbeck过程的波动率是渐近不变的，因此无法捕捉长期债券不断增加的不确定性。为了解决这个问题，提出了双因素模型[8，10]：特别是对数现货价格均值回归到广义维纳过程模型（LMR-GW）[10]。在MR GW中，未来s的对数返回XO遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，考虑短期变化，而长期漂移x遵循GBM：x（t）=ln s（t）（4a）dx（t）=λ（x（t）- x（t））dt+σdw（t）（4b）dx（t）=udt+σdw（t），（4c），其中λ、σ、σ和u是标量参数，与wand ware无关的维纳过程。为了利用LMR-GW模型进行定价，需要其方差表达式。这个问题在文献中并不新鲜：特别值得一提的是，Schwartz等人[8]针对不同形式的二阶模型得出的解析解。然而，它们的推导是针对一个特定的模型，因此它对其他双因素或高阶过程的扩展并不简单。

在下一节中，利用线性随机系统理论，我们证明了一大类模型（包括（4））的方差可以系统地计算。4李亚普诺夫方程方差推导考虑由状态空间表示dx（t）=Ax（t）dt+Bdw（t）（5a）y（t）=Cx（t），（5b）描述的连续时间标量随机过程y，其中a、B和C是合适维数的矩阵，x是n维状态，w是m维维纳过程，因此Ew（t）w（τ）t= S（| t）- τ|），S=ST>0，y为q维输出。为了完成系统的描述，需要期望值和状态方差的初始值：(R)x：=E[x（0）]，P：=Var[x（0）]，P=PT>0。设P（t）=Var[x（t）]表示系统状态的协方差矩阵。从（5）可以看出，P满足Lyapunov矩阵微分方程：dP（t）dt=AP（t）+P（t）AT+BSBT，（6）在初始条件P（0）=P下。该方程的解由Lagrange公式的矩阵版本给出【20，17】：P（t）=Eatpeat+ZteA（t-z） BSBTeAT（t-z） dz，（7），其中eM=exp（M）表示M的矩阵指数。此外，输出方差为：Var[y（t）]=Var[Cx（t）]=CP（t）CT。（8） 4.1 LMR-GW双因素模型的方差在LMR-GW过程中（4），漂移参数u不影响方差。系统可通过x（t）以（5）的形式布置=x（t）x（t）T、 dw（T）=dw（t）dw（t）坦达=-λ λ0 0, B类=σ0 σ, S=1 00 1. （9） 我们不需要（5b），因为输出等于第一状态。让P和Pdenote分别表示状态协方差及其初始值：P（t）=P（t）P（t）P（t）P（t）P（t）P=pppp. （10） 观察到At con的指数很容易计算：eAt=e-λt1- e-λt0 1.

（11） 通过应用（7），经过一些代数运算，得到了李雅普诺夫方程（6）的解析解：P（t）=p- 2p+p-σ+ σ2λe-2λt++2p- p+σλe-λt+σt+σ- 3σ2λ+p（12a）p（t）=p（t）=p- p+σλe-λt+σt+p-σλ（12b）P（t）=σt+P.（12c），因为标的物的对数价格由x表示，出于定价目的，唯一相关的术语是isP。尽管LMR-GW模型的方差在文献中已为人所知，但李雅普诺夫方程的应用使推导变得更加容易。另一个例子可以在附录A中找到，其中我们推导了Schwartz模型的方差[8]。基于Lyapunov方程的方法是通用的，可以应用于符合（5）所述假设的所有线性随机系统。霍尔（Hall）[21]的经典著作中讨论了计算矩阵指数的一般步骤，但必须注意的是，我们的问题要求将矩阵指数的解写成时间的函数。即使对于维数相对较低的模型，找到EAT的分析表达式也可能具有挑战性，甚至是不可能的。因此，人们对替代方法很感兴趣。4.2 Lyapunov方程的数值解矩阵指数eat是求解Lyapunov方程的关键：如果解析解不可用，可以选择数值近似。有效的程序依赖于以下定理【22】。定理1（三角矩阵的指数）。设M，和适当维数的Mbe矩阵。允许FF0 F= 经验值毫米0米h类, （13） 其中0是适当维度的空矩阵。然后，以下恒等式成立：F=eMh，F=eMh，F=ZheM（h-z） MeMzdz。（14） 在定理1和下面的定理中，为了便于阅读，省略了F、F和Fon-time的依赖关系。我们想应用定理1求解拉格朗日公式（7），并找到状态协方差矩阵P。

