Heath-Jarrow-Morton模型的核配置方法

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英文标题：
《Kernel-based collocation methods for Heath-Jarrow-Morton models with
  Musiela parametrization》
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作者：
Yuki Kinoshita and Yumiharu Nakano
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose kernel-based collocation methods for numerical solutions to Heath-Jarrow-Morton models with Musiela parametrization. The methods can be seen as the Euler-Maruyama approximation of some finite dimensional stochastic differential equations, and allow us to compute the derivative prices by the usual Monte Carlo methods. We derive a bound on the rate of convergence under some decay condition on the inverse of the interpolation matrix and some regularity conditions on the volatility functionals.
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中文摘要：
我们提出了基于核的配点方法，用于求解带有Musiela参数化的Heath-Jarrow-Morton模型的数值解。这些方法可以看作是一些有限维随机微分方程的Euler-Maruyama近似，并允许我们使用通常的蒙特卡罗方法计算导数价格。我们在插值矩阵的逆上推导出在某些衰减条件下的收敛速度的界，在波动率泛函上推导出在某些正则条件下的收敛速度的界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：cs.NA is an alias for math.NA. Roughly includes material in ACM Subject Class G.1.
cs.na是Math.na的别名。大致包括ACM学科类G.1的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Kernel-based_collocation_methods_for_Heath-Jarrow-Morton_models_with_Musiela_par.pdf (777.51 KB)

2022-6-10 17:48:39 上传

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关键词：Jarrow Morton HEATH arrow Heat

Musiela参数化的Heath-Jarrow-Morton模型的核配置方法Yuki Kinoshita*1和Yumiharu Nakano+1东京理工学院数学与计算科学系，W8-28，2-12-1，Ookayama，Meguro ku，Tokyo 152-8550，Japansepter 2020年12月8日抽象我们提出了基于核的配置方法，用于带有Musiela参数化的希斯加罗-莫顿模型的数值解。这些方法可以看作是一些有限维随机微分方程的Euler-Maruyama近似，并允许我们使用通常的蒙特卡罗方法计算衍生品价格。在插值函数的某些衰减条件和挥发函数的某些正则性条件下，我们导出了收敛速度的界。关键词：Heath-Jarrow-Morton模型，Musiela参数化，基于核的插值，配置方法。AMS MSC 2010:65M70，91G30，60H15.1简介在本文中，我们关注具有Musiela参数化的Heath Jarrow Morton（HJM）模型的数值方法。考虑无套利债券市场中的远期利率过程f pt，T q，0dTdTa8，作为一系列It^o过程给出。然后，Heath等人[10]认为，过程fpt，T q应根据（1.1）dfpt，T q“αpt，T qdt\'d"yi”1σipt，T qdwittq发展。这里，该方程定义在完全概率空间p上Ohm, F、Pq，过滤tFptqutě0满足通常条件。概率测度P被解释为等价的局部鞅测度，如下所述。过程*yk。lgb13@gmail.com+相关作者：nakano@c.titech.ac.jpWptq“pWptq，…，Wdptqq，tě0是P下的标准d维tFptqu布朗运动。

，d，被假定为可适当测量和可积，过程αpt，T q由αpt给出，T q“d"yi”1σipt，T qzTtσipt，sqds。我们参考了标准教科书，如Musiela和Rutkowski【17】、Shreve【22】、Bj¨ork【3】以及其中的参考文献，了解HJM模型（1.1）的详细信息和发展。然后，Musiela【16】表明rpt，xq：“f pt，T'xq，这被称为Musiela参数化，是随机偏微分方程（1.2）drpt，xq的温和解“^BBxrpt，xq`αpt，t` xq˙dt\'d"yi”1σipt，t` xqdwitqin一个合适的函数空间。方程（1.2）被称为Heath-Jarrow-MortonMusiela（HJMM）方程。从那时起，人们对（1.2）版本的解的存在性和唯一性进行了大量研究。参见，例如，Goldys和Musiela【9】、Filipovi\'c【8】、Barski和Zabczyk【1】、Kusuoka【15】以及其中的参考文献。至于（1.2）的数值方法，Barth【2】研究了有限元方法，D¨orsek和Teichman【7】提出了一种分裂方法。在本文中，我们研究了当σ依赖于f pt¨q，而rpt¨q时（1.2）数值解的基于核的配置方法，作为现有方法的替代方法。给定一个点集Γ“tx，…，xNu，使得0axa¨xN和一个正有限函数Φ：R~nR，函数ipgqpxq“N"yj”1pK\'1g | qjΦpx\'xjq，xpr在Γ上插值g。这里，K“tΦpxj\'x`quj，`1，…，N，gΓ是gpxjq，sedj的列向量“1、…、N和pK'1g | qjdenotes K'1g | P RN的第j个分量。由于可以预期dmdxmgpxq<<dmdxmIpgqpxq，m”0，1，将（1.2）中右侧的rpt、¨q和Brpt、xq{Bx分别替换为Iprptqq和birptqpqpxq{Bx，给出了（1.2）的合理近似值，得到的方程导致了一个N维随机微分方程，该方程位于Γ中的点处。有关更精确的推导，请参见下文第3节。

