Heath-Jarrow-Morton模型的核配置方法

现在让我们假设Γ和R由一个参数ha0描述。设0“tata¨¨¨tn”t并用rhptk，xq，k“0，…，n，x P R”表示，由上述SDE的Euler Maruyama近似得到的过程，即rhptk`1，xq“rhptk，xq`”ddxiprhptkqpxq`αptk，iprhptkqpxq*tk\'1\'d"yi“1σiptk，IprhptkqqqpxqWiptk\'1q，k“0，…，n\'1，rhpt，xq”rpxq，其中tk`1“tk`1'tk和Wiptk“1q”Wiptk“1q”Wiptkq。对于t P rtk，我们设置了RHPT、xq“rhptk、xq”DDXIPRHPTKQPQPQQ“αptk、IPRHPTKQQPQQ*pt“tkq”d"yi“1σiptk、IPRHPTKQPQPQPWITQ”Wiptkqq。现在滥用符号表示v P Rn的Ipvqpxq“r”1pK“1vqjΦpx”xjq，并设置了αpt、vq“Pαpt，Ipvqqpxq，…，αpt，IpvqqpxNqqT，σpt，vq“tσipt，Ipvqqpxjqu1djdN1diddP RN^d，pt，vq P r0，t s^RN。此外，请注意，通过设置K”tΦpxj'x'qu1dj，'N，我们获得了Ipφqpxjq“pKK'1φ'qj。然后，rhk给出了rhk'1”rhk'pKK'1rhk：“prhptk，xq，…，rhptk，xnqtp RN，K'0，…，N”\'αptk，rhkqqtk`1`σptk，rhkqW ptk\'1qwith rh“prpxq，…，rpxNqqT，这是当时维随机微分方程的Euler Maruyama近似值#drptq”“KK'1rptq'αpt，rpqq‰dt'σpt，rpqdw ptq，rp0; prpxq，…，rpxnqt，此外，假设我们在Γe“tξ，…，ξMu r0，8q点计算Rhtk，然后，rhk：“prhptk，ξq，…，rhptk，ξMqqT，k“0，…，n，由▄rhk\'1”▄rhk\'pK1eK\'1rhk▄αptk，rhkqq给出tk`1`~σptk，rhkqW ptk\'1qwith▄rh“prpξq，…，rpξmqt，其中K1e”tΦpξj'x\'qu1djdM，1d'N，▄αpt，vq“pαpt，ipvqpξq，…，αpt，ipvqpξmqt，▄σpt，vq“tσipt，Ipvqqpξjqu1djdM1diddP RM^d，pt，vq P r0，t s^RN。本节其余部分致力于证明上述近似值的收敛性。为此，我们对randσi施加以下条件：假设3.1。

（i） 函数rbelongs to U X CbpR\'q.（ii）对于任何t P R\'，ωP，函数σpt，ω，φq是Con R\'Ohm, 和φP U。（iii）R′上存在一个非负且Borel可测的函数ψ，ψw PLpR′q，limx~n8ψpxq“0，以及一个正常数Tsuch，对于i”1，…，d，t，x P R′，ωPOhm, 和m“0，1，2，dmdxmσipt，ω，φqpxqˇψpxq，以及i”1，…，d，t，s，x P R\'，ωPOhm, m“0，1，2，andφ，ψP U，ˇdmdxmσipt，ω，φqpxq'dmdxmσips，ω，ψqpxq'ψpxqa't'ψpxq't'φpyq'ψpyq'dy。请注意，自'φpyq'ψpyq'ψpyq'C'φψ'Uby'以来，假设2.2在假设3.1下成立命题2.1（i）。因此存在唯一的U值可预测过程Trptqutě0满足（2.4）和（2.5）。然后，设置t“max1didnpti'ti'1q，x“supxPp0，Rqminj”1，…，N | x'xj |。既然我们假设Γ和R是h的函数，那么x、 此外，我们假设ttkunk“0也是h的函数。那么也是t、 对于j“1，…，N，我们为由qjpxq“N"yi”1pK'1qijΦpx'xiq，x P R，j“1，…，N定义的基数函数编写qjj。在下面的内容中，K表示有限集K的基数。假设3.2。（i）参数t、 R、N和x满足t尼0、R尼8、N尼8和x~n0为hOE0。（ii）存在c，c，c，与h无关的正常数，因此对于m“0，1，2，maxxPΓYΓe#”j P t1，…，Nu:dmQjdxmpxqˇcN*cR1{2dcpxq'pτ'3{2q.Remark 3.3。假设Γ在crn'1d的意义上是准一致的xdcRN'1对某些正常数c，c成立。在这种情况下，假设3.1（ii）中的后一个不等式对某些正常数c成立isRdcNp2τ'3q{p2τ'2qf。定理3.4。假设假设3.1和3.2成立。