为此，我们确定M、M和MsoFF0 F= 经验值A BSBT0-在t型（15） 获得：F=吃，F=e-ATt，F=ZteA（t-z） BSBTe-ATzdz。（16） 评估分析数字加速比1000 0.0259 0.9956 39.413000 0.0738 3.0751 41.775000 0.1239 5.0849 41.4510000 0.2885 10.5574 37.4420000 0.4958 20.8032 42.1730000 0.7394 31.4745 42.83表1：CPU时间和加速比。所有数据均以秒为单位。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3·10-4.-1评估AnalyticalNumericalFigure 1：CPU时间与评估次数的对比-半对数量表。再进行一些操作，ZteA（t-z） BSBTeAT（t-z） dz=FF-1.（17）因此，微分李雅普诺夫矩阵方程的解可以表示为asP（t）=FPF-1+FF-1=（FP+F）F-1.（18）注意，Fis总是可逆的，因为它是矩阵指数的结果。上述程序是通用的：它可以应用于符合（5）所述假设的每一个线性随机系统。4.3数值解和解析解：比较一般性和易于实现使数值解（18）具有吸引力。然而，在实际应用中，计算效率也是一个重要因素。方差的主要用例是随机模型的定价和市场校准，这两者都需要重复评估。在能源公司的日常工作中，校准在多个市场上运行，放大了执行时间上微小差异的重要性。这促使我们进行比较测试。数值和分析方法都是使用Python及其SciPy包实现的【23】。通过scipy的expm函数计算矩阵指数。采用Pad'e近似值的linalg模块通过缩放和平方方法进行了改进【24】。数值解和解析解以及其他相关工具的实现都可以在开源Python包中找到【25，26】。

该硬件是一台商用现货个人电脑，运行Intel i5 3340M双核CPU和16 GB RAM。考虑了具有市场校准参数的LMR-GW模型。设置30天的时间窗口，在该时间窗口内，在M个时间瞬间计算方差，M的范围为1到30000。每次运行重复10次，取CPU时间的中位数。将加速比推导出为数值解和解析解的CPU时间之比。表1和图1中的数据表明，如果基础方差的分析公式可用，则可以实现40的加速。5市场校准的应用为了有效定价场外交易的奇异衍生品或期权，随机模型必须调整其参数。如第1节所述，我们将重点关注市场校准，这是定价任务的参考。为了了解与历史校准的差异，我们在第5.2节中提供了比较。为清楚起见，在下文中，我们仅考虑LMR-GW，但该程序可以很容易地应用于每个线性模型。调整流动性工具（如欧式期权）的随机模型是常见的做法：在这种观点下，市场校准是定价的逆问题。让我们把市场冻结在一个特定的时刻，让Oibe为n个欧洲期权的价格，i=1。。。，n、 在同一基础上书写；也可采用黑色公式（2）给出的第i个期权的价格，嵌入anLMR GW模型（3）和（12）的方差：^Oi=（e-rTi（S0，iN（d1，i）- 如果我是被叫人-rTi（亲属(-d2，i）- S0，英寸(-d1，i））如果i是put（19）d1，i=ln（S0，i/Ki）+P（Ti）pP（Ti）d2，i=d1，i-pP（Ti），（20），其中r=0，Ti，S0，i和Ki，定义于（2）中，由期权合同给出，而P，定义于（12）中，取决于模型参数σ、σ和λ。