如上所述，使用基于核的插值的方法通常称为基于核的配置方法，这是堪萨斯州首次提出的方法（另见堪萨斯州[13，14]）。从那时起，许多基于核的方法的数值实验和实际应用研究开始了。例如，Schaback【21】、Cialenco等人【5】、Hon等人【11】、Nakano【19、20、18】研究了严格的收敛问题。我们的目标是在数值求解HJMM方程的问题中解决基于核的配置方法，并获得这些方法的收敛速度边界。为此，我们利用文[20]中证明的基于核的Wendland核插值的稳定性结果，得到了一类正则性相对较低的函数中插值的误差估计结果。本文的组织结构如下。下一节将致力于证明（1.2）在Hilbert空间中的存在唯一性结果，该结果适合我们的目的。我们详细描述了基于核的配置方法，并在第3节推导了近似误差。在第4节中，我们将我们的数值方法应用于小股的定价问题。2 HJMM方程我们用Musiela参数化描述Heath Jarrow Morton模型，或用适合我们目的的方式描述利率建模的HJMM方程。我们的设置基于[8]，稍作修改。首先，我们介绍几种表示法。设R`“r0，8q。对于任何开集或闭集VAR，我们为V的Borelσ-字段写BpV q。我们使用Leb表示pR，BpRqq上的Lebesguemeasure。我们将LppV q”LppV，BpV q，Lebq放在p r1，8s上，并用}¨}LppV qits范数表示。我们还用LlocpR` q表示R`上所有Borel可测函数和局部Lebesgue可积函数的集合。

用CkpV q表示V上所有ck函数的空间，用CkbpV q表示CkpV q中所有函数的集合，这样}u}CkpV q：“k"ym”0supxPVˇdmudxmpxqˇˇ8。用C表示正常数，这些常数在每次出现时可能会变化，并且不依赖于R′中的时间和空间变量，元素在Ohm 和U，以及下面介绍的近似参数h。我们在希尔伯特空间U中工作：“#φP LlocpR\'qˇˇˇ存在φ的广义导数φ，φP LlocpR\'q，使得}φ}Ua8+与}φ}U定义的范数}}}}U“|φp0q | `}φp0q | `zφpxq | ` ` |φpxqwpxqdx，其中w:R'r1，8qdx q是一个非减量C函数，因此w'1{3P LpR'q。我们考虑由Sptqφpxq定义的映射Sptq:U尼U“φpt`xq，t，x P R`。很明显，tSptqutPR`定义了U上的一个半群。此外，我们有以下几点：命题2.1。（i）希尔伯特空间U是可分的，满足UACbpR`q。特别是，}φ}LpR`q`}φ}LpR`q`}φ}LpR`q`}φ}LpR`q}LpR`q}C}φ}U。（ii）半群tSptqutPR`在U上是强连续的，其生成元A的域由tφP U：φP Uu给出。此外满足φ“φ”证明。首先，我们将证明U是可分离的。为此，考虑希尔伯特空间U：“tφP LlocpR`q：存在φ的φP LlocpR`q，使得}φ}Ua8u，其中}φ}U“|φp0q | |zφpxq | wpxqdx。根据[8]中的定理5.1.1，空间Uis是可分离的。然后，通过映射φφpφ，φq，U与U^ube的闭子空间等距。这表明U确实是可分的。由于φP U有广义导数φ和φ，我们可以写出（2.1）φpxq'φpyq“zxyφpzqdz，φpxq'φpyq“zxyφpzqdz，x，y P R`。此外，在[8]中定理5.1.1的证明中，我们可以看到}φ}LpR'q'wpxqdx'1{2}w'1}1{2LpR'q'C}。φ}Ua8。将其与（2.1）结合，我们得到了}φ}LpR\'qdC}φ}U。类似地，我们看到}φ}LpR\'qdC}φ}U，所以}φ}LpR\'qdC}φ}U。