此外，假设τě3。然后存在hP p0，1s，因此对于任何T P p0，8q，我们有e | rpt，xq'rhpt，xq | Ct`Cpxqp2τ'1q{τR1{p2τq，x PΓYΓe，0dtdt，hdh.为了证明定理3.4，我们需要几个初步的引理。首先，回顾一下文献[20]，对于任何f:R~nR，Ipfqpxq“N"yj”1pK 1f|qjΦpx'xjq“N"yj”1fpxjqjpxq，x P R.我们使用基于核的插值的稳定性结果[20].引理3.5。假设假设3.2和τě3成立。然后，存在hP p0，因此，支持0ahdhmaxxPΓYΓeN"yj“1ˇdmQjdxmpxqˇ8，m”0，1，2.证明。我们为j“1，…，N写xj”xj'R{2，考虑tx，xNu p'R{2q。通过这个配置点，我们有K“tΦp'xi''xq JQUI，j“1，…，Nand Ipgqpx\'R{2q”rNj“1pK'1 | gΓqjΦpx'''xjq，其中▄gpxq“gpx\'R{2q表示x p R。然后我们可以在[20]中应用MMA 3.5以获得所需的结果。引理3.6。假设假设3.2和τě3成立。在引理3.5中设has。然后，对于h P 0，hs，我们有（i）对于u P hτ\'1pRq>>>>>ddxpu'Ipuqq>>>>>Lpr0，RsqdCpxqτ\'1}u}Hτ\'1pRq；（ii）对于m“0、1和u P C1`mbpR`qmaxxPΓYΓeˇdmdxmpu'IPUQPXQˇC}u}C1`mpR'qpxqpτ\'1{2'mq{pτ\'1'mqR1{p2pτ\'1'mq.Proof。与前面引理的证明一样，我们将近似区域和配置点集分别转换为p'R{2，R{2q和Γ。然后将[20]中的引理3.4应用于'upxq：“upx'R{2q，x p R，我们得到权利要求（i）。为了展示权利要求（ii），让u p C1'mbpR q。我们定义了一个扩展。通过▄upxq▄在u的R上的▄u“#upxqζpxq，xě0，pup0q ` up0qx ` pm{2qpdmu{dxmqp0qxqζpxq，xa0，其中ζ是R上的C函数，对于某些固定的δa0，p'δ，8q上的0dd1，ζ”1，p'δ，8q上的0，以及p'8上的ζ“0，'2δq。

然后很容易看到▄u是C1▄mbpRqsuch，dκ▄u{dxκ”dκu{dxκon R▄对于0dκ1▄m和▄u▄C1▄mpRq▄C▄u▄C1▄mpR▄q，取一个具有紧支撑和单位积分的C函数ρ，并将ρεpxq“p1{εqρpx{εq设置为x P R和ε261 0。利用此molli fier和函数u，我们通过uεpxq定义uε“upyqρεpx'yqdy，x P R。此函数满足（3.2）supxPRˇdmdxmp'upxq'uεqpxqˇC}u}C1'mpR'qε，supxPRˇdκdxκuεpxqˇCε'maxtκ1'm，0u'u}C1'mpR'q，κP N}”Y t0u。我们在R上取另一个C函数ζ，使得R上的0dζd1，对于| x | 1，ζpxq“1，对于某些Ca0，ζpxq”0。然后考虑函数^uεpxq：“uεpxqζpx{Rq，x P R.简单地说，uεP Hτ\'1pRq和by（3.2），}uε}Hτ\'1pRqdCτ\'1"yκ”0zp1\'cqR\'p1\'cqRˇdκdxκuεpxqˇdxˇCRε'2pτmq}u}C1\'mpR\'q。根据该估计并应用引理。3.6在【20】至^uε中，我们有SUP0dxdRˇdmdxmp^uε'Ip^uεqqpxqˇCpxqτ\'1{2'm}uε}Hτ\'1pRqdCpxqτ\'1{2'mR1{2ε'pτmq}u}CpR'q。这与引理3.5一起导致了ˇdmdxmpu'ipuqpxqˇdmdxmp'uεqpxq'dmdxmp'uεIp'uεqpxq'dmdxmp'uεqpxq'Ip'uqpqpxq xqˇˇC}u}CpR\'qε\'Cpxqτ\'1{2'mR1{2ε'pτmq}u}CpR\'qf对于所有x pΓYΓe.最小化εa0上方最后一个不等式中的右侧，我们得到了权利要求（ii）。引理3.7。假设定理3.4中的假设成立。Let has inLemma 3.5。然后，sup0ahdhmaxxPΓYΓemaxk“0，…，nE | rhptk，xq | 8.Proof。固定k“0，1，…，n'1和x PΓYΓe。我们使用表示| rhptk\'1，xq |“| rhptk，xq |∧ptk，xqptk`1q`~d"yi“1Θiptk，xqWiptk\'1q,\'2rhptk，xq∧ptk，xqtk\'1\'2∧ptk，xqtk\'1d"yi“1Θiptk，xqWiptk`1q`2rhptk，xqd"yi“1Θiptk，xqWiptk`1q，其中i“1。