因此，权利要求（i）如下。很容易看出，pSptqφqand pSptqφqe存在，并且由pSptqφqpxq“Sptqφpxq”和pSptqφqpxq“Sptqφpxq”给出。使用（2.1）和w的单调性，我们发现}Sptqφ}U“|φptq |` |φptq | ` p |φpt ` xq | ` |φpt ` xq | qwpxqdxdC}φ}U ` p |φpt ` xq | |φpt ` xq | qwpt ` xqdxdC}φ}U。这意味着对于所有t p R`，Sptq都有界于U上。为了证明Sptq的强连续性UTPR`，根据权利要求（i），它能够证明对于R`上的任何tP R`和Borel可测函数g，具有gw p LpR` q，（2.2）limt~ntz| gpt ` xq | gpt ` xq | wpxqdx“0。为此，对于任何εa0，取有界的EεP BpR` q和连续函数gεonR`使得gεpxq“0表示x R Eε和| gpxq'gεpxq | wpxqdx'ε。Eε和gε的存在性可以通过测度论中的常规参数来证明，但为了完备性，我们稍后会给出证明。假设此时存在这样的Eε和gε。然后取'0，使得tε，tεR 0，'s表示tε1的tε0。通过w，tε的单调性| gpt ` xq ` gpt ` xq | wpxqdxd3zgpt ` xq'gεpt'xq|wpxqdx\'3z| gεpt\'xq\'gεpt\'xq | wpxqdx\'3z| gεpt\'xq\'gpt\'xq | wpxqdx\'271; 3z| gpt\'xq\'gεpt\'xq | wpt\'xqdx\'3zgεpt\'xq\'gεpt\'xq | wpxqdx gpt\'xq | wpt\'xqdxd6z| gpxq | gεpxq | wpxqdx | 3 supxPr0，\'s | gεpt\'xq | gεpt\'xq | wpxqdxThus gε的一致连续性导致suptzt | gpt\'xq | gpt | gptdxq | wpxqdxd6ε，由此（2.2）。为了证实Eε和gε的存在性，首先请注意，我们可以假设gě0而不丧失一般性。然后存在一个非减量的简单函数序列tgnusuch，它在r0、nq和gn~ng a.e之外消失。通过单调收敛定理，我们也有limn~n8|gpxq'gnpxq'wpxqdx“0。固定n P n，使得'gpxq'gnpxq'wpxqdx'ε。假设gnis表示为gn“rmj”1αjEj。通过勒贝格积分的绝对连续性，对于每个j“1。

，m存在δja0，因此对于任何EP Bpr0，nqq与LebpEqaδj我们有zEwpxqdxaε4mαj。现在取一个闭集fjan和一个开集Gj，使得FjAEjAGjAr0，nq with lebpgjzfjqδj.通过ρjpxq“infyPFj | x'y | infyPFj | x'y | ` infyPGcj | x'y |，x P R'定义连续函数ρjon R'。很容易看出z1Ejpxq'ρjpxq | wpxqdx''gjzfjwpxx'ε4mαj。因此函数gεrmj“1αjρjsatisz| gn'gε| wpxqdxdmm"yj“1αjz| 1Ejpxq'ρjpxq'wpxqdx'ε。因此'gpxq'gεpxq'wpxqdx'2'gpxq'gnpxq'wpxqdx'2'gnpxq'gεpxq'wpxqdx'εε，正如所声称的那样。现在，在[8]中的推论5.1.1的证明中，我们观察到，对于φP U，φP U，>>>Sptqφ'φt'φ>>>Udφptq'φp0qt'φp0q'φptq'φp0qt'φp0q''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''“φ。此外，根据权利要求（i），逐点求值运算符是连续的。这与S的强连续性一起，意味着tφP U中包含的Ais域：φP Uu（参见文献[8]中的引理4.2.2）。因此权利要求（ii）如下。设σi，i“1，…，d，是pR\'^的可测映射Ohm ^U，P b BpU qq intopU，BpU qq，其中P表示可预测的σ场，BpUq是U的Borelσ场，使得limx~n8σipt，ω，φqpxq“0对于每个i”1，…，d，t P R\'，ωPOhm, 和φP U。此外，我们假设以下情况成立：假设2.2。存在一个常数CP p0，8q，对于i“1，…，d和pt，ω，φ，ψq P R'^Ohm ^U^U，}σipt，ω，φq}UdC，}σipt，ω，φq'σipt，ω，ψq}UdC}φ'ψ}U。定义R'上定义的映射αOhm ^U乘以αpt，ω，φqpxq：“d"yj”1σjpt，φqpxqzxσjpt，φqpyqdy，x P R`。然后我们得到以下引理：引理2.3。在假设2.2下，映射α可从pR`测量Ohm ^U，P bBpU qq变成pU，BpUqq。此外，还存在一个常数CP p0，8q，使得对于pt，ω，φ，ψq P R′^Ohm ^U^U，}αpt，ω，φq}UdC，}αpt，ω，φq'αpt，ω，ψq}UdC}φ'ψ}U.证明。