，d和x P R∧ptk，xq“ddxIprhptkqqpxq'αptk，iprhptkqpxq，Θiptk，xq”σiptk，Iprhptkqqpxq。使用引理3.5和假设3.1，我们看到（3.3）Er∧ptk，xqptk\'1qs\'Erhptk，xq∧ptk，xqˇtk\'1dC^1\'maxyPΓYΓeE | rhptk，yq |˙t、 由于∧ptk，xq和Θiptk，xq是Ftk可测量的，对于i“1，…，d和j‰i，（3.4）Er∧ptk，xqΘiptk，xqWiptk“1qs”Errhptk、xqΘiptk、xqWiptk\'1qs“ErΘiptk，xqΘjptk，xqWiptk`1qWjptk\'1qs“0。此外，我们还获得了RΘiptk、xqpWiptk\'1qqs“ErΘiptk，xqstk\'1dCt、 i“1，…，d.由此，（3.3）和（3.4）我们推断出E | rhptk\'1，xq | p1\'Ctq maxyPΓYΓeE | rhptk，yq | ` Ct、 从而得到所需的结果。我们将φP U和x P R `表示为▄A“AI，即▄Aφpxq”Ipφqpxq。然后，由于Φ在单位球中受支持，▄Aφ▄U▄Ipφqp0q▄`▄Ipφqp0q▄R▄1Ipφqpxq▄Ipφqpxq（wpxqdxdChmaxj“1，…，N |φpxjq | Ch}φ}uf，对于某个正常数Chdepending on h。因此▄A:U尼U是有界的，当U上存在一致连续的半群▄S时，其生成器由▄A.Lemma 3.8给出。假设假设3.2和τě3成立。在引理3.5中。然后对于h P p0，hs，T P p0，8q和φP U X CbpR▄q，我们有maxpΓYΓe▄”124; Sptqφpxq'▄Sptqφpxq'Cpxqpτ'1{2q{τR1{p2τq}φ}CpR'q，0dtdt.证明。固定φP U X CbpR\'q。由于tSptqu0dtd和t▄Sptqu0dtdTare都是CSemigrous，并且逐点求值操作符在U上有界，我们有Sptqφpxq'Sptqφpxq“zt！ASpτqφpxq'A'Spτqφpxq）dτ，0dtdt。因此，maxxPΓYΓe'Sptqφpxq''Sptqφpxq'A}YΓYΓtmaxpΓYΓe'Spτqφpxq'(R)Spτqφpxq | dτ\'tmaxpΓYΓe | ASpτqφpxq'ASpτqφpxq | dτ，其中S:U~nU，}S}YΓe“sup”maxpΓYΓe | Sψpxq |{maxpΓYΓe |ψpxq |：ψP U，maxxPΓYΓe |ψpxq |a0*。引理3.5和3.6现在意味着suph}A}YΓeis fite，和maxxpΓYΓe | ASpτqφpxq'ASpτqφpxq'Cpxqpτ'1{2q{τR1{p2τq}Spτqφ}CpR\'qdCpxqpτ'1{2q{τR1{p2τq}φ}CpR'q，0dτdT。因此，通过Gronwall引理，引理如下。定理3.4的证明。

第一次通知，rhpt、xq可写为rhpt、xq“rpxq`zt！~Arhps、xq`αps、Iprhpsqqqpxq）ds` d"yi”1ztσips、IPRHPSQQPQDWIPSQ'd"yi”0ztΘips、xqdWipsq，其中Wptq“t”和'ps、xq“n'1"yk”0“ddxIprhpsq'RHPTKQPQPQ'αps、Iprhpsqqqpxqαptk，iprhptkqqpxq*ptk，tk\'1spsq，Θips，xq“n\'1"yk”0'σips，Iprhpsqqq'σiptk，iprhptkqqpxq'ptk，tk\'1spsq，i“1。