我们考虑由Sφpxq“φpxqzxφpyqdy，x P R`定义的U上的泛函S。然后，根据文献[8]中定理5.1.1的证明，我们得到了}Pφ'φp8qw}LpR'qdC}φ}U，φP U。利用这一点，我们得到了φp8q“0，}Sφ}U的φP U“|φp0q |φpxqzxφpyqdy |φpxqdxzφpxqzxφpyqdy | pφpxqqφpxqdx |φp0q | p2 |φpxq3 |φpxq | q^xφpyqdy˙5φpxq`6pφpxqq,wpxqdxd}φ}LpR`q`5}φ}U}φ}LpR`q`5}φ}U}6}φ}LpR`q}φ}U。利用命题2.1，我们得到φp8q“0的φSφ}U}C}φ}uf uf。这与σσIfield的有界性，对于φpu，}αpt，φq}U 271"yd"yi“1}Sσipt，φq}UdCd"yi“1}σipt，φq}UdC。尤其是，α是可测量的且U值。接下来，对于φ，ψP U，观察}SφSψ}U“I ` I ` I，其中I”|φp0q'ψp0q'，I“z”φpxq'xφpyqdy'φpxq'ψpyqdy'ψpyq*wpxqdx，I“z”φpxq'xφpyqdy'φpxq'2φpxqφpxq'ψpxqzxψpyqdy'ψpyq'2ψpxqψpxq*wpxqdx。根据命题2.1（I），我们有“pφp0q`ψp0qqpφp0q'ψp0qqd2p}φ}U`}ψ}Uq}φ}ψ}U.然后，根据文献[8]中的推论5.1.2，IdCp}φ}U`}ψ}Uq}φ}ψU.进一步，简单的估计和命题2.1（I）yieldId5z“|φpxq |φpxq | xpφpyq'ψpyqdy |φpxq'ψpxq | xψpyqdy | pφpxq'ψpxqpφpxq'ψpxqq'4 |φpxq'pφpxq'ψpxqq'pxqq*wpxqdx'5'φ”}U}φ'ψ}LpR'q'5}φ'ψ'U}ψ'LpR'q'5}φ'ψ'U}φ'ψ'LpR'q'20}ψ'U}φ'ψ'LpR'qdCp'φ'U'ψ'U'ψ所以我们有}Sφψ}UdCp}φ}U`}ψ}Uq}φ'ψ}U用σi的假设得到α的Lipschitz连续性。然后，根据Da Prato和Zabczyk【6】中的定理7.2，对于给定的rP U，存在唯一的U值可预测过程rptq“rpt，¨q，t P R”，这是（2.3）$“”&“%drptq”pArptq `αpt，Rptqqdt ` d"yi“1σipt，RptqdWiptq，rp0q”R的温和解决方案。此外，trptqutě0对任何正常数Ctq都有持续的修改和满足（2.4）支持ta0。

因此，对于t P R `，（2.5）rptq“Sptqr'tSpt'sqαps，rpsqqds'd"yi”1'tSpt'sqσips，rpsqqdWipsq，a.s.现在，让P pt，T q为到期日为TěT的贴现债券在T时的价格。我们假设P pt，T q“exp^'T'trpt，xqdx'，0'TdTa8。然后，过程f pt，T q：“rpt，T'tq，0dTdTa8，满意度FPT，T q“\'BBTlog P pt，T q，0dTdTa8，等被解释为远期利率过程。如果我们通过滥用符号σipt，T，ωq”σipt，ω，rptqpt'tq和αpt，T，ωq“αpt，ω，rptqpt'tq，然后通过（2.5），fpt，T q“SptqrpT'tqpt'tqαps，s'T'tqds'd"yi”1ztSpt'sq ips，s'Tσ“tqdWipsq”rpT q`zTαps，T qds` d"yi“1ztσips，t qdWipsq。这只是远期利率的HJM模型。此外，让tBptqutPR `是BPTQ定义的银行账户过程”exp^ztrps，0qds˙，t P R`。然后，由于α的定义排除了套利机会，P是等效的局部鞅度量，即过程tP pt，t q{Bptqu0dtd是Pf下任何ta0的局部鞅。因此，有限维SDE（2.3）导致利率过程的风险中性建模。3 HJMM方程的配置方法在本节中，我们描述了方程（2.3）的近似方法基于核插值理论，推导了其误差界。设Φ：R~nR为径向正定义函数，即：。，Φp¨q“φp¨¨¨q对于某些φ：r0，8q~nR和每个'p N，对于所有两两不同的y，…，y'p R和所有α”pαiq p R'zt0u，我们有'i，j“1αiαjΦpyi'yjq'0。然后，根据Wendland[23]中的定理10.10和10.11在R上存在一个唯一的实值函数的Hilbert空间NΦpRq，其范数为}¨}NΦpRq，称为本机空间，因此Φ是NΦpRq的再生核。设Γ“tx，¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨xNandput K”tΦpxi¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨xNandput K”tΦpxi¨¨¨¨¨¨¨¨¨xjqu。

那么K是可逆的，因此对于任何g:R`nir thefunctionIpgqpxq“N"yj”1pK'1g | qjΦpx'xjq，x P R`，在Φ上插值g。我们对Φ采用所谓的Wendland核，定义如下：对于给定的τP N Y t0u，设置满足Φτpxq“φτP | x | q，x P Rd，其中φτprq“zrrτrτrτ'1'rτ'1¨rzrrmaxt1'r，0uνdrdrdr¨drτ，rě0表示τ1，φτp'x'q“maxt1'r，0uτ'1表示τ0和ν”τ'τ'1。然后，从[23]中的定理9.12和9.13得出，函数φττ被表示为φτprq“pτprq，0 271drd1,0，ra1，其中pτ是一个单变量多项式，其次ν\'2τ具有表示（3.1）pτprq“ν\'2τ"yj“0dpνqj，τrj。（3.1）中的系数由dpνqj，0”p'1qjν！j！pν'jq！，0djd\'，dpνq0，s\'1”ν2s"yj“0dpνqj，sj\'2，dpνq1，s\'1”0，sě0，dpνqj，s\'1”'dpνqj\'2，sj，2djd271ν\'2s\'2，以0dsdτ\'1的递归方式。此外，已知φτprq“$”&\'\'%1zrsp1\'sqτ\'2ps\'rqτ\'1ds，0drd1,0，ra1，其中。“表示等于正常数因子（见Chernih et.al[4]）。例如，φprq。”maxt1\'r，0up8r\'5r\'1q，φprq。“maxt1\'r，0up21r\'19r\'7r\'1q，φprq。“maxt1\'r，0up384r\'453r\'237r\'63r\'7q。函数Φτ是r上的C2τ，本征空间NΦτpRq与Hτ\'1prqh重合，其中HθpRq是r上基于L-范数的θě0阶Sobolev空间。此外，本征空间范数}¨}NΦprqa与Sobolev范数}¨}Hτ1prqa等价。在下面的内容中，我们定义τP N和Φ“Φτ。进一步，我们假设ΓAp0，Rq为一些Ra0。由于我们可以预期Rpt，xq<<Iprpt，¨qpxq“N"yj”1pK'1rpt，¨q | qjΦpx'xjq，BBxrpt，xq<<N"yj”1pK'1ptqjΦpx'xjq，我们可能有drptq>>tAIprptqq'αpt，iprptqqqqqqudt'd"yi'1 ipt IPRPTQQDWIPTQ。请注意，上面等式的右侧允许有限维实现。